Theorem pntrmax 25253

Description: There is a bound on the residual valid for all x. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
pntrval.r	|- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )

Assertion

Ref	Expression
pntrmax	|- E. c e. RR+ A. x e. RR+ ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ c

Distinct variable groups:   x, a   x, c, R

Allowed substitution hint:   R( a)

Proof of Theorem pntrmax

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpssre 11843	. . . 4 |- RR+ C_ RR
2	1	a1i 11	. . 3 |- ( T. -> RR+ C_ RR )
3		1red 10055	. . 3 |- ( T. -> 1 e. RR )
4		pntrval.r	. . . . . . . 8 |- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
5	4	pntrval 25251	. . . . . . 7 |- ( x e. RR+ -> ( R ` x ) = ( (ψ ` x ) - x ) )
6		rpre 11839	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR+ -> x e. RR )
7		chpcl 24850	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR -> (ψ ` x ) e. RR )
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR+ -> (ψ ` x ) e. RR )
9	8, 6	resubcld 10458	. . . . . . 7 |- ( x e. RR+ -> ( (ψ ` x ) - x ) e. RR )
10	5, 9	eqeltrd 2701	. . . . . 6 |- ( x e. RR+ -> ( R ` x ) e. RR )
11		rerpdivcl 11861	. . . . . 6 |- ( ( ( R ` x ) e. RR /\ x e. RR+ ) -> ( ( R ` x ) / x ) e. RR )
12	10, 11	mpancom 703	. . . . 5 |- ( x e. RR+ -> ( ( R ` x ) / x ) e. RR )
13	12	recnd 10068	. . . 4 |- ( x e. RR+ -> ( ( R ` x ) / x ) e. CC )
14	13	adantl 482	. . 3 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( ( R ` x ) / x ) e. CC )
15	5	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( x e. RR+ -> ( ( R ` x ) / x ) = ( ( (ψ ` x ) - x ) / x ) )
16	8	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( x e. RR+ -> (ψ ` x ) e. CC )
17		rpcn 11841	. . . . . . 7 |- ( x e. RR+ -> x e. CC )
18		rpne0 11848	. . . . . . 7 |- ( x e. RR+ -> x =/= 0 )
19	16, 17, 17, 18	divsubdird 10840	. . . . . 6 |- ( x e. RR+ -> ( ( (ψ ` x ) - x ) / x ) = ( ( (ψ ` x ) / x ) - ( x / x ) ) )
20	17, 18	dividd 10799	. . . . . . 7 |- ( x e. RR+ -> ( x / x ) = 1 )
21	20	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( x e. RR+ -> ( ( (ψ ` x ) / x ) - ( x / x ) ) = ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) )
22	15, 19, 21	3eqtrd 2660	. . . . 5 |- ( x e. RR+ -> ( ( R ` x ) / x ) = ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) )
23	22	mpteq2ia 4740	. . . 4 |- ( x e. RR+ |-> ( ( R ` x ) / x ) ) = ( x e. RR+ |-> ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) )
24		rerpdivcl 11861	. . . . . . 7 |- ( ( (ψ ` x ) e. RR /\ x e. RR+ ) -> ( (ψ ` x ) / x ) e. RR )
25	8, 24	mpancom 703	. . . . . 6 |- ( x e. RR+ -> ( (ψ ` x ) / x ) e. RR )
26	25	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( (ψ ` x ) / x ) e. RR )
27		1red 10055	. . . . 5 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> 1 e. RR )
28		chpo1ub 25169	. . . . . 6 |- ( x e. RR+ |-> ( (ψ ` x ) / x ) ) e. O(1)
29	28	a1i 11	. . . . 5 |- ( T. -> ( x e. RR+ |-> ( (ψ ` x ) / x ) ) e. O(1) )
30		ax-1cn 9994	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
31		o1const 14350	. . . . . . 7 |- ( ( RR+ C_ RR /\ 1 e. CC ) -> ( x e. RR+ |-> 1 ) e. O(1) )
32	1, 30, 31	mp2an 708	. . . . . 6 |- ( x e. RR+ |-> 1 ) e. O(1)
33	32	a1i 11	. . . . 5 |- ( T. -> ( x e. RR+ |-> 1 ) e. O(1) )
34	26, 27, 29, 33	o1sub2 14356	. . . 4 |- ( T. -> ( x e. RR+ |-> ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) e. O(1) )
35	23, 34	syl5eqel 2705	. . 3 |- ( T. -> ( x e. RR+ |-> ( ( R ` x ) / x ) ) e. O(1) )
36		chpcl 24850	. . . . 5 |- ( y e. RR -> (ψ ` y ) e. RR )
37		peano2re 10209	. . . . 5 |- ( (ψ ` y ) e. RR -> ( (ψ ` y ) + 1 ) e. RR )
38	36, 37	syl 17	. . . 4 |- ( y e. RR -> ( (ψ ` y ) + 1 ) e. RR )
39	38	ad2antrl 764	. . 3 |- ( ( T. /\ ( y e. RR /\ 1 <_ y ) ) -> ( (ψ ` y ) + 1 ) e. RR )
40	22	3ad2ant1 1082	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. RR+ /\ y e. RR /\ x < y ) -> ( ( R ` x ) / x ) = ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) )
41	40	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR+ /\ y e. RR /\ x < y ) -> ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) = ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) )
42		1re 10039	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR
43	38	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR+ /\ y e. RR /\ x < y ) -> ( (ψ ` y ) + 1 ) e. RR )
44		resubcl 10345	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. RR /\ ( (ψ ` y ) + 1 ) e. RR ) -> ( 1 - ( (ψ ` y ) + 1 ) ) e. RR )
45	42, 43, 44	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR+ /\ y e. RR /\ x < y ) -> ( 1 - ( (ψ ` y ) + 1 ) ) e. RR )
46		0red 10041	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR+ /\ y e. RR /\ x < y ) -> 0 e. RR )
47	25	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR+ /\ y e. RR /\ x < y ) -> ( (ψ ` x ) / x ) e. RR )
48		chpge0 24852	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. RR -> 0 <_ (ψ ` y ) )
49	48	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. RR+ /\ y e. RR /\ x < y ) -> 0 <_ (ψ ` y ) )
50	36	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. RR+ /\ y e. RR /\ x < y ) -> (ψ ` y ) e. RR )
51		addge02 10539	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. RR /\ (ψ ` y ) e. RR ) -> ( 0 <_ (ψ ` y ) <-> 1 <_ ( (ψ ` y ) + 1 ) ) )
52	42, 50, 51	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. RR+ /\ y e. RR /\ x < y ) -> ( 0 <_ (ψ ` y ) <-> 1 <_ ( (ψ ` y ) + 1 ) ) )
53	49, 52	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR+ /\ y e. RR /\ x < y ) -> 1 <_ ( (ψ ` y ) + 1 ) )
54		suble0 10542	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. RR /\ ( (ψ ` y ) + 1 ) e. RR ) -> ( ( 1 - ( (ψ ` y ) + 1 ) ) <_ 0 <-> 1 <_ ( (ψ ` y ) + 1 ) ) )
55	42, 43, 54	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR+ /\ y e. RR /\ x < y ) -> ( ( 1 - ( (ψ ` y ) + 1 ) ) <_ 0 <-> 1 <_ ( (ψ ` y ) + 1 ) ) )
56	53, 55	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR+ /\ y e. RR /\ x < y ) -> ( 1 - ( (ψ ` y ) + 1 ) ) <_ 0 )
57	8	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR+ /\ y e. RR /\ x < y ) -> (ψ ` x ) e. RR )
58	6	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. RR+ /\ y e. RR /\ x < y ) -> x e. RR )
59		chpge0 24852	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR -> 0 <_ (ψ ` x ) )
60	58, 59	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR+ /\ y e. RR /\ x < y ) -> 0 <_ (ψ ` x ) )
61		rpregt0 11846	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR+ -> ( x e. RR /\ 0 < x ) )
62	61	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR+ /\ y e. RR /\ x < y ) -> ( x e. RR /\ 0 < x ) )
63		divge0 10892	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( (ψ ` x ) e. RR /\ 0 <_ (ψ ` x ) ) /\ ( x e. RR /\ 0 < x ) ) -> 0 <_ ( (ψ ` x ) / x ) )
64	57, 60, 62, 63	syl21anc 1325	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR+ /\ y e. RR /\ x < y ) -> 0 <_ ( (ψ ` x ) / x ) )
65	45, 46, 47, 56, 64	letrd 10194	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. RR+ /\ y e. RR /\ x < y ) -> ( 1 - ( (ψ ` y ) + 1 ) ) <_ ( (ψ ` x ) / x ) )
66		2re 11090	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. RR
67		readdcl 10019	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (ψ ` y ) e. RR /\ 2 e. RR ) -> ( (ψ ` y ) + 2 ) e. RR )
68	50, 66, 67	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR+ /\ y e. RR /\ x < y ) -> ( (ψ ` y ) + 2 ) e. RR )
69		1red 10055	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. RR+ /\ y e. RR /\ x < y ) -> 1 e. RR )
70	58	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. RR+ /\ y e. RR /\ x < y ) /\ x <_ 1 ) -> x e. RR )
71		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. RR+ /\ y e. RR /\ x < y ) /\ x <_ 1 ) -> 1 e. RR )
72	66	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. RR+ /\ y e. RR /\ x < y ) /\ x <_ 1 ) -> 2 e. RR )
73		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. RR+ /\ y e. RR /\ x < y ) /\ x <_ 1 ) -> x <_ 1 )
74		1lt2 11194	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 < 2
75	74	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. RR+ /\ y e. RR /\ x < y ) /\ x <_ 1 ) -> 1 < 2 )
76	70, 71, 72, 73, 75	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. RR+ /\ y e. RR /\ x < y ) /\ x <_ 1 ) -> x < 2 )
77		chpeq0 24933	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. RR -> ( (ψ ` x ) = 0 <-> x < 2 ) )
78	70, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. RR+ /\ y e. RR /\ x < y ) /\ x <_ 1 ) -> ( (ψ ` x ) = 0 <-> x < 2 ) )
79	76, 78	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. RR+ /\ y e. RR /\ x < y ) /\ x <_ 1 ) -> (ψ ` x ) = 0 )
80	79	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. RR+ /\ y e. RR /\ x < y ) /\ x <_ 1 ) -> ( (ψ ` x ) / x ) = ( 0 / x ) )
81		simp1 1061	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. RR+ /\ y e. RR /\ x < y ) -> x e. RR+ )
82	81	rpcnne0d 11881	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. RR+ /\ y e. RR /\ x < y ) -> ( x e. CC /\ x =/= 0 ) )
83		div0 10715	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. CC /\ x =/= 0 ) -> ( 0 / x ) = 0 )
84	82, 83	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. RR+ /\ y e. RR /\ x < y ) -> ( 0 / x ) = 0 )
85	84, 49	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. RR+ /\ y e. RR /\ x < y ) -> ( 0 / x ) <_ (ψ ` y ) )
86	85	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. RR+ /\ y e. RR /\ x < y ) /\ x <_ 1 ) -> ( 0 / x ) <_ (ψ ` y ) )
87	80, 86	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. RR+ /\ y e. RR /\ x < y ) /\ x <_ 1 ) -> ( (ψ ` x ) / x ) <_ (ψ ` y ) )
88	47	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. RR+ /\ y e. RR /\ x < y ) /\ 1 <_ x ) -> ( (ψ ` x ) / x ) e. RR )
89	57	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. RR+ /\ y e. RR /\ x < y ) /\ 1 <_ x ) -> (ψ ` x ) e. RR )
90	50	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. RR+ /\ y e. RR /\ x < y ) /\ 1 <_ x ) -> (ψ ` y ) e. RR )
91		0lt1 10550	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 < 1
92	91	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. RR+ /\ y e. RR /\ x < y ) -> 0 < 1 )
93		lediv2a 10917	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) /\ ( x e. RR /\ 0 < x ) /\ ( (ψ ` x ) e. RR /\ 0 <_ (ψ ` x ) ) ) /\ 1 <_ x ) -> ( (ψ ` x ) / x ) <_ ( (ψ ` x ) / 1 ) )
94	93	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) /\ ( x e. RR /\ 0 < x ) /\ ( (ψ ` x ) e. RR /\ 0 <_ (ψ ` x ) ) ) -> ( 1 <_ x -> ( (ψ ` x ) / x ) <_ ( (ψ ` x ) / 1 ) ) )
95	69, 92, 62, 57, 60, 94	syl212anc 1336	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. RR+ /\ y e. RR /\ x < y ) -> ( 1 <_ x -> ( (ψ ` x ) / x ) <_ ( (ψ ` x ) / 1 ) ) )
96	95	imp 445	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. RR+ /\ y e. RR /\ x < y ) /\ 1 <_ x ) -> ( (ψ ` x ) / x ) <_ ( (ψ ` x ) / 1 ) )
97	89	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. RR+ /\ y e. RR /\ x < y ) /\ 1 <_ x ) -> (ψ ` x ) e. CC )
98	97	div1d 10793	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. RR+ /\ y e. RR /\ x < y ) /\ 1 <_ x ) -> ( (ψ ` x ) / 1 ) = (ψ ` x ) )
99	96, 98	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. RR+ /\ y e. RR /\ x < y ) /\ 1 <_ x ) -> ( (ψ ` x ) / x ) <_ (ψ ` x ) )
100		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. RR+ /\ y e. RR /\ x < y ) -> y e. RR )
101		ltle 10126	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( x < y -> x <_ y ) )
102	6, 101	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. RR+ /\ y e. RR ) -> ( x < y -> x <_ y ) )
103	102	3impia 1261	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. RR+ /\ y e. RR /\ x < y ) -> x <_ y )
104		chpwordi 24883	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR /\ x <_ y ) -> (ψ ` x ) <_ (ψ ` y ) )
105	58, 100, 103, 104	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. RR+ /\ y e. RR /\ x < y ) -> (ψ ` x ) <_ (ψ ` y ) )
106	105	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. RR+ /\ y e. RR /\ x < y ) /\ 1 <_ x ) -> (ψ ` x ) <_ (ψ ` y ) )
107	88, 89, 90, 99, 106	letrd 10194	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. RR+ /\ y e. RR /\ x < y ) /\ 1 <_ x ) -> ( (ψ ` x ) / x ) <_ (ψ ` y ) )
108	58, 69, 87, 107	lecasei 10143	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR+ /\ y e. RR /\ x < y ) -> ( (ψ ` x ) / x ) <_ (ψ ` y ) )
109		2nn0 11309	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. NN0
110		nn0addge1 11339	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (ψ ` y ) e. RR /\ 2 e. NN0 ) -> (ψ ` y ) <_ ( (ψ ` y ) + 2 ) )
111	50, 109, 110	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR+ /\ y e. RR /\ x < y ) -> (ψ ` y ) <_ ( (ψ ` y ) + 2 ) )
112	47, 50, 68, 108, 111	letrd 10194	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR+ /\ y e. RR /\ x < y ) -> ( (ψ ` x ) / x ) <_ ( (ψ ` y ) + 2 ) )
113		df-2 11079	. . . . . . . . . . 11 |- 2 = ( 1 + 1 )
114	113	oveq2i 6661	. . . . . . . . . 10 |- ( (ψ ` y ) + 2 ) = ( (ψ ` y ) + ( 1 + 1 ) )
115	50	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. RR+ /\ y e. RR /\ x < y ) -> (ψ ` y ) e. CC )
116	30	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. RR+ /\ y e. RR /\ x < y ) -> 1 e. CC )
117	115, 116, 116	add12d 10262	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR+ /\ y e. RR /\ x < y ) -> ( (ψ ` y ) + ( 1 + 1 ) ) = ( 1 + ( (ψ ` y ) + 1 ) ) )
118	114, 117	syl5eq 2668	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR+ /\ y e. RR /\ x < y ) -> ( (ψ ` y ) + 2 ) = ( 1 + ( (ψ ` y ) + 1 ) ) )
119	112, 118	breqtrd 4679	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. RR+ /\ y e. RR /\ x < y ) -> ( (ψ ` x ) / x ) <_ ( 1 + ( (ψ ` y ) + 1 ) ) )
120	47, 69, 43	absdifled 14173	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. RR+ /\ y e. RR /\ x < y ) -> ( ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) <_ ( (ψ ` y ) + 1 ) <-> ( ( 1 - ( (ψ ` y ) + 1 ) ) <_ ( (ψ ` x ) / x ) /\ ( (ψ ` x ) / x ) <_ ( 1 + ( (ψ ` y ) + 1 ) ) ) ) )
121	65, 119, 120	mpbir2and 957	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR+ /\ y e. RR /\ x < y ) -> ( abs ` ( ( (ψ ` x ) / x ) - 1 ) ) <_ ( (ψ ` y ) + 1 ) )
122	41, 121	eqbrtrd 4675	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR+ /\ y e. RR /\ x < y ) -> ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ ( (ψ ` y ) + 1 ) )
123	122	3expb 1266	. . . . 5 |- ( ( x e. RR+ /\ ( y e. RR /\ x < y ) ) -> ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ ( (ψ ` y ) + 1 ) )
124	123	adantrlr 759	. . . 4 |- ( ( x e. RR+ /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ ( (ψ ` y ) + 1 ) )
125	124	adantll 750	. . 3 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ ( ( y e. RR /\ 1 <_ y ) /\ x < y ) ) -> ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ ( (ψ ` y ) + 1 ) )
126	2, 3, 14, 35, 39, 125	o1bddrp 14273	. 2 |- ( T. -> E. c e. RR+ A. x e. RR+ ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ c )
127	126	trud 1493	1 |- E. c e. RR+ A. x e. RR+ ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ c

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   T. wtru 1484   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   2c2 11070   NN0cn0 11292   RR+crp 11832   abscabs 13974   O(1)co1 14217  ψcchp 24819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-o1 14221  df-lo1 14222  df-sum 14417  df-ef 14798  df-e 14799  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-pc 15542  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-cxp 24304  df-cht 24823  df-vma 24824  df-chp 24825  df-ppi 24826

This theorem is referenced by:  pntrlog2bnd  25273  pntibnd  25282  pnt3  25301