Theorem ppiub 24929

Description: An upper bound on the prime-counting function π, which counts the number of primes less than N. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ppiub	|- ( ( N e. RR /\ 0 <_ N ) -> (π ` N ) <_ ( ( N / 3 ) + 2 ) )

Proof of Theorem ppiub

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 11094	. . 3 |- 3 e. RR
2	1	a1i 11	. 2 |- ( ( N e. RR /\ 0 <_ N ) -> 3 e. RR )
3		simpl 473	. 2 |- ( ( N e. RR /\ 0 <_ N ) -> N e. RR )
4		ppicl 24857	. . . . . . . 8 |- ( N e. RR -> (π ` N ) e. NN0 )
5	4	nn0red 11352	. . . . . . 7 |- ( N e. RR -> (π ` N ) e. RR )
6	5	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> (π ` N ) e. RR )
7		2re 11090	. . . . . 6 |- 2 e. RR
8		resubcl 10345	. . . . . 6 |- ( ( (π ` N ) e. RR /\ 2 e. RR ) -> ( (π ` N ) - 2 ) e. RR )
9	6, 7, 8	sylancl 694	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( (π ` N ) - 2 ) e. RR )
10		fzfi 12771	. . . . . . . . 9 |- ( 4 ... ( |_ ` N ) ) e. Fin
11		ssrab2 3687	. . . . . . . . 9 |- { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | ( k mod 6 ) e. { 1 , 5 } } C_ ( 4 ... ( |_ ` N ) )
12		ssfi 8180	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 4 ... ( |_ ` N ) ) e. Fin /\ { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | ( k mod 6 ) e. { 1 , 5 } } C_ ( 4 ... ( |_ ` N ) ) ) -> { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | ( k mod 6 ) e. { 1 , 5 } } e. Fin )
13	10, 11, 12	mp2an 708	. . . . . . . 8 |- { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | ( k mod 6 ) e. { 1 , 5 } } e. Fin
14		hashcl 13147	. . . . . . . 8 |- ( { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | ( k mod 6 ) e. { 1 , 5 } } e. Fin -> ( # ` { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | ( k mod 6 ) e. { 1 , 5 } } ) e. NN0 )
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( # ` { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | ( k mod 6 ) e. { 1 , 5 } } ) e. NN0
16	15	nn0rei 11303	. . . . . 6 |- ( # ` { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | ( k mod 6 ) e. { 1 , 5 } } ) e. RR
17	16	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( # ` { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | ( k mod 6 ) e. { 1 , 5 } } ) e. RR )
18		3nn 11186	. . . . . . 7 |- 3 e. NN
19		nndivre 11056	. . . . . . 7 |- ( ( N e. RR /\ 3 e. NN ) -> ( N / 3 ) e. RR )
20	18, 19	mpan2 707	. . . . . 6 |- ( N e. RR -> ( N / 3 ) e. RR )
21	20	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( N / 3 ) e. RR )
22		ppifl 24886	. . . . . . . . 9 |- ( N e. RR -> (π ` ( |_ ` N ) ) = (π ` N ) )
23	22	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> (π ` ( |_ ` N ) ) = (π ` N ) )
24		ppi3 24897	. . . . . . . . 9 |- (π ` 3 ) = 2
25	24	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> (π ` 3 ) = 2 )
26	23, 25	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( (π ` ( |_ ` N ) ) - (π ` 3 ) ) = ( (π ` N ) - 2 ) )
27		3z 11410	. . . . . . . . . . 11 |- 3 e. ZZ
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> 3 e. ZZ )
29		flcl 12596	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. RR -> ( |_ ` N ) e. ZZ )
30	29	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( |_ ` N ) e. ZZ )
31		flge 12606	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. RR /\ 3 e. ZZ ) -> ( 3 <_ N <-> 3 <_ ( |_ ` N ) ) )
32	27, 31	mpan2 707	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. RR -> ( 3 <_ N <-> 3 <_ ( |_ ` N ) ) )
33	32	biimpa 501	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> 3 <_ ( |_ ` N ) )
34		eluz2 11693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( |_ ` N ) e. ( ZZ>= ` 3 ) <-> ( 3 e. ZZ /\ ( |_ ` N ) e. ZZ /\ 3 <_ ( |_ ` N ) ) )
35	28, 30, 33, 34	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( |_ ` N ) e. ( ZZ>= ` 3 ) )
36		ppidif 24889	. . . . . . . . 9 |- ( ( |_ ` N ) e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( (π ` ( |_ ` N ) ) - (π ` 3 ) ) = ( # ` ( ( ( 3 + 1 ) ... ( |_ ` N ) ) i^i Prime ) ) )
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( (π ` ( |_ ` N ) ) - (π ` 3 ) ) = ( # ` ( ( ( 3 + 1 ) ... ( |_ ` N ) ) i^i Prime ) ) )
38		df-4 11081	. . . . . . . . . . 11 |- 4 = ( 3 + 1 )
39	38	oveq1i 6660	. . . . . . . . . 10 |- ( 4 ... ( |_ ` N ) ) = ( ( 3 + 1 ) ... ( |_ ` N ) )
40	39	ineq1i 3810	. . . . . . . . 9 |- ( ( 4 ... ( |_ ` N ) ) i^i Prime ) = ( ( ( 3 + 1 ) ... ( |_ ` N ) ) i^i Prime )
41	40	fveq2i 6194	. . . . . . . 8 |- ( # ` ( ( 4 ... ( |_ ` N ) ) i^i Prime ) ) = ( # ` ( ( ( 3 + 1 ) ... ( |_ ` N ) ) i^i Prime ) )
42	37, 41	syl6eqr 2674	. . . . . . 7 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( (π ` ( |_ ` N ) ) - (π ` 3 ) ) = ( # ` ( ( 4 ... ( |_ ` N ) ) i^i Prime ) ) )
43	26, 42	eqtr3d 2658	. . . . . 6 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( (π ` N ) - 2 ) = ( # ` ( ( 4 ... ( |_ ` N ) ) i^i Prime ) ) )
44		dfin5 3582	. . . . . . . . 9 |- ( ( 4 ... ( |_ ` N ) ) i^i Prime ) = { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | k e. Prime }
45		elfzle1 12344	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) -> 4 <_ k )
46		ppiublem2 24928	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. Prime /\ 4 <_ k ) -> ( k mod 6 ) e. { 1 , 5 } )
47	46	expcom 451	. . . . . . . . . . 11 |- ( 4 <_ k -> ( k e. Prime -> ( k mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) )
48	45, 47	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) -> ( k e. Prime -> ( k mod 6 ) e. { 1 , 5 } ) )
49	48	ss2rabi 3684	. . . . . . . . 9 |- { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | k e. Prime } C_ { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | ( k mod 6 ) e. { 1 , 5 } }
50	44, 49	eqsstri 3635	. . . . . . . 8 |- ( ( 4 ... ( |_ ` N ) ) i^i Prime ) C_ { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | ( k mod 6 ) e. { 1 , 5 } }
51		ssdomg 8001	. . . . . . . 8 |- ( { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | ( k mod 6 ) e. { 1 , 5 } } e. Fin -> ( ( ( 4 ... ( |_ ` N ) ) i^i Prime ) C_ { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | ( k mod 6 ) e. { 1 , 5 } } -> ( ( 4 ... ( |_ ` N ) ) i^i Prime ) ~<_ { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | ( k mod 6 ) e. { 1 , 5 } } ) )
52	13, 50, 51	mp2 9	. . . . . . 7 |- ( ( 4 ... ( |_ ` N ) ) i^i Prime ) ~<_ { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | ( k mod 6 ) e. { 1 , 5 } }
53		inss1 3833	. . . . . . . . 9 |- ( ( 4 ... ( |_ ` N ) ) i^i Prime ) C_ ( 4 ... ( |_ ` N ) )
54		ssfi 8180	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 4 ... ( |_ ` N ) ) e. Fin /\ ( ( 4 ... ( |_ ` N ) ) i^i Prime ) C_ ( 4 ... ( |_ ` N ) ) ) -> ( ( 4 ... ( |_ ` N ) ) i^i Prime ) e. Fin )
55	10, 53, 54	mp2an 708	. . . . . . . 8 |- ( ( 4 ... ( |_ ` N ) ) i^i Prime ) e. Fin
56		hashdom 13168	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( 4 ... ( |_ ` N ) ) i^i Prime ) e. Fin /\ { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | ( k mod 6 ) e. { 1 , 5 } } e. Fin ) -> ( ( # ` ( ( 4 ... ( |_ ` N ) ) i^i Prime ) ) <_ ( # ` { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | ( k mod 6 ) e. { 1 , 5 } } ) <-> ( ( 4 ... ( |_ ` N ) ) i^i Prime ) ~<_ { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | ( k mod 6 ) e. { 1 , 5 } } ) )
57	55, 13, 56	mp2an 708	. . . . . . 7 |- ( ( # ` ( ( 4 ... ( |_ ` N ) ) i^i Prime ) ) <_ ( # ` { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | ( k mod 6 ) e. { 1 , 5 } } ) <-> ( ( 4 ... ( |_ ` N ) ) i^i Prime ) ~<_ { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | ( k mod 6 ) e. { 1 , 5 } } )
58	52, 57	mpbir 221	. . . . . 6 |- ( # ` ( ( 4 ... ( |_ ` N ) ) i^i Prime ) ) <_ ( # ` { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | ( k mod 6 ) e. { 1 , 5 } } )
59	43, 58	syl6eqbr 4692	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( (π ` N ) - 2 ) <_ ( # ` { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | ( k mod 6 ) e. { 1 , 5 } } ) )
60		reflcl 12597	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. RR -> ( |_ ` N ) e. RR )
61	60	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( |_ ` N ) e. RR )
62		peano2rem 10348	. . . . . . . . . 10 |- ( ( |_ ` N ) e. RR -> ( ( |_ ` N ) - 1 ) e. RR )
63	61, 62	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( ( |_ ` N ) - 1 ) e. RR )
64		6nn 11189	. . . . . . . . 9 |- 6 e. NN
65		nndivre 11056	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( |_ ` N ) - 1 ) e. RR /\ 6 e. NN ) -> ( ( ( |_ ` N ) - 1 ) / 6 ) e. RR )
66	63, 64, 65	sylancl 694	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( ( ( |_ ` N ) - 1 ) / 6 ) e. RR )
67		reflcl 12597	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( |_ ` N ) - 1 ) / 6 ) e. RR -> ( |_ ` ( ( ( |_ ` N ) - 1 ) / 6 ) ) e. RR )
68	66, 67	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( |_ ` ( ( ( |_ ` N ) - 1 ) / 6 ) ) e. RR )
69		5re 11099	. . . . . . . . . . 11 |- 5 e. RR
70		resubcl 10345	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( |_ ` N ) e. RR /\ 5 e. RR ) -> ( ( |_ ` N ) - 5 ) e. RR )
71	61, 69, 70	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( ( |_ ` N ) - 5 ) e. RR )
72		nndivre 11056	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( |_ ` N ) - 5 ) e. RR /\ 6 e. NN ) -> ( ( ( |_ ` N ) - 5 ) / 6 ) e. RR )
73	71, 64, 72	sylancl 694	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( ( ( |_ ` N ) - 5 ) / 6 ) e. RR )
74		reflcl 12597	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( |_ ` N ) - 5 ) / 6 ) e. RR -> ( |_ ` ( ( ( |_ ` N ) - 5 ) / 6 ) ) e. RR )
75	73, 74	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( |_ ` ( ( ( |_ ` N ) - 5 ) / 6 ) ) e. RR )
76		peano2re 10209	. . . . . . . 8 |- ( ( |_ ` ( ( ( |_ ` N ) - 5 ) / 6 ) ) e. RR -> ( ( |_ ` ( ( ( |_ ` N ) - 5 ) / 6 ) ) + 1 ) e. RR )
77	75, 76	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( ( |_ ` ( ( ( |_ ` N ) - 5 ) / 6 ) ) + 1 ) e. RR )
78		peano2rem 10348	. . . . . . . . 9 |- ( N e. RR -> ( N - 1 ) e. RR )
79	78	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( N - 1 ) e. RR )
80		nndivre 11056	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N - 1 ) e. RR /\ 6 e. NN ) -> ( ( N - 1 ) / 6 ) e. RR )
81	79, 64, 80	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( ( N - 1 ) / 6 ) e. RR )
82		simpl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> N e. RR )
83		resubcl 10345	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. RR /\ 5 e. RR ) -> ( N - 5 ) e. RR )
84	82, 69, 83	sylancl 694	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( N - 5 ) e. RR )
85		nndivre 11056	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N - 5 ) e. RR /\ 6 e. NN ) -> ( ( N - 5 ) / 6 ) e. RR )
86	84, 64, 85	sylancl 694	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( ( N - 5 ) / 6 ) e. RR )
87		peano2re 10209	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N - 5 ) / 6 ) e. RR -> ( ( ( N - 5 ) / 6 ) + 1 ) e. RR )
88	86, 87	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( ( ( N - 5 ) / 6 ) + 1 ) e. RR )
89		flle 12600	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( |_ ` N ) - 1 ) / 6 ) e. RR -> ( |_ ` ( ( ( |_ ` N ) - 1 ) / 6 ) ) <_ ( ( ( |_ ` N ) - 1 ) / 6 ) )
90	66, 89	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( |_ ` ( ( ( |_ ` N ) - 1 ) / 6 ) ) <_ ( ( ( |_ ` N ) - 1 ) / 6 ) )
91		1re 10039	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. RR
92	91	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> 1 e. RR )
93		flle 12600	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. RR -> ( |_ ` N ) <_ N )
94	93	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( |_ ` N ) <_ N )
95	61, 82, 92, 94	lesub1dd 10643	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( ( |_ ` N ) - 1 ) <_ ( N - 1 ) )
96		6re 11101	. . . . . . . . . . 11 |- 6 e. RR
97	96	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> 6 e. RR )
98		6pos 11119	. . . . . . . . . . 11 |- 0 < 6
99	98	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> 0 < 6 )
100		lediv1 10888	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( |_ ` N ) - 1 ) e. RR /\ ( N - 1 ) e. RR /\ ( 6 e. RR /\ 0 < 6 ) ) -> ( ( ( |_ ` N ) - 1 ) <_ ( N - 1 ) <-> ( ( ( |_ ` N ) - 1 ) / 6 ) <_ ( ( N - 1 ) / 6 ) ) )
101	63, 79, 97, 99, 100	syl112anc 1330	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( ( ( |_ ` N ) - 1 ) <_ ( N - 1 ) <-> ( ( ( |_ ` N ) - 1 ) / 6 ) <_ ( ( N - 1 ) / 6 ) ) )
102	95, 101	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( ( ( |_ ` N ) - 1 ) / 6 ) <_ ( ( N - 1 ) / 6 ) )
103	68, 66, 81, 90, 102	letrd 10194	. . . . . . 7 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( |_ ` ( ( ( |_ ` N ) - 1 ) / 6 ) ) <_ ( ( N - 1 ) / 6 ) )
104		flle 12600	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( |_ ` N ) - 5 ) / 6 ) e. RR -> ( |_ ` ( ( ( |_ ` N ) - 5 ) / 6 ) ) <_ ( ( ( |_ ` N ) - 5 ) / 6 ) )
105	73, 104	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( |_ ` ( ( ( |_ ` N ) - 5 ) / 6 ) ) <_ ( ( ( |_ ` N ) - 5 ) / 6 ) )
106	69	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> 5 e. RR )
107	61, 82, 106, 94	lesub1dd 10643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( ( |_ ` N ) - 5 ) <_ ( N - 5 ) )
108		lediv1 10888	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( |_ ` N ) - 5 ) e. RR /\ ( N - 5 ) e. RR /\ ( 6 e. RR /\ 0 < 6 ) ) -> ( ( ( |_ ` N ) - 5 ) <_ ( N - 5 ) <-> ( ( ( |_ ` N ) - 5 ) / 6 ) <_ ( ( N - 5 ) / 6 ) ) )
109	71, 84, 97, 99, 108	syl112anc 1330	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( ( ( |_ ` N ) - 5 ) <_ ( N - 5 ) <-> ( ( ( |_ ` N ) - 5 ) / 6 ) <_ ( ( N - 5 ) / 6 ) ) )
110	107, 109	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( ( ( |_ ` N ) - 5 ) / 6 ) <_ ( ( N - 5 ) / 6 ) )
111	75, 73, 86, 105, 110	letrd 10194	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( |_ ` ( ( ( |_ ` N ) - 5 ) / 6 ) ) <_ ( ( N - 5 ) / 6 ) )
112	75, 86, 92, 111	leadd1dd 10641	. . . . . . 7 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( ( |_ ` ( ( ( |_ ` N ) - 5 ) / 6 ) ) + 1 ) <_ ( ( ( N - 5 ) / 6 ) + 1 ) )
113	68, 77, 81, 88, 103, 112	le2addd 10646	. . . . . 6 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( ( |_ ` ( ( ( |_ ` N ) - 1 ) / 6 ) ) + ( ( |_ ` ( ( ( |_ ` N ) - 5 ) / 6 ) ) + 1 ) ) <_ ( ( ( N - 1 ) / 6 ) + ( ( ( N - 5 ) / 6 ) + 1 ) ) )
114		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k mod 6 ) e. _V
115	114	elpr 4198	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k mod 6 ) e. { 1 , 5 } <-> ( ( k mod 6 ) = 1 \/ ( k mod 6 ) = 5 ) )
116	115	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) -> ( ( k mod 6 ) e. { 1 , 5 } <-> ( ( k mod 6 ) = 1 \/ ( k mod 6 ) = 5 ) ) )
117	116	rabbiia 3185	. . . . . . . . . 10 |- { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | ( k mod 6 ) e. { 1 , 5 } } = { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | ( ( k mod 6 ) = 1 \/ ( k mod 6 ) = 5 ) }
118		unrab 3898	. . . . . . . . . 10 |- ( { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | ( k mod 6 ) = 1 } u. { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | ( k mod 6 ) = 5 } ) = { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | ( ( k mod 6 ) = 1 \/ ( k mod 6 ) = 5 ) }
119	117, 118	eqtr4i 2647	. . . . . . . . 9 |- { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | ( k mod 6 ) e. { 1 , 5 } } = ( { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | ( k mod 6 ) = 1 } u. { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | ( k mod 6 ) = 5 } )
120	119	fveq2i 6194	. . . . . . . 8 |- ( # ` { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | ( k mod 6 ) e. { 1 , 5 } } ) = ( # ` ( { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | ( k mod 6 ) = 1 } u. { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | ( k mod 6 ) = 5 } ) )
121		ssrab2 3687	. . . . . . . . . 10 |- { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | ( k mod 6 ) = 1 } C_ ( 4 ... ( |_ ` N ) )
122		ssfi 8180	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 4 ... ( |_ ` N ) ) e. Fin /\ { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | ( k mod 6 ) = 1 } C_ ( 4 ... ( |_ ` N ) ) ) -> { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | ( k mod 6 ) = 1 } e. Fin )
123	10, 121, 122	mp2an 708	. . . . . . . . 9 |- { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | ( k mod 6 ) = 1 } e. Fin
124		ssrab2 3687	. . . . . . . . . 10 |- { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | ( k mod 6 ) = 5 } C_ ( 4 ... ( |_ ` N ) )
125		ssfi 8180	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 4 ... ( |_ ` N ) ) e. Fin /\ { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | ( k mod 6 ) = 5 } C_ ( 4 ... ( |_ ` N ) ) ) -> { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | ( k mod 6 ) = 5 } e. Fin )
126	10, 124, 125	mp2an 708	. . . . . . . . 9 |- { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | ( k mod 6 ) = 5 } e. Fin
127		inrab 3899	. . . . . . . . . 10 |- ( { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | ( k mod 6 ) = 1 } i^i { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | ( k mod 6 ) = 5 } ) = { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | ( ( k mod 6 ) = 1 /\ ( k mod 6 ) = 5 ) }
128		rabeq0 3957	. . . . . . . . . . 11 |- ( { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | ( ( k mod 6 ) = 1 /\ ( k mod 6 ) = 5 ) } = (/) <-> A. k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) -. ( ( k mod 6 ) = 1 /\ ( k mod 6 ) = 5 ) )
129		1lt5 11203	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 < 5
130	91, 129	ltneii 10150	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 =/= 5
131		eqtr2 2642	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k mod 6 ) = 1 /\ ( k mod 6 ) = 5 ) -> 1 = 5 )
132	131	necon3ai 2819	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 =/= 5 -> -. ( ( k mod 6 ) = 1 /\ ( k mod 6 ) = 5 ) )
133	130, 132	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- -. ( ( k mod 6 ) = 1 /\ ( k mod 6 ) = 5 )
134	133	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) -> -. ( ( k mod 6 ) = 1 /\ ( k mod 6 ) = 5 ) )
135	128, 134	mprgbir 2927	. . . . . . . . . 10 |- { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | ( ( k mod 6 ) = 1 /\ ( k mod 6 ) = 5 ) } = (/)
136	127, 135	eqtri 2644	. . . . . . . . 9 |- ( { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | ( k mod 6 ) = 1 } i^i { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | ( k mod 6 ) = 5 } ) = (/)
137		hashun 13171	. . . . . . . . 9 |- ( ( { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | ( k mod 6 ) = 1 } e. Fin /\ { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | ( k mod 6 ) = 5 } e. Fin /\ ( { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | ( k mod 6 ) = 1 } i^i { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | ( k mod 6 ) = 5 } ) = (/) ) -> ( # ` ( { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | ( k mod 6 ) = 1 } u. { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | ( k mod 6 ) = 5 } ) ) = ( ( # ` { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | ( k mod 6 ) = 1 } ) + ( # ` { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | ( k mod 6 ) = 5 } ) ) )
138	123, 126, 136, 137	mp3an 1424	. . . . . . . 8 |- ( # ` ( { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | ( k mod 6 ) = 1 } u. { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | ( k mod 6 ) = 5 } ) ) = ( ( # ` { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | ( k mod 6 ) = 1 } ) + ( # ` { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | ( k mod 6 ) = 5 } ) )
139	120, 138	eqtri 2644	. . . . . . 7 |- ( # ` { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | ( k mod 6 ) e. { 1 , 5 } } ) = ( ( # ` { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | ( k mod 6 ) = 1 } ) + ( # ` { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | ( k mod 6 ) = 5 } ) )
140		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) -> k e. ZZ )
141		nnrp 11842	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 6 e. NN -> 6 e. RR+ )
142	64, 141	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 6 e. RR+
143		0le1 10551	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 <_ 1
144		1lt6 11208	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 < 6
145		modid 12695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( 1 e. RR /\ 6 e. RR+ ) /\ ( 0 <_ 1 /\ 1 < 6 ) ) -> ( 1 mod 6 ) = 1 )
146	91, 142, 143, 144, 145	mp4an 709	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 mod 6 ) = 1
147	146	eqeq2i 2634	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k mod 6 ) = ( 1 mod 6 ) <-> ( k mod 6 ) = 1 )
148		1z 11407	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. ZZ
149		moddvds 14991	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 6 e. NN /\ k e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( ( k mod 6 ) = ( 1 mod 6 ) <-> 6 || ( k - 1 ) ) )
150	64, 148, 149	mp3an13 1415	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ZZ -> ( ( k mod 6 ) = ( 1 mod 6 ) <-> 6 || ( k - 1 ) ) )
151	147, 150	syl5bbr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ZZ -> ( ( k mod 6 ) = 1 <-> 6 || ( k - 1 ) ) )
152	140, 151	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) -> ( ( k mod 6 ) = 1 <-> 6 || ( k - 1 ) ) )
153	152	rabbiia 3185	. . . . . . . . . . 11 |- { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | ( k mod 6 ) = 1 } = { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | 6 || ( k - 1 ) }
154	153	fveq2i 6194	. . . . . . . . . 10 |- ( # ` { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | ( k mod 6 ) = 1 } ) = ( # ` { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | 6 || ( k - 1 ) } )
155	64	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> 6 e. NN )
156		4z 11411	. . . . . . . . . . . 12 |- 4 e. ZZ
157	156	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> 4 e. ZZ )
158	38	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 4 - 1 ) = ( ( 3 + 1 ) - 1 )
159		3cn 11095	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 3 e. CC
160		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. CC
161	159, 160	pncan3oi 10297	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 3 + 1 ) - 1 ) = 3
162	158, 161	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 4 - 1 ) = 3
163	162	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ZZ>= ` ( 4 - 1 ) ) = ( ZZ>= ` 3 )
164	35, 163	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( |_ ` N ) e. ( ZZ>= ` ( 4 - 1 ) ) )
165	148	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> 1 e. ZZ )
166	155, 157, 164, 165	hashdvds 15480	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( # ` { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | 6 || ( k - 1 ) } ) = ( ( |_ ` ( ( ( |_ ` N ) - 1 ) / 6 ) ) - ( |_ ` ( ( ( 4 - 1 ) - 1 ) / 6 ) ) ) )
167	154, 166	syl5eq 2668	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( # ` { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | ( k mod 6 ) = 1 } ) = ( ( |_ ` ( ( ( |_ ` N ) - 1 ) / 6 ) ) - ( |_ ` ( ( ( 4 - 1 ) - 1 ) / 6 ) ) ) )
168		df-3 11080	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 3 = ( 2 + 1 )
169	162, 168	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 4 - 1 ) = ( 2 + 1 )
170	169	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 4 - 1 ) - 1 ) = ( ( 2 + 1 ) - 1 )
171		2cn 11091	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 e. CC
172	171, 160	pncan3oi 10297	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 2 + 1 ) - 1 ) = 2
173	170, 172	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 4 - 1 ) - 1 ) = 2
174	173	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 4 - 1 ) - 1 ) / 6 ) = ( 2 / 6 )
175	174	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . 12 |- ( |_ ` ( ( ( 4 - 1 ) - 1 ) / 6 ) ) = ( |_ ` ( 2 / 6 ) )
176		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. RR
177	64	nnne0i 11055	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 6 =/= 0
178	7, 96, 177	redivcli 10792	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 / 6 ) e. RR
179		2pos 11112	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 < 2
180	7, 96, 179, 98	divgt0ii 10941	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 < ( 2 / 6 )
181	176, 178, 180	ltleii 10160	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 <_ ( 2 / 6 )
182		2lt6 11207	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 < 6
183		6cn 11102	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 6 e. CC
184	183	mulid1i 10042	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 6 x. 1 ) = 6
185	182, 184	breqtrri 4680	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 < ( 6 x. 1 )
186	96, 98	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 6 e. RR /\ 0 < 6 )
187		ltdivmul 10898	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 2 e. RR /\ 1 e. RR /\ ( 6 e. RR /\ 0 < 6 ) ) -> ( ( 2 / 6 ) < 1 <-> 2 < ( 6 x. 1 ) ) )
188	7, 91, 186, 187	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 2 / 6 ) < 1 <-> 2 < ( 6 x. 1 ) )
189	185, 188	mpbir 221	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 / 6 ) < 1
190		1e0p1 11552	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 = ( 0 + 1 )
191	189, 190	breqtri 4678	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 / 6 ) < ( 0 + 1 )
192		0z 11388	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. ZZ
193		flbi 12617	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( 2 / 6 ) e. RR /\ 0 e. ZZ ) -> ( ( |_ ` ( 2 / 6 ) ) = 0 <-> ( 0 <_ ( 2 / 6 ) /\ ( 2 / 6 ) < ( 0 + 1 ) ) ) )
194	178, 192, 193	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( |_ ` ( 2 / 6 ) ) = 0 <-> ( 0 <_ ( 2 / 6 ) /\ ( 2 / 6 ) < ( 0 + 1 ) ) )
195	181, 191, 194	mpbir2an 955	. . . . . . . . . . . 12 |- ( |_ ` ( 2 / 6 ) ) = 0
196	175, 195	eqtri 2644	. . . . . . . . . . 11 |- ( |_ ` ( ( ( 4 - 1 ) - 1 ) / 6 ) ) = 0
197	196	oveq2i 6661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( |_ ` ( ( ( |_ ` N ) - 1 ) / 6 ) ) - ( |_ ` ( ( ( 4 - 1 ) - 1 ) / 6 ) ) ) = ( ( |_ ` ( ( ( |_ ` N ) - 1 ) / 6 ) ) - 0 )
198	66	flcld 12599	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( |_ ` ( ( ( |_ ` N ) - 1 ) / 6 ) ) e. ZZ )
199	198	zcnd 11483	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( |_ ` ( ( ( |_ ` N ) - 1 ) / 6 ) ) e. CC )
200	199	subid1d 10381	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( ( |_ ` ( ( ( |_ ` N ) - 1 ) / 6 ) ) - 0 ) = ( |_ ` ( ( ( |_ ` N ) - 1 ) / 6 ) ) )
201	197, 200	syl5eq 2668	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( ( |_ ` ( ( ( |_ ` N ) - 1 ) / 6 ) ) - ( |_ ` ( ( ( 4 - 1 ) - 1 ) / 6 ) ) ) = ( |_ ` ( ( ( |_ ` N ) - 1 ) / 6 ) ) )
202	167, 201	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( # ` { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | ( k mod 6 ) = 1 } ) = ( |_ ` ( ( ( |_ ` N ) - 1 ) / 6 ) ) )
203		5pos 11118	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 < 5
204	176, 69, 203	ltleii 10160	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 <_ 5
205		5lt6 11204	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 5 < 6
206		modid 12695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( 5 e. RR /\ 6 e. RR+ ) /\ ( 0 <_ 5 /\ 5 < 6 ) ) -> ( 5 mod 6 ) = 5 )
207	69, 142, 204, 205, 206	mp4an 709	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 5 mod 6 ) = 5
208	207	eqeq2i 2634	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k mod 6 ) = ( 5 mod 6 ) <-> ( k mod 6 ) = 5 )
209		5nn 11188	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 5 e. NN
210	209	nnzi 11401	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 5 e. ZZ
211		moddvds 14991	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 6 e. NN /\ k e. ZZ /\ 5 e. ZZ ) -> ( ( k mod 6 ) = ( 5 mod 6 ) <-> 6 || ( k - 5 ) ) )
212	64, 210, 211	mp3an13 1415	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ZZ -> ( ( k mod 6 ) = ( 5 mod 6 ) <-> 6 || ( k - 5 ) ) )
213	208, 212	syl5bbr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ZZ -> ( ( k mod 6 ) = 5 <-> 6 || ( k - 5 ) ) )
214	140, 213	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) -> ( ( k mod 6 ) = 5 <-> 6 || ( k - 5 ) ) )
215	214	rabbiia 3185	. . . . . . . . . . 11 |- { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | ( k mod 6 ) = 5 } = { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | 6 || ( k - 5 ) }
216	215	fveq2i 6194	. . . . . . . . . 10 |- ( # ` { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | ( k mod 6 ) = 5 } ) = ( # ` { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | 6 || ( k - 5 ) } )
217	210	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> 5 e. ZZ )
218	155, 157, 164, 217	hashdvds 15480	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( # ` { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | 6 || ( k - 5 ) } ) = ( ( |_ ` ( ( ( |_ ` N ) - 5 ) / 6 ) ) - ( |_ ` ( ( ( 4 - 1 ) - 5 ) / 6 ) ) ) )
219	216, 218	syl5eq 2668	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( # ` { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | ( k mod 6 ) = 5 } ) = ( ( |_ ` ( ( ( |_ ` N ) - 5 ) / 6 ) ) - ( |_ ` ( ( ( 4 - 1 ) - 5 ) / 6 ) ) ) )
220	162	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 4 - 1 ) - 5 ) = ( 3 - 5 )
221		5cn 11100	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 5 e. CC
222	221, 159	negsubdi2i 10367	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- -u ( 5 - 3 ) = ( 3 - 5 )
223		3p2e5 11160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 3 + 2 ) = 5
224	223	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 3 + 2 ) - 3 ) = ( 5 - 3 )
225		pncan2 10288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 3 e. CC /\ 2 e. CC ) -> ( ( 3 + 2 ) - 3 ) = 2 )
226	159, 171, 225	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 3 + 2 ) - 3 ) = 2
227	224, 226	eqtr3i 2646	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 5 - 3 ) = 2
228	227	negeqi 10274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- -u ( 5 - 3 ) = -u 2
229	220, 222, 228	3eqtr2i 2650	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 4 - 1 ) - 5 ) = -u 2
230	229	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( 4 - 1 ) - 5 ) / 6 ) = ( -u 2 / 6 )
231		divneg 10719	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 2 e. CC /\ 6 e. CC /\ 6 =/= 0 ) -> -u ( 2 / 6 ) = ( -u 2 / 6 ) )
232	171, 183, 177, 231	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -u ( 2 / 6 ) = ( -u 2 / 6 )
233	230, 232	eqtr4i 2647	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 4 - 1 ) - 5 ) / 6 ) = -u ( 2 / 6 )
234	233	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . 12 |- ( |_ ` ( ( ( 4 - 1 ) - 5 ) / 6 ) ) = ( |_ ` -u ( 2 / 6 ) )
235	178, 91, 189	ltleii 10160	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 / 6 ) <_ 1
236	178, 91	lenegi 10573	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 / 6 ) <_ 1 <-> -u 1 <_ -u ( 2 / 6 ) )
237	235, 236	mpbi 220	. . . . . . . . . . . . 13 |- -u 1 <_ -u ( 2 / 6 )
238	176, 178	ltnegi 10572	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0 < ( 2 / 6 ) <-> -u ( 2 / 6 ) < -u 0 )
239	180, 238	mpbi 220	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -u ( 2 / 6 ) < -u 0
240		neg0 10327	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- -u 0 = 0
241		1pneg1e0 11129	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 + -u 1 ) = 0
242	240, 241	eqtr4i 2647	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -u 0 = ( 1 + -u 1 )
243		neg1cn 11124	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- -u 1 e. CC
244	243, 160	addcomi 10227	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -u 1 + 1 ) = ( 1 + -u 1 )
245	242, 244	eqtr4i 2647	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -u 0 = ( -u 1 + 1 )
246	239, 245	breqtri 4678	. . . . . . . . . . . . 13 |- -u ( 2 / 6 ) < ( -u 1 + 1 )
247	178	renegcli 10342	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -u ( 2 / 6 ) e. RR
248		neg1z 11413	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -u 1 e. ZZ
249		flbi 12617	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -u ( 2 / 6 ) e. RR /\ -u 1 e. ZZ ) -> ( ( |_ ` -u ( 2 / 6 ) ) = -u 1 <-> ( -u 1 <_ -u ( 2 / 6 ) /\ -u ( 2 / 6 ) < ( -u 1 + 1 ) ) ) )
250	247, 248, 249	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( |_ ` -u ( 2 / 6 ) ) = -u 1 <-> ( -u 1 <_ -u ( 2 / 6 ) /\ -u ( 2 / 6 ) < ( -u 1 + 1 ) ) )
251	237, 246, 250	mpbir2an 955	. . . . . . . . . . . 12 |- ( |_ ` -u ( 2 / 6 ) ) = -u 1
252	234, 251	eqtri 2644	. . . . . . . . . . 11 |- ( |_ ` ( ( ( 4 - 1 ) - 5 ) / 6 ) ) = -u 1
253	252	oveq2i 6661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( |_ ` ( ( ( |_ ` N ) - 5 ) / 6 ) ) - ( |_ ` ( ( ( 4 - 1 ) - 5 ) / 6 ) ) ) = ( ( |_ ` ( ( ( |_ ` N ) - 5 ) / 6 ) ) - -u 1 )
254	73	flcld 12599	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( |_ ` ( ( ( |_ ` N ) - 5 ) / 6 ) ) e. ZZ )
255	254	zcnd 11483	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( |_ ` ( ( ( |_ ` N ) - 5 ) / 6 ) ) e. CC )
256		subneg 10330	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( |_ ` ( ( ( |_ ` N ) - 5 ) / 6 ) ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( |_ ` ( ( ( |_ ` N ) - 5 ) / 6 ) ) - -u 1 ) = ( ( |_ ` ( ( ( |_ ` N ) - 5 ) / 6 ) ) + 1 ) )
257	255, 160, 256	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( ( |_ ` ( ( ( |_ ` N ) - 5 ) / 6 ) ) - -u 1 ) = ( ( |_ ` ( ( ( |_ ` N ) - 5 ) / 6 ) ) + 1 ) )
258	253, 257	syl5eq 2668	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( ( |_ ` ( ( ( |_ ` N ) - 5 ) / 6 ) ) - ( |_ ` ( ( ( 4 - 1 ) - 5 ) / 6 ) ) ) = ( ( |_ ` ( ( ( |_ ` N ) - 5 ) / 6 ) ) + 1 ) )
259	219, 258	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( # ` { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | ( k mod 6 ) = 5 } ) = ( ( |_ ` ( ( ( |_ ` N ) - 5 ) / 6 ) ) + 1 ) )
260	202, 259	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( ( # ` { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | ( k mod 6 ) = 1 } ) + ( # ` { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | ( k mod 6 ) = 5 } ) ) = ( ( |_ ` ( ( ( |_ ` N ) - 1 ) / 6 ) ) + ( ( |_ ` ( ( ( |_ ` N ) - 5 ) / 6 ) ) + 1 ) ) )
261	139, 260	syl5eq 2668	. . . . . 6 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( # ` { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | ( k mod 6 ) e. { 1 , 5 } } ) = ( ( |_ ` ( ( ( |_ ` N ) - 1 ) / 6 ) ) + ( ( |_ ` ( ( ( |_ ` N ) - 5 ) / 6 ) ) + 1 ) ) )
262	82	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> N e. CC )
263	262	2timesd 11275	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( 2 x. N ) = ( N + N ) )
264		df-6 11083	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 6 = ( 5 + 1 )
265	221, 160	addcomi 10227	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 5 + 1 ) = ( 1 + 5 )
266	264, 265	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . 13 |- 6 = ( 1 + 5 )
267	266	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> 6 = ( 1 + 5 ) )
268	263, 267	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( ( 2 x. N ) - 6 ) = ( ( N + N ) - ( 1 + 5 ) ) )
269		addsub4 10324	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. CC /\ N e. CC ) /\ ( 1 e. CC /\ 5 e. CC ) ) -> ( ( N + N ) - ( 1 + 5 ) ) = ( ( N - 1 ) + ( N - 5 ) ) )
270	160, 221, 269	mpanr12 721	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. CC /\ N e. CC ) -> ( ( N + N ) - ( 1 + 5 ) ) = ( ( N - 1 ) + ( N - 5 ) ) )
271	262, 262, 270	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( ( N + N ) - ( 1 + 5 ) ) = ( ( N - 1 ) + ( N - 5 ) ) )
272	268, 271	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( ( 2 x. N ) - 6 ) = ( ( N - 1 ) + ( N - 5 ) ) )
273	272	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( ( ( 2 x. N ) - 6 ) / 6 ) = ( ( ( N - 1 ) + ( N - 5 ) ) / 6 ) )
274		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. CC /\ N e. CC ) -> ( 2 x. N ) e. CC )
275	171, 262, 274	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( 2 x. N ) e. CC )
276	183, 177	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 6 e. CC /\ 6 =/= 0 )
277		divsubdir 10721	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 2 x. N ) e. CC /\ 6 e. CC /\ ( 6 e. CC /\ 6 =/= 0 ) ) -> ( ( ( 2 x. N ) - 6 ) / 6 ) = ( ( ( 2 x. N ) / 6 ) - ( 6 / 6 ) ) )
278	183, 276, 277	mp3an23 1416	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 x. N ) e. CC -> ( ( ( 2 x. N ) - 6 ) / 6 ) = ( ( ( 2 x. N ) / 6 ) - ( 6 / 6 ) ) )
279	275, 278	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( ( ( 2 x. N ) - 6 ) / 6 ) = ( ( ( 2 x. N ) / 6 ) - ( 6 / 6 ) ) )
280		3t2e6 11179	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 3 x. 2 ) = 6
281	159, 171	mulcomi 10046	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 3 x. 2 ) = ( 2 x. 3 )
282	280, 281	eqtr3i 2646	. . . . . . . . . . . . 13 |- 6 = ( 2 x. 3 )
283	282	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 x. N ) / 6 ) = ( ( 2 x. N ) / ( 2 x. 3 ) )
284		3ne0 11115	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 3 =/= 0
285	159, 284	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 3 e. CC /\ 3 =/= 0 )
286		2cnne0 11242	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 )
287		divcan5 10727	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. CC /\ ( 3 e. CC /\ 3 =/= 0 ) /\ ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) ) -> ( ( 2 x. N ) / ( 2 x. 3 ) ) = ( N / 3 ) )
288	285, 286, 287	mp3an23 1416	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. CC -> ( ( 2 x. N ) / ( 2 x. 3 ) ) = ( N / 3 ) )
289	262, 288	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( ( 2 x. N ) / ( 2 x. 3 ) ) = ( N / 3 ) )
290	283, 289	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( ( 2 x. N ) / 6 ) = ( N / 3 ) )
291	183, 177	dividi 10758	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 6 / 6 ) = 1
292	291	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( 6 / 6 ) = 1 )
293	290, 292	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( ( ( 2 x. N ) / 6 ) - ( 6 / 6 ) ) = ( ( N / 3 ) - 1 ) )
294	279, 293	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( ( ( 2 x. N ) - 6 ) / 6 ) = ( ( N / 3 ) - 1 ) )
295	79	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( N - 1 ) e. CC )
296	84	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( N - 5 ) e. CC )
297		divdir 10710	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N - 1 ) e. CC /\ ( N - 5 ) e. CC /\ ( 6 e. CC /\ 6 =/= 0 ) ) -> ( ( ( N - 1 ) + ( N - 5 ) ) / 6 ) = ( ( ( N - 1 ) / 6 ) + ( ( N - 5 ) / 6 ) ) )
298	276, 297	mp3an3 1413	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N - 1 ) e. CC /\ ( N - 5 ) e. CC ) -> ( ( ( N - 1 ) + ( N - 5 ) ) / 6 ) = ( ( ( N - 1 ) / 6 ) + ( ( N - 5 ) / 6 ) ) )
299	295, 296, 298	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( ( ( N - 1 ) + ( N - 5 ) ) / 6 ) = ( ( ( N - 1 ) / 6 ) + ( ( N - 5 ) / 6 ) ) )
300	273, 294, 299	3eqtr3d 2664	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( ( N / 3 ) - 1 ) = ( ( ( N - 1 ) / 6 ) + ( ( N - 5 ) / 6 ) ) )
301	300	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( ( ( N / 3 ) - 1 ) + 1 ) = ( ( ( ( N - 1 ) / 6 ) + ( ( N - 5 ) / 6 ) ) + 1 ) )
302	21	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( N / 3 ) e. CC )
303		npcan 10290	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N / 3 ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( N / 3 ) - 1 ) + 1 ) = ( N / 3 ) )
304	302, 160, 303	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( ( ( N / 3 ) - 1 ) + 1 ) = ( N / 3 ) )
305	81	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( ( N - 1 ) / 6 ) e. CC )
306	86	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( ( N - 5 ) / 6 ) e. CC )
307	160	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> 1 e. CC )
308	305, 306, 307	addassd 10062	. . . . . . 7 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( ( ( ( N - 1 ) / 6 ) + ( ( N - 5 ) / 6 ) ) + 1 ) = ( ( ( N - 1 ) / 6 ) + ( ( ( N - 5 ) / 6 ) + 1 ) ) )
309	301, 304, 308	3eqtr3d 2664	. . . . . 6 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( N / 3 ) = ( ( ( N - 1 ) / 6 ) + ( ( ( N - 5 ) / 6 ) + 1 ) ) )
310	113, 261, 309	3brtr4d 4685	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( # ` { k e. ( 4 ... ( |_ ` N ) ) | ( k mod 6 ) e. { 1 , 5 } } ) <_ ( N / 3 ) )
311	9, 17, 21, 59, 310	letrd 10194	. . . 4 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( (π ` N ) - 2 ) <_ ( N / 3 ) )
312	7	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> 2 e. RR )
313	6, 312, 21	lesubaddd 10624	. . . 4 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> ( ( (π ` N ) - 2 ) <_ ( N / 3 ) <-> (π ` N ) <_ ( ( N / 3 ) + 2 ) ) )
314	311, 313	mpbid 222	. . 3 |- ( ( N e. RR /\ 3 <_ N ) -> (π ` N ) <_ ( ( N / 3 ) + 2 ) )
315	314	adantlr 751	. 2 |- ( ( ( N e. RR /\ 0 <_ N ) /\ 3 <_ N ) -> (π ` N ) <_ ( ( N / 3 ) + 2 ) )
316	5	ad2antrr 762	. . 3 |- ( ( ( N e. RR /\ 0 <_ N ) /\ N <_ 3 ) -> (π ` N ) e. RR )
317	7	a1i 11	. . 3 |- ( ( ( N e. RR /\ 0 <_ N ) /\ N <_ 3 ) -> 2 e. RR )
318	20	ad2antrr 762	. . . 4 |- ( ( ( N e. RR /\ 0 <_ N ) /\ N <_ 3 ) -> ( N / 3 ) e. RR )
319		readdcl 10019	. . . 4 |- ( ( ( N / 3 ) e. RR /\ 2 e. RR ) -> ( ( N / 3 ) + 2 ) e. RR )
320	318, 7, 319	sylancl 694	. . 3 |- ( ( ( N e. RR /\ 0 <_ N ) /\ N <_ 3 ) -> ( ( N / 3 ) + 2 ) e. RR )
321		ppiwordi 24888	. . . . . 6 |- ( ( N e. RR /\ 3 e. RR /\ N <_ 3 ) -> (π ` N ) <_ (π ` 3 ) )
322	1, 321	mp3an2 1412	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ N <_ 3 ) -> (π ` N ) <_ (π ` 3 ) )
323	322	adantlr 751	. . . 4 |- ( ( ( N e. RR /\ 0 <_ N ) /\ N <_ 3 ) -> (π ` N ) <_ (π ` 3 ) )
324	323, 24	syl6breq 4694	. . 3 |- ( ( ( N e. RR /\ 0 <_ N ) /\ N <_ 3 ) -> (π ` N ) <_ 2 )
325		3pos 11114	. . . . . 6 |- 0 < 3
326		divge0 10892	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. RR /\ 0 <_ N ) /\ ( 3 e. RR /\ 0 < 3 ) ) -> 0 <_ ( N / 3 ) )
327	1, 325, 326	mpanr12 721	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ 0 <_ N ) -> 0 <_ ( N / 3 ) )
328	327	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( N e. RR /\ 0 <_ N ) /\ N <_ 3 ) -> 0 <_ ( N / 3 ) )
329		addge02 10539	. . . . 5 |- ( ( 2 e. RR /\ ( N / 3 ) e. RR ) -> ( 0 <_ ( N / 3 ) <-> 2 <_ ( ( N / 3 ) + 2 ) ) )
330	7, 318, 329	sylancr 695	. . . 4 |- ( ( ( N e. RR /\ 0 <_ N ) /\ N <_ 3 ) -> ( 0 <_ ( N / 3 ) <-> 2 <_ ( ( N / 3 ) + 2 ) ) )
331	328, 330	mpbid 222	. . 3 |- ( ( ( N e. RR /\ 0 <_ N ) /\ N <_ 3 ) -> 2 <_ ( ( N / 3 ) + 2 ) )
332	316, 317, 320, 324, 331	letrd 10194	. 2 |- ( ( ( N e. RR /\ 0 <_ N ) /\ N <_ 3 ) -> (π ` N ) <_ ( ( N / 3 ) + 2 ) )
333	2, 3, 315, 332	lecasei 10143	1 |- ( ( N e. RR /\ 0 <_ N ) -> (π ` N ) <_ ( ( N / 3 ) + 2 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   {crab 2916   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {cpr 4179   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ~<_ cdom 7953   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   3c3 11071   4c4 11072   5c5 11073   6c6 11074   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   ...cfz 12326   |_cfl 12591   mod cmo 12668   #chash 13117   || cdvds 14983   Primecprime 15385  πcppi 24820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-prm 15386  df-ppi 24826

This theorem is referenced by:  bposlem5  25013