Theorem ditgcl 23622

Description: Closure of a directed integral. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ditgcl.x	|- ( ph -> X e. RR )
ditgcl.y	|- ( ph -> Y e. RR )
ditgcl.a	|- ( ph -> A e. ( X [,] Y ) )
ditgcl.b	|- ( ph -> B e. ( X [,] Y ) )
ditgcl.c	|- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> C e. V )
ditgcl.i	|- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> C ) e. L^1 )

Assertion

Ref	Expression
ditgcl	|- ( ph -> S__ [ A -> B ] C _d x e. CC )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   ph, x   x, V   x, X   x, Y

Allowed substitution hint:   C( x)

Proof of Theorem ditgcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ditgcl.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. ( X [,] Y ) )
2		ditgcl.x	. . . . 5 |- ( ph -> X e. RR )
3		ditgcl.y	. . . . 5 |- ( ph -> Y e. RR )
4		elicc2 12238	. . . . 5 |- ( ( X e. RR /\ Y e. RR ) -> ( A e. ( X [,] Y ) <-> ( A e. RR /\ X <_ A /\ A <_ Y ) ) )
5	2, 3, 4	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( A e. ( X [,] Y ) <-> ( A e. RR /\ X <_ A /\ A <_ Y ) ) )
6	1, 5	mpbid 222	. . 3 |- ( ph -> ( A e. RR /\ X <_ A /\ A <_ Y ) )
7	6	simp1d 1073	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
8		ditgcl.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. ( X [,] Y ) )
9		elicc2 12238	. . . . 5 |- ( ( X e. RR /\ Y e. RR ) -> ( B e. ( X [,] Y ) <-> ( B e. RR /\ X <_ B /\ B <_ Y ) ) )
10	2, 3, 9	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( B e. ( X [,] Y ) <-> ( B e. RR /\ X <_ B /\ B <_ Y ) ) )
11	8, 10	mpbid 222	. . 3 |- ( ph -> ( B e. RR /\ X <_ B /\ B <_ Y ) )
12	11	simp1d 1073	. 2 |- ( ph -> B e. RR )
13		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ph /\ A <_ B ) -> A <_ B )
14	13	ditgpos 23620	. . 3 |- ( ( ph /\ A <_ B ) -> S__ [ A -> B ] C _d x = S. ( A (,) B ) C _d x )
15	2	rexrd 10089	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> X e. RR* )
16	6	simp2d 1074	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> X <_ A )
17		iooss1 12210	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. RR* /\ X <_ A ) -> ( A (,) B ) C_ ( X (,) B ) )
18	15, 16, 17	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ ( X (,) B ) )
19	3	rexrd 10089	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Y e. RR* )
20	11	simp3d 1075	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> B <_ Y )
21		iooss2 12211	. . . . . . . . 9 |- ( ( Y e. RR* /\ B <_ Y ) -> ( X (,) B ) C_ ( X (,) Y ) )
22	19, 20, 21	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( X (,) B ) C_ ( X (,) Y ) )
23	18, 22	sstrd 3613	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ ( X (,) Y ) )
24	23	sselda 3603	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> x e. ( X (,) Y ) )
25		ditgcl.c	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> C e. V )
26	24, 25	syldan 487	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> C e. V )
27		ioombl 23333	. . . . . . 7 |- ( A (,) B ) e. dom vol
28	27	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A (,) B ) e. dom vol )
29		ditgcl.i	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> C ) e. L^1 )
30	23, 28, 25, 29	iblss 23571	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( A (,) B ) |-> C ) e. L^1 )
31	26, 30	itgcl 23550	. . . 4 |- ( ph -> S. ( A (,) B ) C _d x e. CC )
32	31	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ A <_ B ) -> S. ( A (,) B ) C _d x e. CC )
33	14, 32	eqeltrd 2701	. 2 |- ( ( ph /\ A <_ B ) -> S__ [ A -> B ] C _d x e. CC )
34		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ph /\ B <_ A ) -> B <_ A )
35	12	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ B <_ A ) -> B e. RR )
36	7	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ B <_ A ) -> A e. RR )
37	34, 35, 36	ditgneg 23621	. . 3 |- ( ( ph /\ B <_ A ) -> S__ [ A -> B ] C _d x = -u S. ( B (,) A ) C _d x )
38	11	simp2d 1074	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X <_ B )
39		iooss1 12210	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. RR* /\ X <_ B ) -> ( B (,) A ) C_ ( X (,) A ) )
40	15, 38, 39	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B (,) A ) C_ ( X (,) A ) )
41	6	simp3d 1075	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A <_ Y )
42		iooss2 12211	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Y e. RR* /\ A <_ Y ) -> ( X (,) A ) C_ ( X (,) Y ) )
43	19, 41, 42	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( X (,) A ) C_ ( X (,) Y ) )
44	40, 43	sstrd 3613	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B (,) A ) C_ ( X (,) Y ) )
45	44	sselda 3603	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,) A ) ) -> x e. ( X (,) Y ) )
46	45, 25	syldan 487	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,) A ) ) -> C e. V )
47		ioombl 23333	. . . . . . . 8 |- ( B (,) A ) e. dom vol
48	47	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( B (,) A ) e. dom vol )
49	44, 48, 25, 29	iblss 23571	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( B (,) A ) |-> C ) e. L^1 )
50	46, 49	itgcl 23550	. . . . 5 |- ( ph -> S. ( B (,) A ) C _d x e. CC )
51	50	negcld 10379	. . . 4 |- ( ph -> -u S. ( B (,) A ) C _d x e. CC )
52	51	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ B <_ A ) -> -u S. ( B (,) A ) C _d x e. CC )
53	37, 52	eqeltrd 2701	. 2 |- ( ( ph /\ B <_ A ) -> S__ [ A -> B ] C _d x e. CC )
54	7, 12, 33, 53	lecasei 10143	1 |- ( ph -> S__ [ A -> B ] C _d x e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   e. wcel 1990   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   RR*cxr 10073   <_ cle 10075   -ucneg 10267   (,)cioo 12175   [,]cicc 12178   volcvol 23232   L^1cibl 23386   S.citg 23387   S__cdit 23610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-xmet 19739  df-met 19740  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391  df-itg 23392  df-0p 23437  df-ditg 23611

This theorem is referenced by:  ditgsplit  23625  itgsubstlem  23811