Theorem vdegp1bi 26433

Description: The induction step for a vertex degree calculation, for example in the Königsberg graph. If the degree of U in the edge set E is P, then adding { U , X } to the edge set, where X =/= U, yields degree P + 1. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.) (Revised by AV, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vdegp1ai.vg	|- V = (Vtx ` G )
vdegp1ai.u	|- U e. V
vdegp1ai.i	|- I = (iEdg ` G )
vdegp1ai.w	|- I e. Word { x e. ( ~P V \ { (/) } ) | ( # ` x ) <_ 2 }
vdegp1ai.d	|- ( (VtxDeg ` G ) ` U ) = P
vdegp1ai.vf	|- (Vtx ` F ) = V
vdegp1bi.x	|- X e. V
vdegp1bi.xu	|- X =/= U
vdegp1bi.f	|- (iEdg ` F ) = ( I ++ <" { U , X } "> )

Assertion

Ref	Expression
vdegp1bi	|- ( (VtxDeg ` F ) ` U ) = ( P + 1 )

Distinct variable groups:   x, U   x, V   x, X

Allowed substitution hints:   P( x)   F( x)   G( x)   I( x)

Proof of Theorem vdegp1bi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prex 4909	. . 3 |- { U , X } e. _V
2		vdegp1ai.vg	. . . 4 |- V = (Vtx ` G )
3		vdegp1ai.i	. . . 4 |- I = (iEdg ` G )
4		vdegp1ai.w	. . . . 5 |- I e. Word { x e. ( ~P V \ { (/) } ) | ( # ` x ) <_ 2 }
5		wrdf 13310	. . . . . 6 |- ( I e. Word { x e. ( ~P V \ { (/) } ) | ( # ` x ) <_ 2 } -> I : ( 0..^ ( # ` I ) ) --> { x e. ( ~P V \ { (/) } ) | ( # ` x ) <_ 2 } )
6	5	ffund 6049	. . . . 5 |- ( I e. Word { x e. ( ~P V \ { (/) } ) | ( # ` x ) <_ 2 } -> Fun I )
7	4, 6	mp1i 13	. . . 4 |- ( { U , X } e. _V -> Fun I )
8		vdegp1ai.vf	. . . . 5 |- (Vtx ` F ) = V
9	8	a1i 11	. . . 4 |- ( { U , X } e. _V -> (Vtx ` F ) = V )
10		vdegp1bi.f	. . . . 5 |- (iEdg ` F ) = ( I ++ <" { U , X } "> )
11		wrdv 13320	. . . . . . 7 |- ( I e. Word { x e. ( ~P V \ { (/) } ) | ( # ` x ) <_ 2 } -> I e. Word _V )
12	4, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 |- I e. Word _V
13		cats1un 13475	. . . . . 6 |- ( ( I e. Word _V /\ { U , X } e. _V ) -> ( I ++ <" { U , X } "> ) = ( I u. { <. ( # ` I ) , { U , X } >. } ) )
14	12, 13	mpan 706	. . . . 5 |- ( { U , X } e. _V -> ( I ++ <" { U , X } "> ) = ( I u. { <. ( # ` I ) , { U , X } >. } ) )
15	10, 14	syl5eq 2668	. . . 4 |- ( { U , X } e. _V -> (iEdg ` F ) = ( I u. { <. ( # ` I ) , { U , X } >. } ) )
16		fvexd 6203	. . . 4 |- ( { U , X } e. _V -> ( # ` I ) e. _V )
17		wrdlndm 13321	. . . . 5 |- ( I e. Word { x e. ( ~P V \ { (/) } ) | ( # ` x ) <_ 2 } -> ( # ` I ) e/ dom I )
18	4, 17	mp1i 13	. . . 4 |- ( { U , X } e. _V -> ( # ` I ) e/ dom I )
19		vdegp1ai.u	. . . . 5 |- U e. V
20	19	a1i 11	. . . 4 |- ( { U , X } e. _V -> U e. V )
21		vdegp1bi.x	. . . . . 6 |- X e. V
22	19, 21	pm3.2i 471	. . . . 5 |- ( U e. V /\ X e. V )
23		prelpwi 4915	. . . . 5 |- ( ( U e. V /\ X e. V ) -> { U , X } e. ~P V )
24	22, 23	mp1i 13	. . . 4 |- ( { U , X } e. _V -> { U , X } e. ~P V )
25		prid1g 4295	. . . . 5 |- ( U e. V -> U e. { U , X } )
26	19, 25	mp1i 13	. . . 4 |- ( { U , X } e. _V -> U e. { U , X } )
27		vdegp1bi.xu	. . . . . . . 8 |- X =/= U
28	27	necomi 2848	. . . . . . 7 |- U =/= X
29		hashprg 13182	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. V /\ X e. V ) -> ( U =/= X <-> ( # ` { U , X } ) = 2 ) )
30	19, 21, 29	mp2an 708	. . . . . . 7 |- ( U =/= X <-> ( # ` { U , X } ) = 2 )
31	28, 30	mpbi 220	. . . . . 6 |- ( # ` { U , X } ) = 2
32	31	eqcomi 2631	. . . . 5 |- 2 = ( # ` { U , X } )
33		2re 11090	. . . . . 6 |- 2 e. RR
34	33	eqlei 10147	. . . . 5 |- ( 2 = ( # ` { U , X } ) -> 2 <_ ( # ` { U , X } ) )
35	32, 34	mp1i 13	. . . 4 |- ( { U , X } e. _V -> 2 <_ ( # ` { U , X } ) )
36	2, 3, 7, 9, 15, 16, 18, 20, 24, 26, 35	p1evtxdp1 26410	. . 3 |- ( { U , X } e. _V -> ( (VtxDeg ` F ) ` U ) = ( ( (VtxDeg ` G ) ` U ) +e 1 ) )
37	1, 36	ax-mp 5	. 2 |- ( (VtxDeg ` F ) ` U ) = ( ( (VtxDeg ` G ) ` U ) +e 1 )
38		fzofi 12773	. . . . 5 |- ( 0..^ ( # ` I ) ) e. Fin
39		wrddm 13312	. . . . . . . 8 |- ( I e. Word { x e. ( ~P V \ { (/) } ) | ( # ` x ) <_ 2 } -> dom I = ( 0..^ ( # ` I ) ) )
40	4, 39	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- dom I = ( 0..^ ( # ` I ) )
41	40	eqcomi 2631	. . . . . 6 |- ( 0..^ ( # ` I ) ) = dom I
42	2, 3, 41	vtxdgfisnn0 26371	. . . . 5 |- ( ( ( 0..^ ( # ` I ) ) e. Fin /\ U e. V ) -> ( (VtxDeg ` G ) ` U ) e. NN0 )
43	38, 19, 42	mp2an 708	. . . 4 |- ( (VtxDeg ` G ) ` U ) e. NN0
44	43	nn0rei 11303	. . 3 |- ( (VtxDeg ` G ) ` U ) e. RR
45		1re 10039	. . 3 |- 1 e. RR
46		rexadd 12063	. . 3 |- ( ( ( (VtxDeg ` G ) ` U ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( (VtxDeg ` G ) ` U ) +e 1 ) = ( ( (VtxDeg ` G ) ` U ) + 1 ) )
47	44, 45, 46	mp2an 708	. 2 |- ( ( (VtxDeg ` G ) ` U ) +e 1 ) = ( ( (VtxDeg ` G ) ` U ) + 1 )
48		vdegp1ai.d	. . 3 |- ( (VtxDeg ` G ) ` U ) = P
49	48	oveq1i 6660	. 2 |- ( ( (VtxDeg ` G ) ` U ) + 1 ) = ( P + 1 )
50	37, 47, 49	3eqtri 2648	1 |- ( (VtxDeg ` F ) ` U ) = ( P + 1 )

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   e/ wnel 2897   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   {cpr 4179   <.cop 4183   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   Fun wfun 5882   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   <_ cle 10075   2c2 11070   NN0cn0 11292   +ecxad 11944  ..^cfzo 12465   #chash 13117  Word cword 13291   ++ cconcat 13293   <"cs1 13294  Vtxcvtx 25874  iEdgciedg 25875  VtxDegcvtxdg 26361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-xadd 11947  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-s1 13302  df-vtx 25876  df-iedg 25877  df-vtxdg 26362

This theorem is referenced by:  vdegp1ci  26434  konigsberglem1  27114  konigsberglem2  27115