Theorem konigsberglem5 27118

Description: Lemma 5 for konigsberg 27119: The set of vertices of odd degree is greater than 2. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.) (Revised by AV, 28-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
konigsberg.v	|- V = ( 0 ... 3 )
konigsberg.e	|- E = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
konigsberg.g	|- G = <. V , E >.

Assertion

Ref	Expression
konigsberglem5	|- 2 < ( # ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } )

Distinct variable groups:   x, V   x, G

Allowed substitution hint:   E( x)

Proof of Theorem konigsberglem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		konigsberg.v	. . 3 |- V = ( 0 ... 3 )
2		konigsberg.e	. . 3 |- E = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
3		konigsberg.g	. . 3 |- G = <. V , E >.
4	1, 2, 3	konigsberglem4 27117	. 2 |- { 0 , 1 , 3 } C_ { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) }
5	1	ovexi 6679	. . . 4 |- V e. _V
6	5	rabex 4813	. . 3 |- { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } e. _V
7		hashss 13197	. . 3 |- ( ( { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } e. _V /\ { 0 , 1 , 3 } C_ { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) -> ( # ` { 0 , 1 , 3 } ) <_ ( # ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) )
8	6, 7	mpan 706	. 2 |- ( { 0 , 1 , 3 } C_ { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } -> ( # ` { 0 , 1 , 3 } ) <_ ( # ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) )
9		0ne1 11088	. . . . . 6 |- 0 =/= 1
10		1re 10039	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
11		1lt3 11196	. . . . . . 7 |- 1 < 3
12	10, 11	ltneii 10150	. . . . . 6 |- 1 =/= 3
13		3ne0 11115	. . . . . 6 |- 3 =/= 0
14	9, 12, 13	3pm3.2i 1239	. . . . 5 |- ( 0 =/= 1 /\ 1 =/= 3 /\ 3 =/= 0 )
15		c0ex 10034	. . . . . 6 |- 0 e. _V
16		1ex 10035	. . . . . 6 |- 1 e. _V
17		3ex 11096	. . . . . 6 |- 3 e. _V
18		hashtpg 13267	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. _V /\ 1 e. _V /\ 3 e. _V ) -> ( ( 0 =/= 1 /\ 1 =/= 3 /\ 3 =/= 0 ) <-> ( # ` { 0 , 1 , 3 } ) = 3 ) )
19	15, 16, 17, 18	mp3an 1424	. . . . 5 |- ( ( 0 =/= 1 /\ 1 =/= 3 /\ 3 =/= 0 ) <-> ( # ` { 0 , 1 , 3 } ) = 3 )
20	14, 19	mpbi 220	. . . 4 |- ( # ` { 0 , 1 , 3 } ) = 3
21	20	breq1i 4660	. . 3 |- ( ( # ` { 0 , 1 , 3 } ) <_ ( # ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) <-> 3 <_ ( # ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) )
22		df-3 11080	. . . . 5 |- 3 = ( 2 + 1 )
23	22	breq1i 4660	. . . 4 |- ( 3 <_ ( # ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) <-> ( 2 + 1 ) <_ ( # ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) )
24		2z 11409	. . . . 5 |- 2 e. ZZ
25		fzfi 12771	. . . . . . . 8 |- ( 0 ... 3 ) e. Fin
26	1, 25	eqeltri 2697	. . . . . . 7 |- V e. Fin
27		rabfi 8185	. . . . . . 7 |- ( V e. Fin -> { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } e. Fin )
28		hashcl 13147	. . . . . . 7 |- ( { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } e. Fin -> ( # ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) e. NN0 )
29	26, 27, 28	mp2b 10	. . . . . 6 |- ( # ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) e. NN0
30	29	nn0zi 11402	. . . . 5 |- ( # ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) e. ZZ
31		zltp1le 11427	. . . . 5 |- ( ( 2 e. ZZ /\ ( # ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) e. ZZ ) -> ( 2 < ( # ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) <-> ( 2 + 1 ) <_ ( # ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) ) )
32	24, 30, 31	mp2an 708	. . . 4 |- ( 2 < ( # ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) <-> ( 2 + 1 ) <_ ( # ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) )
33	23, 32	sylbb2 228	. . 3 |- ( 3 <_ ( # ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) -> 2 < ( # ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) )
34	21, 33	sylbi 207	. 2 |- ( ( # ` { 0 , 1 , 3 } ) <_ ( # ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) -> 2 < ( # ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) )
35	4, 8, 34	mp2b 10	1 |- 2 < ( # ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 196   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   {cpr 4179   {ctp 4181   <.cop 4183   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   2c2 11070   3c3 11071   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ...cfz 12326   #chash 13117   <"cs7 13591   || cdvds 14983  VtxDegcvtxdg 26361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-xadd 11947  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-s1 13302  df-s2 13593  df-s3 13594  df-s4 13595  df-s5 13596  df-s6 13597  df-s7 13598  df-dvds 14984  df-vtx 25876  df-iedg 25877  df-vtxdg 26362

This theorem is referenced by:  konigsberg  27119