Theorem atanlogaddlem 24640

Description: Lemma for atanlogadd 24641. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
atanlogaddlem	|- ( ( A e. dom arctan /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) + ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) e. ran log )

Proof of Theorem atanlogaddlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 10040	. . . 4 |- 0 e. RR
2		atandm2 24604	. . . . . 6 |- ( A e. dom arctan <-> ( A e. CC /\ ( 1 - ( _i x. A ) ) =/= 0 /\ ( 1 + ( _i x. A ) ) =/= 0 ) )
3	2	simp1bi 1076	. . . . 5 |- ( A e. dom arctan -> A e. CC )
4	3	recld 13934	. . . 4 |- ( A e. dom arctan -> ( Re ` A ) e. RR )
5		leloe 10124	. . . 4 |- ( ( 0 e. RR /\ ( Re ` A ) e. RR ) -> ( 0 <_ ( Re ` A ) <-> ( 0 < ( Re ` A ) \/ 0 = ( Re ` A ) ) ) )
6	1, 4, 5	sylancr 695	. . 3 |- ( A e. dom arctan -> ( 0 <_ ( Re ` A ) <-> ( 0 < ( Re ` A ) \/ 0 = ( Re ` A ) ) ) )
7	6	biimpa 501	. 2 |- ( ( A e. dom arctan /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> ( 0 < ( Re ` A ) \/ 0 = ( Re ` A ) ) )
8		ax-1cn 9994	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
9		ax-icn 9995	. . . . . . . . 9 |- _i e. CC
10		mulcl 10020	. . . . . . . . 9 |- ( ( _i e. CC /\ A e. CC ) -> ( _i x. A ) e. CC )
11	9, 3, 10	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( A e. dom arctan -> ( _i x. A ) e. CC )
12		addcl 10018	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. CC /\ ( _i x. A ) e. CC ) -> ( 1 + ( _i x. A ) ) e. CC )
13	8, 11, 12	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( A e. dom arctan -> ( 1 + ( _i x. A ) ) e. CC )
14	2	simp3bi 1078	. . . . . . 7 |- ( A e. dom arctan -> ( 1 + ( _i x. A ) ) =/= 0 )
15	13, 14	logcld 24317	. . . . . 6 |- ( A e. dom arctan -> ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) e. CC )
16		subcl 10280	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. CC /\ ( _i x. A ) e. CC ) -> ( 1 - ( _i x. A ) ) e. CC )
17	8, 11, 16	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( A e. dom arctan -> ( 1 - ( _i x. A ) ) e. CC )
18	2	simp2bi 1077	. . . . . . 7 |- ( A e. dom arctan -> ( 1 - ( _i x. A ) ) =/= 0 )
19	17, 18	logcld 24317	. . . . . 6 |- ( A e. dom arctan -> ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) e. CC )
20	15, 19	addcld 10059	. . . . 5 |- ( A e. dom arctan -> ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) + ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) e. CC )
21	20	adantr 481	. . . 4 |- ( ( A e. dom arctan /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) + ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) e. CC )
22		pire 24210	. . . . . . . 8 |- pi e. RR
23	22	renegcli 10342	. . . . . . 7 |- -u pi e. RR
24	23	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( A e. dom arctan /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> -u pi e. RR )
25	19	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( A e. dom arctan /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) e. CC )
26	25	imcld 13935	. . . . . 6 |- ( ( A e. dom arctan /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( Im ` ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) e. RR )
27	15	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. dom arctan /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) e. CC )
28	27	imcld 13935	. . . . . . 7 |- ( ( A e. dom arctan /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( Im ` ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) ) e. RR )
29	28, 26	readdcld 10069	. . . . . 6 |- ( ( A e. dom arctan /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( ( Im ` ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) ) + ( Im ` ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) e. RR )
30	17	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. dom arctan /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( 1 - ( _i x. A ) ) e. CC )
31		im1 13895	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Im ` 1 ) = 0
32	31	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Im ` 1 ) - ( Im ` ( _i x. A ) ) ) = ( 0 - ( Im ` ( _i x. A ) ) )
33		df-neg 10269	. . . . . . . . . . . 12 |- -u ( Im ` ( _i x. A ) ) = ( 0 - ( Im ` ( _i x. A ) ) )
34	32, 33	eqtr4i 2647	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Im ` 1 ) - ( Im ` ( _i x. A ) ) ) = -u ( Im ` ( _i x. A ) )
35	11	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. dom arctan /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( _i x. A ) e. CC )
36		imsub 13875	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. CC /\ ( _i x. A ) e. CC ) -> ( Im ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) = ( ( Im ` 1 ) - ( Im ` ( _i x. A ) ) ) )
37	8, 35, 36	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. dom arctan /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( Im ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) = ( ( Im ` 1 ) - ( Im ` ( _i x. A ) ) ) )
38	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. dom arctan /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> A e. CC )
39		reim 13849	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) = ( Im ` ( _i x. A ) ) )
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. dom arctan /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( Re ` A ) = ( Im ` ( _i x. A ) ) )
41	40	negeqd 10275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. dom arctan /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> -u ( Re ` A ) = -u ( Im ` ( _i x. A ) ) )
42	34, 37, 41	3eqtr4a 2682	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. dom arctan /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( Im ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) = -u ( Re ` A ) )
43	4	lt0neg2d 10598	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. dom arctan -> ( 0 < ( Re ` A ) <-> -u ( Re ` A ) < 0 ) )
44	43	biimpa 501	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. dom arctan /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> -u ( Re ` A ) < 0 )
45	42, 44	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. dom arctan /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( Im ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) < 0 )
46		argimlt0 24359	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 - ( _i x. A ) ) e. CC /\ ( Im ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) < 0 ) -> ( Im ` ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) e. ( -u pi (,) 0 ) )
47	30, 45, 46	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. dom arctan /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( Im ` ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) e. ( -u pi (,) 0 ) )
48		eliooord 12233	. . . . . . . 8 |- ( ( Im ` ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) e. ( -u pi (,) 0 ) -> ( -u pi < ( Im ` ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) /\ ( Im ` ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) < 0 ) )
49	47, 48	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( A e. dom arctan /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( -u pi < ( Im ` ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) /\ ( Im ` ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) < 0 ) )
50	49	simpld 475	. . . . . 6 |- ( ( A e. dom arctan /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> -u pi < ( Im ` ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) )
51	13	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. dom arctan /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( 1 + ( _i x. A ) ) e. CC )
52		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. dom arctan /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> 0 < ( Re ` A ) )
53		imadd 13874	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 e. CC /\ ( _i x. A ) e. CC ) -> ( Im ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) = ( ( Im ` 1 ) + ( Im ` ( _i x. A ) ) ) )
54	8, 35, 53	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. dom arctan /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( Im ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) = ( ( Im ` 1 ) + ( Im ` ( _i x. A ) ) ) )
55	40	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. dom arctan /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( ( Im ` 1 ) + ( Re ` A ) ) = ( ( Im ` 1 ) + ( Im ` ( _i x. A ) ) ) )
56	31	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Im ` 1 ) + ( Re ` A ) ) = ( 0 + ( Re ` A ) )
57	38	recld 13934	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. dom arctan /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( Re ` A ) e. RR )
58	57	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. dom arctan /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( Re ` A ) e. CC )
59	58	addid2d 10237	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. dom arctan /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( 0 + ( Re ` A ) ) = ( Re ` A ) )
60	56, 59	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. dom arctan /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( ( Im ` 1 ) + ( Re ` A ) ) = ( Re ` A ) )
61	54, 55, 60	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. dom arctan /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( Im ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) = ( Re ` A ) )
62	52, 61	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. dom arctan /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> 0 < ( Im ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) )
63		argimgt0 24358	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 1 + ( _i x. A ) ) e. CC /\ 0 < ( Im ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) ) -> ( Im ` ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) ) e. ( 0 (,) pi ) )
64	51, 62, 63	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. dom arctan /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( Im ` ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) ) e. ( 0 (,) pi ) )
65		eliooord 12233	. . . . . . . . 9 |- ( ( Im ` ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) ) e. ( 0 (,) pi ) -> ( 0 < ( Im ` ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) ) /\ ( Im ` ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) ) < pi ) )
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. dom arctan /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( 0 < ( Im ` ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) ) /\ ( Im ` ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) ) < pi ) )
67	66	simpld 475	. . . . . . 7 |- ( ( A e. dom arctan /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> 0 < ( Im ` ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) ) )
68	28, 26	ltaddpos2d 10612	. . . . . . 7 |- ( ( A e. dom arctan /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( 0 < ( Im ` ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) ) <-> ( Im ` ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) < ( ( Im ` ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) ) + ( Im ` ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) ) )
69	67, 68	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ( A e. dom arctan /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( Im ` ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) < ( ( Im ` ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) ) + ( Im ` ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) )
70	24, 26, 29, 50, 69	lttrd 10198	. . . . 5 |- ( ( A e. dom arctan /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> -u pi < ( ( Im ` ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) ) + ( Im ` ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) )
71	27, 25	imaddd 13955	. . . . 5 |- ( ( A e. dom arctan /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) + ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) = ( ( Im ` ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) ) + ( Im ` ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) )
72	70, 71	breqtrrd 4681	. . . 4 |- ( ( A e. dom arctan /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> -u pi < ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) + ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) )
73	22	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( A e. dom arctan /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> pi e. RR )
74		0red 10041	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. dom arctan /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> 0 e. RR )
75	49	simprd 479	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. dom arctan /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( Im ` ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) < 0 )
76	26, 74, 28, 75	ltadd2dd 10196	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. dom arctan /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( ( Im ` ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) ) + ( Im ` ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) < ( ( Im ` ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) ) + 0 ) )
77	28	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. dom arctan /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( Im ` ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) ) e. CC )
78	77	addid1d 10236	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. dom arctan /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( ( Im ` ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) ) + 0 ) = ( Im ` ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) ) )
79	76, 78	breqtrd 4679	. . . . . . 7 |- ( ( A e. dom arctan /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( ( Im ` ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) ) + ( Im ` ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) < ( Im ` ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) ) )
80	66	simprd 479	. . . . . . 7 |- ( ( A e. dom arctan /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( Im ` ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) ) < pi )
81	29, 28, 73, 79, 80	lttrd 10198	. . . . . 6 |- ( ( A e. dom arctan /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( ( Im ` ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) ) + ( Im ` ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) < pi )
82	29, 73, 81	ltled 10185	. . . . 5 |- ( ( A e. dom arctan /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( ( Im ` ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) ) + ( Im ` ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) <_ pi )
83	71, 82	eqbrtrd 4675	. . . 4 |- ( ( A e. dom arctan /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) + ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) <_ pi )
84		ellogrn 24306	. . . 4 |- ( ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) + ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) e. ran log <-> ( ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) + ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) e. CC /\ -u pi < ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) + ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) /\ ( Im ` ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) + ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) ) <_ pi ) )
85	21, 72, 83, 84	syl3anbrc 1246	. . 3 |- ( ( A e. dom arctan /\ 0 < ( Re ` A ) ) -> ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) + ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) e. ran log )
86		0red 10041	. . . 4 |- ( ( A e. dom arctan /\ 0 = ( Re ` A ) ) -> 0 e. RR )
87	11	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( A e. dom arctan /\ 0 = ( Re ` A ) ) -> ( _i x. A ) e. CC )
88		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( A e. dom arctan /\ 0 = ( Re ` A ) ) -> 0 = ( Re ` A ) )
89	3	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( A e. dom arctan /\ 0 = ( Re ` A ) ) -> A e. CC )
90	89, 39	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( A e. dom arctan /\ 0 = ( Re ` A ) ) -> ( Re ` A ) = ( Im ` ( _i x. A ) ) )
91	88, 90	eqtr2d 2657	. . . . 5 |- ( ( A e. dom arctan /\ 0 = ( Re ` A ) ) -> ( Im ` ( _i x. A ) ) = 0 )
92	87, 91	reim0bd 13940	. . . 4 |- ( ( A e. dom arctan /\ 0 = ( Re ` A ) ) -> ( _i x. A ) e. RR )
93	15, 19	addcomd 10238	. . . . . 6 |- ( A e. dom arctan -> ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) + ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) = ( ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) + ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) ) )
94	93	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( A e. dom arctan /\ 0 = ( Re ` A ) ) /\ 0 <_ ( _i x. A ) ) -> ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) + ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) = ( ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) + ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) ) )
95		logrncl 24314	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1 - ( _i x. A ) ) e. CC /\ ( 1 - ( _i x. A ) ) =/= 0 ) -> ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) e. ran log )
96	17, 18, 95	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( A e. dom arctan -> ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) e. ran log )
97	96	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. dom arctan /\ 0 = ( Re ` A ) ) /\ 0 <_ ( _i x. A ) ) -> ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) e. ran log )
98		1re 10039	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
99	92	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. dom arctan /\ 0 = ( Re ` A ) ) /\ 0 <_ ( _i x. A ) ) -> ( _i x. A ) e. RR )
100		readdcl 10019	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 e. RR /\ ( _i x. A ) e. RR ) -> ( 1 + ( _i x. A ) ) e. RR )
101	98, 99, 100	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. dom arctan /\ 0 = ( Re ` A ) ) /\ 0 <_ ( _i x. A ) ) -> ( 1 + ( _i x. A ) ) e. RR )
102		0red 10041	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. dom arctan /\ 0 = ( Re ` A ) ) /\ 0 <_ ( _i x. A ) ) -> 0 e. RR )
103		1red 10055	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. dom arctan /\ 0 = ( Re ` A ) ) /\ 0 <_ ( _i x. A ) ) -> 1 e. RR )
104		0lt1 10550	. . . . . . . . . 10 |- 0 < 1
105	104	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. dom arctan /\ 0 = ( Re ` A ) ) /\ 0 <_ ( _i x. A ) ) -> 0 < 1 )
106		addge01 10538	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. RR /\ ( _i x. A ) e. RR ) -> ( 0 <_ ( _i x. A ) <-> 1 <_ ( 1 + ( _i x. A ) ) ) )
107	98, 92, 106	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. dom arctan /\ 0 = ( Re ` A ) ) -> ( 0 <_ ( _i x. A ) <-> 1 <_ ( 1 + ( _i x. A ) ) ) )
108	107	biimpa 501	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. dom arctan /\ 0 = ( Re ` A ) ) /\ 0 <_ ( _i x. A ) ) -> 1 <_ ( 1 + ( _i x. A ) ) )
109	102, 103, 101, 105, 108	ltletrd 10197	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. dom arctan /\ 0 = ( Re ` A ) ) /\ 0 <_ ( _i x. A ) ) -> 0 < ( 1 + ( _i x. A ) ) )
110	101, 109	elrpd 11869	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. dom arctan /\ 0 = ( Re ` A ) ) /\ 0 <_ ( _i x. A ) ) -> ( 1 + ( _i x. A ) ) e. RR+ )
111	110	relogcld 24369	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. dom arctan /\ 0 = ( Re ` A ) ) /\ 0 <_ ( _i x. A ) ) -> ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) e. RR )
112		logrnaddcl 24321	. . . . . 6 |- ( ( ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) e. ran log /\ ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) e. RR ) -> ( ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) + ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) ) e. ran log )
113	97, 111, 112	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( A e. dom arctan /\ 0 = ( Re ` A ) ) /\ 0 <_ ( _i x. A ) ) -> ( ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) + ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) ) e. ran log )
114	94, 113	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ( ( A e. dom arctan /\ 0 = ( Re ` A ) ) /\ 0 <_ ( _i x. A ) ) -> ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) + ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) e. ran log )
115		logrncl 24314	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1 + ( _i x. A ) ) e. CC /\ ( 1 + ( _i x. A ) ) =/= 0 ) -> ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) e. ran log )
116	13, 14, 115	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( A e. dom arctan -> ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) e. ran log )
117	116	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( A e. dom arctan /\ 0 = ( Re ` A ) ) /\ ( _i x. A ) <_ 0 ) -> ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) e. ran log )
118	92	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. dom arctan /\ 0 = ( Re ` A ) ) /\ ( _i x. A ) <_ 0 ) -> ( _i x. A ) e. RR )
119		resubcl 10345	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. RR /\ ( _i x. A ) e. RR ) -> ( 1 - ( _i x. A ) ) e. RR )
120	98, 118, 119	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. dom arctan /\ 0 = ( Re ` A ) ) /\ ( _i x. A ) <_ 0 ) -> ( 1 - ( _i x. A ) ) e. RR )
121		0red 10041	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. dom arctan /\ 0 = ( Re ` A ) ) /\ ( _i x. A ) <_ 0 ) -> 0 e. RR )
122		1red 10055	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. dom arctan /\ 0 = ( Re ` A ) ) /\ ( _i x. A ) <_ 0 ) -> 1 e. RR )
123	104	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. dom arctan /\ 0 = ( Re ` A ) ) /\ ( _i x. A ) <_ 0 ) -> 0 < 1 )
124		1m0e1 11131	. . . . . . . . 9 |- ( 1 - 0 ) = 1
125		1red 10055	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. dom arctan /\ 0 = ( Re ` A ) ) -> 1 e. RR )
126	92, 86, 125	lesub2d 10635	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. dom arctan /\ 0 = ( Re ` A ) ) -> ( ( _i x. A ) <_ 0 <-> ( 1 - 0 ) <_ ( 1 - ( _i x. A ) ) ) )
127	126	biimpa 501	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. dom arctan /\ 0 = ( Re ` A ) ) /\ ( _i x. A ) <_ 0 ) -> ( 1 - 0 ) <_ ( 1 - ( _i x. A ) ) )
128	124, 127	syl5eqbrr 4689	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. dom arctan /\ 0 = ( Re ` A ) ) /\ ( _i x. A ) <_ 0 ) -> 1 <_ ( 1 - ( _i x. A ) ) )
129	121, 122, 120, 123, 128	ltletrd 10197	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. dom arctan /\ 0 = ( Re ` A ) ) /\ ( _i x. A ) <_ 0 ) -> 0 < ( 1 - ( _i x. A ) ) )
130	120, 129	elrpd 11869	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. dom arctan /\ 0 = ( Re ` A ) ) /\ ( _i x. A ) <_ 0 ) -> ( 1 - ( _i x. A ) ) e. RR+ )
131	130	relogcld 24369	. . . . 5 |- ( ( ( A e. dom arctan /\ 0 = ( Re ` A ) ) /\ ( _i x. A ) <_ 0 ) -> ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) e. RR )
132		logrnaddcl 24321	. . . . 5 |- ( ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) e. ran log /\ ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) e. RR ) -> ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) + ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) e. ran log )
133	117, 131, 132	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( A e. dom arctan /\ 0 = ( Re ` A ) ) /\ ( _i x. A ) <_ 0 ) -> ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) + ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) e. ran log )
134	86, 92, 114, 133	lecasei 10143	. . 3 |- ( ( A e. dom arctan /\ 0 = ( Re ` A ) ) -> ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) + ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) e. ran log )
135	85, 134	jaodan 826	. 2 |- ( ( A e. dom arctan /\ ( 0 < ( Re ` A ) \/ 0 = ( Re ` A ) ) ) -> ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) + ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) e. ran log )
136	7, 135	syldan 487	1 |- ( ( A e. dom arctan /\ 0 <_ ( Re ` A ) ) -> ( ( log ` ( 1 + ( _i x. A ) ) ) + ( log ` ( 1 - ( _i x. A ) ) ) ) e. ran log )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   _ici 9938   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   (,)cioo 12175   Recre 13837   Imcim 13838   picpi 14797   logclog 24301  arctancatan 24591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-atan 24594

This theorem is referenced by:  atanlogadd  24641