MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reconn Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem reconn 22631
Description: A subset of the reals is connected iff it has the interval property. (Contributed by Jeff Hankins, 15-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
reconn |- ( A C_ RR -> ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t A ) e. Conn <-> A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) )
Distinct variable group:   x, y, A
Proof of Theorem reconn
Dummy variables b c u v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reconnlem1 22629 . . . 4 |- ( ( ( A C_ RR /\ ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t A ) e. Conn ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( x [,] y ) C_ A )
21ralrimivva 2971 . . 3 |- ( ( A C_ RR /\ ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t A ) e. Conn ) -> A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A )
32ex 450 . 2 |- ( A C_ RR -> ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t A ) e. Conn -> A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) )
4 n0 3931 . . . . . . . . 9 |- ( ( u i^i A ) =/= (/) <-> E. b b e. ( u i^i A ) )
5 n0 3931 . . . . . . . . 9 |- ( ( v i^i A ) =/= (/) <-> E. c c e. ( v i^i A ) )
64, 5anbi12i 733 . . . . . . . 8 |- ( ( ( u i^i A ) =/= (/) /\ ( v i^i A ) =/= (/) ) <-> ( E. b b e. ( u i^i A ) /\ E. c c e. ( v i^i A ) ) )
7 eeanv 2182 . . . . . . . . 9 |- ( E. b E. c ( b e. ( u i^i A ) /\ c e. ( v i^i A ) ) <-> ( E. b b e. ( u i^i A ) /\ E. c c e. ( v i^i A ) ) )
8 simplll 798 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ ( u e. ( topGen ` ran (,) ) /\ v e. ( topGen ` ran (,) ) ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) /\ ( ( b e. ( u i^i A ) /\ c e. ( v i^i A ) ) /\ ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) ) ) -> A C_ RR )
9 inss2 3834 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u i^i A ) C_ A
10 simprll 802 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ ( u e. ( topGen ` ran (,) ) /\ v e. ( topGen ` ran (,) ) ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) /\ ( ( b e. ( u i^i A ) /\ c e. ( v i^i A ) ) /\ ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) ) ) -> b e. ( u i^i A ) )
119, 10sseldi 3601 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ ( u e. ( topGen ` ran (,) ) /\ v e. ( topGen ` ran (,) ) ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) /\ ( ( b e. ( u i^i A ) /\ c e. ( v i^i A ) ) /\ ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) ) ) -> b e. A )
128, 11sseldd 3604 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ ( u e. ( topGen ` ran (,) ) /\ v e. ( topGen ` ran (,) ) ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) /\ ( ( b e. ( u i^i A ) /\ c e. ( v i^i A ) ) /\ ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) ) ) -> b e. RR )
13 inss2 3834 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v i^i A ) C_ A
14 simprlr 803 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ ( u e. ( topGen ` ran (,) ) /\ v e. ( topGen ` ran (,) ) ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) /\ ( ( b e. ( u i^i A ) /\ c e. ( v i^i A ) ) /\ ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) ) ) -> c e. ( v i^i A ) )
1513, 14sseldi 3601 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ ( u e. ( topGen ` ran (,) ) /\ v e. ( topGen ` ran (,) ) ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) /\ ( ( b e. ( u i^i A ) /\ c e. ( v i^i A ) ) /\ ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) ) ) -> c e. A )
168, 15sseldd 3604 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ ( u e. ( topGen ` ran (,) ) /\ v e. ( topGen ` ran (,) ) ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) /\ ( ( b e. ( u i^i A ) /\ c e. ( v i^i A ) ) /\ ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) ) ) -> c e. RR )
178adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ ( u e. ( topGen ` ran (,) ) /\ v e. ( topGen ` ran (,) ) ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) /\ ( ( b e. ( u i^i A ) /\ c e. ( v i^i A ) ) /\ ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) ) ) /\ b <_ c ) -> A C_ RR )
18 simplrl 800 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A C_ RR /\ ( u e. ( topGen ` ran (,) ) /\ v e. ( topGen ` ran (,) ) ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) -> u e. ( topGen ` ran (,) ) )
1918ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ ( u e. ( topGen ` ran (,) ) /\ v e. ( topGen ` ran (,) ) ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) /\ ( ( b e. ( u i^i A ) /\ c e. ( v i^i A ) ) /\ ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) ) ) /\ b <_ c ) -> u e. ( topGen ` ran (,) ) )
20 simplrr 801 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A C_ RR /\ ( u e. ( topGen ` ran (,) ) /\ v e. ( topGen ` ran (,) ) ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) -> v e. ( topGen ` ran (,) ) )
2120ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ ( u e. ( topGen ` ran (,) ) /\ v e. ( topGen ` ran (,) ) ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) /\ ( ( b e. ( u i^i A ) /\ c e. ( v i^i A ) ) /\ ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) ) ) /\ b <_ c ) -> v e. ( topGen ` ran (,) ) )
22 simpllr 799 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ ( u e. ( topGen ` ran (,) ) /\ v e. ( topGen ` ran (,) ) ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) /\ ( ( b e. ( u i^i A ) /\ c e. ( v i^i A ) ) /\ ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) ) ) /\ b <_ c ) -> A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A )
2310adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ ( u e. ( topGen ` ran (,) ) /\ v e. ( topGen ` ran (,) ) ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) /\ ( ( b e. ( u i^i A ) /\ c e. ( v i^i A ) ) /\ ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) ) ) /\ b <_ c ) -> b e. ( u i^i A ) )
2414adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ ( u e. ( topGen ` ran (,) ) /\ v e. ( topGen ` ran (,) ) ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) /\ ( ( b e. ( u i^i A ) /\ c e. ( v i^i A ) ) /\ ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) ) ) /\ b <_ c ) -> c e. ( v i^i A ) )
25 simplrr 801 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ ( u e. ( topGen ` ran (,) ) /\ v e. ( topGen ` ran (,) ) ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) /\ ( ( b e. ( u i^i A ) /\ c e. ( v i^i A ) ) /\ ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) ) ) /\ b <_ c ) -> ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) )
26 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ ( u e. ( topGen ` ran (,) ) /\ v e. ( topGen ` ran (,) ) ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) /\ ( ( b e. ( u i^i A ) /\ c e. ( v i^i A ) ) /\ ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) ) ) /\ b <_ c ) -> b <_ c )
27 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . 13 |- sup ( ( u i^i ( b [,] c ) ) , RR , < ) = sup ( ( u i^i ( b [,] c ) ) , RR , < )
2817, 19, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27reconnlem2 22630 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ ( u e. ( topGen ` ran (,) ) /\ v e. ( topGen ` ran (,) ) ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) /\ ( ( b e. ( u i^i A ) /\ c e. ( v i^i A ) ) /\ ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) ) ) /\ b <_ c ) -> -. A C_ ( u u. v ) )
298adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ ( u e. ( topGen ` ran (,) ) /\ v e. ( topGen ` ran (,) ) ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) /\ ( ( b e. ( u i^i A ) /\ c e. ( v i^i A ) ) /\ ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) ) ) /\ c <_ b ) -> A C_ RR )
3020ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ ( u e. ( topGen ` ran (,) ) /\ v e. ( topGen ` ran (,) ) ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) /\ ( ( b e. ( u i^i A ) /\ c e. ( v i^i A ) ) /\ ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) ) ) /\ c <_ b ) -> v e. ( topGen ` ran (,) ) )
3118ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ ( u e. ( topGen ` ran (,) ) /\ v e. ( topGen ` ran (,) ) ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) /\ ( ( b e. ( u i^i A ) /\ c e. ( v i^i A ) ) /\ ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) ) ) /\ c <_ b ) -> u e. ( topGen ` ran (,) ) )
32 simpllr 799 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ ( u e. ( topGen ` ran (,) ) /\ v e. ( topGen ` ran (,) ) ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) /\ ( ( b e. ( u i^i A ) /\ c e. ( v i^i A ) ) /\ ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) ) ) /\ c <_ b ) -> A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A )
3314adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ ( u e. ( topGen ` ran (,) ) /\ v e. ( topGen ` ran (,) ) ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) /\ ( ( b e. ( u i^i A ) /\ c e. ( v i^i A ) ) /\ ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) ) ) /\ c <_ b ) -> c e. ( v i^i A ) )
3410adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ ( u e. ( topGen ` ran (,) ) /\ v e. ( topGen ` ran (,) ) ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) /\ ( ( b e. ( u i^i A ) /\ c e. ( v i^i A ) ) /\ ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) ) ) /\ c <_ b ) -> b e. ( u i^i A ) )
35 incom 3805 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v i^i u ) = ( u i^i v )
36 simplrr 801 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ ( u e. ( topGen ` ran (,) ) /\ v e. ( topGen ` ran (,) ) ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) /\ ( ( b e. ( u i^i A ) /\ c e. ( v i^i A ) ) /\ ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) ) ) /\ c <_ b ) -> ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) )
3735, 36syl5eqss 3649 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ ( u e. ( topGen ` ran (,) ) /\ v e. ( topGen ` ran (,) ) ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) /\ ( ( b e. ( u i^i A ) /\ c e. ( v i^i A ) ) /\ ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) ) ) /\ c <_ b ) -> ( v i^i u ) C_ ( RR \ A ) )
38 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ ( u e. ( topGen ` ran (,) ) /\ v e. ( topGen ` ran (,) ) ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) /\ ( ( b e. ( u i^i A ) /\ c e. ( v i^i A ) ) /\ ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) ) ) /\ c <_ b ) -> c <_ b )
39 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . 14 |- sup ( ( v i^i ( c [,] b ) ) , RR , < ) = sup ( ( v i^i ( c [,] b ) ) , RR , < )
4029, 30, 31, 32, 33, 34, 37, 38, 39reconnlem2 22630 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ ( u e. ( topGen ` ran (,) ) /\ v e. ( topGen ` ran (,) ) ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) /\ ( ( b e. ( u i^i A ) /\ c e. ( v i^i A ) ) /\ ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) ) ) /\ c <_ b ) -> -. A C_ ( v u. u ) )
41 uncom 3757 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v u. u ) = ( u u. v )
4241sseq2i 3630 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A C_ ( v u. u ) <-> A C_ ( u u. v ) )
4340, 42sylnib 318 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A C_ RR /\ ( u e. ( topGen ` ran (,) ) /\ v e. ( topGen ` ran (,) ) ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) /\ ( ( b e. ( u i^i A ) /\ c e. ( v i^i A ) ) /\ ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) ) ) /\ c <_ b ) -> -. A C_ ( u u. v ) )
4412, 16, 28, 43lecasei 10143 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A C_ RR /\ ( u e. ( topGen ` ran (,) ) /\ v e. ( topGen ` ran (,) ) ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) /\ ( ( b e. ( u i^i A ) /\ c e. ( v i^i A ) ) /\ ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) ) ) -> -. A C_ ( u u. v ) )
4544exp32 631 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ RR /\ ( u e. ( topGen ` ran (,) ) /\ v e. ( topGen ` ran (,) ) ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) -> ( ( b e. ( u i^i A ) /\ c e. ( v i^i A ) ) -> ( ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) -> -. A C_ ( u u. v ) ) ) )
4645exlimdvv 1862 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ RR /\ ( u e. ( topGen ` ran (,) ) /\ v e. ( topGen ` ran (,) ) ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) -> ( E. b E. c ( b e. ( u i^i A ) /\ c e. ( v i^i A ) ) -> ( ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) -> -. A C_ ( u u. v ) ) ) )
477, 46syl5bir 233 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ RR /\ ( u e. ( topGen ` ran (,) ) /\ v e. ( topGen ` ran (,) ) ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) -> ( ( E. b b e. ( u i^i A ) /\ E. c c e. ( v i^i A ) ) -> ( ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) -> -. A C_ ( u u. v ) ) ) )
486, 47syl5bi 232 . . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ RR /\ ( u e. ( topGen ` ran (,) ) /\ v e. ( topGen ` ran (,) ) ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) -> ( ( ( u i^i A ) =/= (/) /\ ( v i^i A ) =/= (/) ) -> ( ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) -> -. A C_ ( u u. v ) ) ) )
4948expd 452 . . . . . 6 |- ( ( ( A C_ RR /\ ( u e. ( topGen ` ran (,) ) /\ v e. ( topGen ` ran (,) ) ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) -> ( ( u i^i A ) =/= (/) -> ( ( v i^i A ) =/= (/) -> ( ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) -> -. A C_ ( u u. v ) ) ) ) )
50493impd 1281 . . . . 5 |- ( ( ( A C_ RR /\ ( u e. ( topGen ` ran (,) ) /\ v e. ( topGen ` ran (,) ) ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) -> ( ( ( u i^i A ) =/= (/) /\ ( v i^i A ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) ) -> -. A C_ ( u u. v ) ) )
5150ex 450 . . . 4 |- ( ( A C_ RR /\ ( u e. ( topGen ` ran (,) ) /\ v e. ( topGen ` ran (,) ) ) ) -> ( A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A -> ( ( ( u i^i A ) =/= (/) /\ ( v i^i A ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) ) -> -. A C_ ( u u. v ) ) ) )
5251ralrimdvva 2974 . . 3 |- ( A C_ RR -> ( A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A -> A. u e. ( topGen ` ran (,) ) A. v e. ( topGen ` ran (,) ) ( ( ( u i^i A ) =/= (/) /\ ( v i^i A ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) ) -> -. A C_ ( u u. v ) ) ) )
53 retopon 22567 . . . 4 |- ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR )
54 connsub 21224 . . . 4 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR ) /\ A C_ RR ) -> ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t A ) e. Conn <-> A. u e. ( topGen ` ran (,) ) A. v e. ( topGen ` ran (,) ) ( ( ( u i^i A ) =/= (/) /\ ( v i^i A ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) ) -> -. A C_ ( u u. v ) ) ) )
5553, 54mpan 706 . . 3 |- ( A C_ RR -> ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t A ) e. Conn <-> A. u e. ( topGen ` ran (,) ) A. v e. ( topGen ` ran (,) ) ( ( ( u i^i A ) =/= (/) /\ ( v i^i A ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( RR \ A ) ) -> -. A C_ ( u u. v ) ) ) )
5652, 55sylibrd 249 . 2 |- ( A C_ RR -> ( A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t A ) e. Conn ) )
573, 56impbid 202 1 |- ( A C_ RR -> ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t A ) e. Conn <-> A. x e. A A. y e. A ( x [,] y ) C_ A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   supcsup 8346   RRcr 9935   < clt 10074   <_ cle 10075   (,)cioo 12175   [,]cicc 12178   ↾t crest 16081   topGenctg 16098  TopOnctopon 20715  Conncconn 21214
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cld 20823  df-conn 21215
This theorem is referenced by:  retopconn  22632  iccconn  22633  resconn  31228  ioosconn  31229  iccllysconn  31232  ivthALT  32330
  Copyright terms: Public domain W3C validator