Theorem leneltd 10191

Description: 'Less than or equal to' and 'not equals' implies 'less than'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )
leltned.3	|- ( ph -> A <_ B )
leneltd.4	|- ( ph -> B =/= A )

Assertion

Ref	Expression
leneltd	|- ( ph -> A < B )

Proof of Theorem leneltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leneltd.4	. 2 |- ( ph -> B =/= A )
2		ltd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
3		ltd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
4		leltned.3	. . 3 |- ( ph -> A <_ B )
5	2, 3, 4	leltned 10190	. 2 |- ( ph -> ( A < B <-> B =/= A ) )
6	1, 5	mpbird 247	1 |- ( ph -> A < B )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653   RRcr 9935   < clt 10074   <_ cle 10075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080

This theorem is referenced by:  flltnz  12612  fprodle  14727  unbdqndv2lem2  32501  fzdifsuc2  39525  xralrple2  39570  xralrple3  39590  eliccelioc  39747  limcresiooub  39874  limcresioolb  39875  icccncfext  40100  cncfiooiccre  40108  dvbdfbdioolem2  40144  dvnxpaek  40157  volioc  40188  itgioocnicc  40193  iblcncfioo  40194  dirkercncflem1  40320  fourierdlem24  40348  fourierdlem25  40349  fourierdlem32  40356  fourierdlem33  40357  fourierdlem41  40365  fourierdlem42  40366  fourierdlem46  40369  fourierdlem48  40371  fourierdlem49  40372  fourierdlem51  40374  fourierdlem64  40387  fourierdlem65  40388  fourierdlem73  40396  fourierdlem76  40399  fourierdlem79  40402  fourierdlem81  40404  fourierdlem82  40405  fourierdlem89  40412  fourierdlem91  40414  fourierdlem102  40425  fourierdlem114  40437  fourierswlem  40447  fouriersw  40448  etransclem15  40466  etransclem24  40475  etransclem25  40476  etransclem35  40486  iundjiun  40677  hoidmvlelem2  40810