Theorem konigsberglem1 27114

Description: Lemma 1 for konigsberg 27119: Vertex 0 has degree three. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.) (Revised by AV, 4-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
konigsberg.v	|- V = ( 0 ... 3 )
konigsberg.e	|- E = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
konigsberg.g	|- G = <. V , E >.

Assertion

Ref	Expression
konigsberglem1	|- ( (VtxDeg ` G ) ` 0 ) = 3

Proof of Theorem konigsberglem1

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 6678	. . . 4 |- ( 0 ... 3 ) e. _V
2		s6cli 13629	. . . . 5 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> e. Word _V
3	2	elexi 3213	. . . 4 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> e. _V
4	1, 3	opvtxfvi 25889	. . 3 |- (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> >. ) = ( 0 ... 3 )
5	4	eqcomi 2631	. 2 |- ( 0 ... 3 ) = (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> >. )
6		3nn0 11310	. . 3 |- 3 e. NN0
7		0elfz 12436	. . 3 |- ( 3 e. NN0 -> 0 e. ( 0 ... 3 ) )
8	6, 7	ax-mp 5	. 2 |- 0 e. ( 0 ... 3 )
9	1, 3	opiedgfvi 25890	. . 3 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> >. ) = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } ">
10	9	eqcomi 2631	. 2 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> = (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> >. )
11		s1cli 13384	. . 3 |- <" { 2 , 3 } "> e. Word _V
12		df-s7 13598	. . 3 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> ++ <" { 2 , 3 } "> )
13		eqid 2622	. . . 4 |- ( 0 ... 3 ) = ( 0 ... 3 )
14		eqid 2622	. . . 4 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
15		eqid 2622	. . . 4 |- <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> >. = <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> >.
16	13, 14, 15	konigsbergssiedgw 27111	. . 3 |- ( ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> e. Word _V /\ <" { 2 , 3 } "> e. Word _V /\ <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> ++ <" { 2 , 3 } "> ) ) -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> e. Word { x e. ( ~P ( 0 ... 3 ) \ { (/) } ) | ( # ` x ) <_ 2 } )
17	2, 11, 12, 16	mp3an 1424	. 2 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> e. Word { x e. ( ~P ( 0 ... 3 ) \ { (/) } ) | ( # ` x ) <_ 2 }
18		s5cli 13628	. . . . . 6 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> e. Word _V
19	18	elexi 3213	. . . . 5 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> e. _V
20	1, 19	opvtxfvi 25889	. . . 4 |- (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> >. ) = ( 0 ... 3 )
21	20	eqcomi 2631	. . 3 |- ( 0 ... 3 ) = (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> >. )
22	1, 19	opiedgfvi 25890	. . . 4 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> >. ) = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } ">
23	22	eqcomi 2631	. . 3 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> = (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> >. )
24		s2cli 13625	. . . 4 |- <" { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V
25		s5s2 13680	. . . 4 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> ++ <" { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> )
26	13, 14, 15	konigsbergssiedgw 27111	. . . 4 |- ( ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> e. Word _V /\ <" { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V /\ <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> ++ <" { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> ) ) -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> e. Word { x e. ( ~P ( 0 ... 3 ) \ { (/) } ) | ( # ` x ) <_ 2 } )
27	18, 24, 25, 26	mp3an 1424	. . 3 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> e. Word { x e. ( ~P ( 0 ... 3 ) \ { (/) } ) | ( # ` x ) <_ 2 }
28		s4cli 13627	. . . . . . 7 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> e. Word _V
29	28	elexi 3213	. . . . . 6 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> e. _V
30	1, 29	opvtxfvi 25889	. . . . 5 |- (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> >. ) = ( 0 ... 3 )
31	30	eqcomi 2631	. . . 4 |- ( 0 ... 3 ) = (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> >. )
32	1, 29	opiedgfvi 25890	. . . . 5 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> >. ) = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } ">
33	32	eqcomi 2631	. . . 4 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> = (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> >. )
34		s3cli 13626	. . . . 5 |- <" { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V
35		s4s3 13676	. . . . 5 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> ++ <" { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> )
36	13, 14, 15	konigsbergssiedgw 27111	. . . . 5 |- ( ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> e. Word _V /\ <" { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V /\ <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> ++ <" { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> ) ) -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> e. Word { x e. ( ~P ( 0 ... 3 ) \ { (/) } ) | ( # ` x ) <_ 2 } )
37	28, 34, 35, 36	mp3an 1424	. . . 4 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> e. Word { x e. ( ~P ( 0 ... 3 ) \ { (/) } ) | ( # ` x ) <_ 2 }
38		s3cli 13626	. . . . . . . 8 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> e. Word _V
39	38	elexi 3213	. . . . . . 7 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> e. _V
40	1, 39	opvtxfvi 25889	. . . . . 6 |- (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> >. ) = ( 0 ... 3 )
41	40	eqcomi 2631	. . . . 5 |- ( 0 ... 3 ) = (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> >. )
42	1, 39	opiedgfvi 25890	. . . . . 6 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> >. ) = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } ">
43	42	eqcomi 2631	. . . . 5 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> = (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> >. )
44		s4cli 13627	. . . . . 6 |- <" { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V
45		s3s4 13678	. . . . . 6 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> ++ <" { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> )
46	13, 14, 15	konigsbergssiedgw 27111	. . . . . 6 |- ( ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> e. Word _V /\ <" { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V /\ <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> ++ <" { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> ) ) -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> e. Word { x e. ( ~P ( 0 ... 3 ) \ { (/) } ) | ( # ` x ) <_ 2 } )
47	38, 44, 45, 46	mp3an 1424	. . . . 5 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> e. Word { x e. ( ~P ( 0 ... 3 ) \ { (/) } ) | ( # ` x ) <_ 2 }
48		s2cli 13625	. . . . . . . . . 10 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> e. Word _V
49	48	elexi 3213	. . . . . . . . 9 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> e. _V
50	1, 49	opvtxfvi 25889	. . . . . . . 8 |- (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> >. ) = ( 0 ... 3 )
51	50	eqcomi 2631	. . . . . . 7 |- ( 0 ... 3 ) = (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> >. )
52	1, 49	opiedgfvi 25890	. . . . . . . 8 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> >. ) = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } ">
53	52	eqcomi 2631	. . . . . . 7 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> = (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> >. )
54		s5cli 13628	. . . . . . . 8 |- <" { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V
55		s2s5 13679	. . . . . . . 8 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> ++ <" { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> )
56	13, 14, 15	konigsbergssiedgw 27111	. . . . . . . 8 |- ( ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> e. Word _V /\ <" { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V /\ <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> ++ <" { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> ) ) -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> e. Word { x e. ( ~P ( 0 ... 3 ) \ { (/) } ) | ( # ` x ) <_ 2 } )
57	48, 54, 55, 56	mp3an 1424	. . . . . . 7 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> e. Word { x e. ( ~P ( 0 ... 3 ) \ { (/) } ) | ( # ` x ) <_ 2 }
58		s1cli 13384	. . . . . . . . . . . 12 |- <" { 0 , 1 } "> e. Word _V
59	58	elexi 3213	. . . . . . . . . . 11 |- <" { 0 , 1 } "> e. _V
60	1, 59	opvtxfvi 25889	. . . . . . . . . 10 |- (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } "> >. ) = ( 0 ... 3 )
61	60	eqcomi 2631	. . . . . . . . 9 |- ( 0 ... 3 ) = (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } "> >. )
62	1, 59	opiedgfvi 25890	. . . . . . . . . 10 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } "> >. ) = <" { 0 , 1 } ">
63	62	eqcomi 2631	. . . . . . . . 9 |- <" { 0 , 1 } "> = (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } "> >. )
64		s6cli 13629	. . . . . . . . . 10 |- <" { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V
65		s1s6 13672	. . . . . . . . . 10 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } "> ++ <" { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> )
66	13, 14, 15	konigsbergssiedgw 27111	. . . . . . . . . 10 |- ( ( <" { 0 , 1 } "> e. Word _V /\ <" { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V /\ <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } "> ++ <" { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> ) ) -> <" { 0 , 1 } "> e. Word { x e. ( ~P ( 0 ... 3 ) \ { (/) } ) | ( # ` x ) <_ 2 } )
67	58, 64, 65, 66	mp3an 1424	. . . . . . . . 9 |- <" { 0 , 1 } "> e. Word { x e. ( ~P ( 0 ... 3 ) \ { (/) } ) | ( # ` x ) <_ 2 }
68		0ex 4790	. . . . . . . . . . . . 13 |- (/) e. _V
69	1, 68	opvtxfvi 25889	. . . . . . . . . . . 12 |- (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , (/) >. ) = ( 0 ... 3 )
70	69	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 ... 3 ) = (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , (/) >. )
71	1, 68	opiedgfvi 25890	. . . . . . . . . . . 12 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , (/) >. ) = (/)
72	71	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . 11 |- (/) = (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , (/) >. )
73		wrd0 13330	. . . . . . . . . . 11 |- (/) e. Word { x e. ( ~P ( 0 ... 3 ) \ { (/) } ) | ( # ` x ) <_ 2 }
74		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- (/) = (/)
75	70, 72	vtxdg0e 26370	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. ( 0 ... 3 ) /\ (/) = (/) ) -> ( (VtxDeg ` <. ( 0 ... 3 ) , (/) >. ) ` 0 ) = 0 )
76	8, 74, 75	mp2an 708	. . . . . . . . . . 11 |- ( (VtxDeg ` <. ( 0 ... 3 ) , (/) >. ) ` 0 ) = 0
77		1nn0 11308	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. NN0
78		1le3 11244	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 <_ 3
79		elfz2nn0 12431	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 e. ( 0 ... 3 ) <-> ( 1 e. NN0 /\ 3 e. NN0 /\ 1 <_ 3 ) )
80	77, 6, 78, 79	mpbir3an 1244	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. ( 0 ... 3 )
81		ax-1ne0 10005	. . . . . . . . . . 11 |- 1 =/= 0
82		s0s1 13667	. . . . . . . . . . . 12 |- <" { 0 , 1 } "> = ( (/) ++ <" { 0 , 1 } "> )
83	62, 82	eqtri 2644	. . . . . . . . . . 11 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } "> >. ) = ( (/) ++ <" { 0 , 1 } "> )
84	70, 8, 72, 73, 76, 60, 80, 81, 83	vdegp1bi 26433	. . . . . . . . . 10 |- ( (VtxDeg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } "> >. ) ` 0 ) = ( 0 + 1 )
85		0p1e1 11132	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 + 1 ) = 1
86	84, 85	eqtri 2644	. . . . . . . . 9 |- ( (VtxDeg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } "> >. ) ` 0 ) = 1
87		2nn0 11309	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. NN0
88		2re 11090	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. RR
89		3re 11094	. . . . . . . . . . 11 |- 3 e. RR
90		2lt3 11195	. . . . . . . . . . 11 |- 2 < 3
91	88, 89, 90	ltleii 10160	. . . . . . . . . 10 |- 2 <_ 3
92		elfz2nn0 12431	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 e. ( 0 ... 3 ) <-> ( 2 e. NN0 /\ 3 e. NN0 /\ 2 <_ 3 ) )
93	87, 6, 91, 92	mpbir3an 1244	. . . . . . . . 9 |- 2 e. ( 0 ... 3 )
94		2ne0 11113	. . . . . . . . 9 |- 2 =/= 0
95		df-s2 13593	. . . . . . . . . 10 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> = ( <" { 0 , 1 } "> ++ <" { 0 , 2 } "> )
96	52, 95	eqtri 2644	. . . . . . . . 9 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> >. ) = ( <" { 0 , 1 } "> ++ <" { 0 , 2 } "> )
97	61, 8, 63, 67, 86, 50, 93, 94, 96	vdegp1bi 26433	. . . . . . . 8 |- ( (VtxDeg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> >. ) ` 0 ) = ( 1 + 1 )
98		1p1e2 11134	. . . . . . . 8 |- ( 1 + 1 ) = 2
99	97, 98	eqtri 2644	. . . . . . 7 |- ( (VtxDeg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> >. ) ` 0 ) = 2
100		nn0fz0 12437	. . . . . . . 8 |- ( 3 e. NN0 <-> 3 e. ( 0 ... 3 ) )
101	6, 100	mpbi 220	. . . . . . 7 |- 3 e. ( 0 ... 3 )
102		3ne0 11115	. . . . . . 7 |- 3 =/= 0
103		df-s3 13594	. . . . . . . 8 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> ++ <" { 0 , 3 } "> )
104	42, 103	eqtri 2644	. . . . . . 7 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> >. ) = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> ++ <" { 0 , 3 } "> )
105	51, 8, 53, 57, 99, 40, 101, 102, 104	vdegp1bi 26433	. . . . . 6 |- ( (VtxDeg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> >. ) ` 0 ) = ( 2 + 1 )
106		2p1e3 11151	. . . . . 6 |- ( 2 + 1 ) = 3
107	105, 106	eqtri 2644	. . . . 5 |- ( (VtxDeg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> >. ) ` 0 ) = 3
108		df-s4 13595	. . . . . 6 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> ++ <" { 1 , 2 } "> )
109	32, 108	eqtri 2644	. . . . 5 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> >. ) = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> ++ <" { 1 , 2 } "> )
110	41, 8, 43, 47, 107, 30, 80, 81, 93, 94, 109	vdegp1ai 26432	. . . 4 |- ( (VtxDeg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> >. ) ` 0 ) = 3
111		df-s5 13596	. . . . 5 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> ++ <" { 1 , 2 } "> )
112	22, 111	eqtri 2644	. . . 4 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> >. ) = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> ++ <" { 1 , 2 } "> )
113	31, 8, 33, 37, 110, 20, 80, 81, 93, 94, 112	vdegp1ai 26432	. . 3 |- ( (VtxDeg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> >. ) ` 0 ) = 3
114		df-s6 13597	. . . 4 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> ++ <" { 2 , 3 } "> )
115	9, 114	eqtri 2644	. . 3 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> >. ) = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> ++ <" { 2 , 3 } "> )
116	21, 8, 23, 27, 113, 4, 93, 94, 101, 102, 115	vdegp1ai 26432	. 2 |- ( (VtxDeg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> >. ) ` 0 ) = 3
117		konigsberg.v	. . 3 |- V = ( 0 ... 3 )
118		konigsberg.e	. . 3 |- E = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
119		konigsberg.g	. . 3 |- G = <. V , E >.
120	117, 118, 119	konigsbergvtx 27106	. 2 |- (Vtx ` G ) = ( 0 ... 3 )
121	117, 118, 119	konigsbergiedg 27107	. . 3 |- (iEdg ` G ) = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
122	121, 12	eqtri 2644	. 2 |- (iEdg ` G ) = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> ++ <" { 2 , 3 } "> )
123	5, 8, 10, 17, 116, 120, 93, 94, 101, 102, 122	vdegp1ai 26432	1 |- ( (VtxDeg ` G ) ` 0 ) = 3

Syntax hints:   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   {cpr 4179   <.cop 4183   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   <_ cle 10075   2c2 11070   3c3 11071   NN0cn0 11292   ...cfz 12326   #chash 13117  Word cword 13291   ++ cconcat 13293   <"cs1 13294   <"cs2 13586   <"cs3 13587   <"cs4 13588   <"cs5 13589   <"cs6 13590   <"cs7 13591  Vtxcvtx 25874  iEdgciedg 25875  VtxDegcvtxdg 26361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-xadd 11947  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-s1 13302  df-s2 13593  df-s3 13594  df-s4 13595  df-s5 13596  df-s6 13597  df-s7 13598  df-vtx 25876  df-iedg 25877  df-vtxdg 26362

This theorem is referenced by:  konigsberglem4  27117