Theorem volcn 23374

Description: The function formed by restricting a measurable set to a closed interval with a varying endpoint produces an increasing continuous function on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
volcn.1	|- F = ( x e. RR |-> ( vol ` ( A i^i ( B [,] x ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
volcn	|- ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) -> F e. ( RR -cn-> RR ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hint:   F( x)

Proof of Theorem volcn

Dummy variables u e v y z d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 790	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ x e. RR ) -> A e. dom vol )
2		iccmbl 23334	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ x e. RR ) -> ( B [,] x ) e. dom vol )
3	2	adantll 750	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ x e. RR ) -> ( B [,] x ) e. dom vol )
4		inmbl 23310	. . . . . 6 |- ( ( A e. dom vol /\ ( B [,] x ) e. dom vol ) -> ( A i^i ( B [,] x ) ) e. dom vol )
5	1, 3, 4	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ x e. RR ) -> ( A i^i ( B [,] x ) ) e. dom vol )
6		mblvol 23298	. . . . 5 |- ( ( A i^i ( B [,] x ) ) e. dom vol -> ( vol ` ( A i^i ( B [,] x ) ) ) = ( vol* ` ( A i^i ( B [,] x ) ) ) )
7	5, 6	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ x e. RR ) -> ( vol ` ( A i^i ( B [,] x ) ) ) = ( vol* ` ( A i^i ( B [,] x ) ) ) )
8		inss2 3834	. . . . . 6 |- ( A i^i ( B [,] x ) ) C_ ( B [,] x )
9	8	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ x e. RR ) -> ( A i^i ( B [,] x ) ) C_ ( B [,] x ) )
10		mblss 23299	. . . . . 6 |- ( ( B [,] x ) e. dom vol -> ( B [,] x ) C_ RR )
11	3, 10	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ x e. RR ) -> ( B [,] x ) C_ RR )
12		mblvol 23298	. . . . . . 7 |- ( ( B [,] x ) e. dom vol -> ( vol ` ( B [,] x ) ) = ( vol* ` ( B [,] x ) ) )
13	3, 12	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ x e. RR ) -> ( vol ` ( B [,] x ) ) = ( vol* ` ( B [,] x ) ) )
14		iccvolcl 23335	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ x e. RR ) -> ( vol ` ( B [,] x ) ) e. RR )
15	14	adantll 750	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ x e. RR ) -> ( vol ` ( B [,] x ) ) e. RR )
16	13, 15	eqeltrrd 2702	. . . . 5 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ x e. RR ) -> ( vol* ` ( B [,] x ) ) e. RR )
17		ovolsscl 23254	. . . . 5 |- ( ( ( A i^i ( B [,] x ) ) C_ ( B [,] x ) /\ ( B [,] x ) C_ RR /\ ( vol* ` ( B [,] x ) ) e. RR ) -> ( vol* ` ( A i^i ( B [,] x ) ) ) e. RR )
18	9, 11, 16, 17	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ x e. RR ) -> ( vol* ` ( A i^i ( B [,] x ) ) ) e. RR )
19	7, 18	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ x e. RR ) -> ( vol ` ( A i^i ( B [,] x ) ) ) e. RR )
20		volcn.1	. . 3 |- F = ( x e. RR |-> ( vol ` ( A i^i ( B [,] x ) ) ) )
21	19, 20	fmptd 6385	. 2 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) -> F : RR --> RR )
22		simprr 796	. . . 4 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ ( y e. RR /\ e e. RR+ ) ) -> e e. RR+ )
23		oveq12 6659	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v = z /\ u = y ) -> ( v - u ) = ( z - y ) )
24	23	ancoms 469	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u = y /\ v = z ) -> ( v - u ) = ( z - y ) )
25	24	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u = y /\ v = z ) -> ( abs ` ( v - u ) ) = ( abs ` ( z - y ) ) )
26	25	breq1d 4663	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u = y /\ v = z ) -> ( ( abs ` ( v - u ) ) < e <-> ( abs ` ( z - y ) ) < e ) )
27		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = z -> ( F ` v ) = ( F ` z ) )
28		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = y -> ( F ` u ) = ( F ` y ) )
29	27, 28	oveqan12rd 6670	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u = y /\ v = z ) -> ( ( F ` v ) - ( F ` u ) ) = ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) )
30	29	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u = y /\ v = z ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - ( F ` u ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) )
31	30	breq1d 4663	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u = y /\ v = z ) -> ( ( abs ` ( ( F ` v ) - ( F ` u ) ) ) < e <-> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e ) )
32	26, 31	imbi12d 334	. . . . . . . . 9 |- ( ( u = y /\ v = z ) -> ( ( ( abs ` ( v - u ) ) < e -> ( abs ` ( ( F ` v ) - ( F ` u ) ) ) < e ) <-> ( ( abs ` ( z - y ) ) < e -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e ) ) )
33		oveq12 6659	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v = y /\ u = z ) -> ( v - u ) = ( y - z ) )
34	33	ancoms 469	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u = z /\ v = y ) -> ( v - u ) = ( y - z ) )
35	34	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u = z /\ v = y ) -> ( abs ` ( v - u ) ) = ( abs ` ( y - z ) ) )
36	35	breq1d 4663	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u = z /\ v = y ) -> ( ( abs ` ( v - u ) ) < e <-> ( abs ` ( y - z ) ) < e ) )
37		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = y -> ( F ` v ) = ( F ` y ) )
38		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = z -> ( F ` u ) = ( F ` z ) )
39	37, 38	oveqan12rd 6670	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u = z /\ v = y ) -> ( ( F ` v ) - ( F ` u ) ) = ( ( F ` y ) - ( F ` z ) ) )
40	39	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u = z /\ v = y ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - ( F ` u ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` z ) ) ) )
41	40	breq1d 4663	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u = z /\ v = y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` v ) - ( F ` u ) ) ) < e <-> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` z ) ) ) < e ) )
42	36, 41	imbi12d 334	. . . . . . . . 9 |- ( ( u = z /\ v = y ) -> ( ( ( abs ` ( v - u ) ) < e -> ( abs ` ( ( F ` v ) - ( F ` u ) ) ) < e ) <-> ( ( abs ` ( y - z ) ) < e -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` z ) ) ) < e ) ) )
43		ssid 3624	. . . . . . . . . 10 |- RR C_ RR
44	43	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) -> RR C_ RR )
45		recn 10026	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. RR -> z e. CC )
46		recn 10026	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. RR -> y e. CC )
47		abssub 14066	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. CC /\ y e. CC ) -> ( abs ` ( z - y ) ) = ( abs ` ( y - z ) ) )
48	45, 46, 47	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> ( abs ` ( z - y ) ) = ( abs ` ( y - z ) ) )
49	48	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR ) ) -> ( abs ` ( z - y ) ) = ( abs ` ( y - z ) ) )
50	49	breq1d 4663	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR ) ) -> ( ( abs ` ( z - y ) ) < e <-> ( abs ` ( y - z ) ) < e ) )
51	21	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) -> F : RR --> RR )
52		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F : RR --> RR /\ y e. RR ) -> ( F ` y ) e. RR )
53		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F : RR --> RR /\ z e. RR ) -> ( F ` z ) e. RR )
54	52, 53	anim12dan 882	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F : RR --> RR /\ ( y e. RR /\ z e. RR ) ) -> ( ( F ` y ) e. RR /\ ( F ` z ) e. RR ) )
55	51, 54	sylan 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR ) ) -> ( ( F ` y ) e. RR /\ ( F ` z ) e. RR ) )
56		recn 10026	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` z ) e. RR -> ( F ` z ) e. CC )
57		recn 10026	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` y ) e. RR -> ( F ` y ) e. CC )
58		abssub 14066	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` z ) e. CC /\ ( F ` y ) e. CC ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` z ) ) ) )
59	56, 57, 58	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` y ) e. RR /\ ( F ` z ) e. RR ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` z ) ) ) )
60	55, 59	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR ) ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` z ) ) ) )
61	60	breq1d 4663	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e <-> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` z ) ) ) < e ) )
62	50, 61	imbi12d 334	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR ) ) -> ( ( ( abs ` ( z - y ) ) < e -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e ) <-> ( ( abs ` ( y - z ) ) < e -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` z ) ) ) < e ) ) )
63		simpr2 1068	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> z e. RR )
64		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = z -> ( B [,] x ) = ( B [,] z ) )
65	64	ineq2d 3814	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = z -> ( A i^i ( B [,] x ) ) = ( A i^i ( B [,] z ) ) )
66	65	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = z -> ( vol ` ( A i^i ( B [,] x ) ) ) = ( vol ` ( A i^i ( B [,] z ) ) ) )
67		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( vol ` ( A i^i ( B [,] z ) ) ) e. _V
68	66, 20, 67	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. RR -> ( F ` z ) = ( vol ` ( A i^i ( B [,] z ) ) ) )
69	63, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( F ` z ) = ( vol ` ( A i^i ( B [,] z ) ) ) )
70		simplll 798	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> A e. dom vol )
71		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) -> B e. RR )
72	71	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> B e. RR )
73		iccmbl 23334	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( B e. RR /\ z e. RR ) -> ( B [,] z ) e. dom vol )
74	72, 63, 73	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( B [,] z ) e. dom vol )
75		inmbl 23310	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. dom vol /\ ( B [,] z ) e. dom vol ) -> ( A i^i ( B [,] z ) ) e. dom vol )
76	70, 74, 75	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( A i^i ( B [,] z ) ) e. dom vol )
77		mblvol 23298	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A i^i ( B [,] z ) ) e. dom vol -> ( vol ` ( A i^i ( B [,] z ) ) ) = ( vol* ` ( A i^i ( B [,] z ) ) ) )
78	76, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( vol ` ( A i^i ( B [,] z ) ) ) = ( vol* ` ( A i^i ( B [,] z ) ) ) )
79	69, 78	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( F ` z ) = ( vol* ` ( A i^i ( B [,] z ) ) ) )
80		simpr1 1067	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> y e. RR )
81		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = y -> ( B [,] x ) = ( B [,] y ) )
82	81	ineq2d 3814	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = y -> ( A i^i ( B [,] x ) ) = ( A i^i ( B [,] y ) ) )
83	82	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = y -> ( vol ` ( A i^i ( B [,] x ) ) ) = ( vol ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) )
84		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( vol ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) e. _V
85	83, 20, 84	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. RR -> ( F ` y ) = ( vol ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) )
86	80, 85	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( F ` y ) = ( vol ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) )
87		simp1 1061	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) -> y e. RR )
88		iccmbl 23334	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( B e. RR /\ y e. RR ) -> ( B [,] y ) e. dom vol )
89	71, 87, 88	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( B [,] y ) e. dom vol )
90		inmbl 23310	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. dom vol /\ ( B [,] y ) e. dom vol ) -> ( A i^i ( B [,] y ) ) e. dom vol )
91	70, 89, 90	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( A i^i ( B [,] y ) ) e. dom vol )
92		mblvol 23298	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A i^i ( B [,] y ) ) e. dom vol -> ( vol ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) = ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) )
93	91, 92	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( vol ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) = ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) )
94	86, 93	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( F ` y ) = ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) )
95	79, 94	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) = ( ( vol* ` ( A i^i ( B [,] z ) ) ) - ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) ) )
96	51	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> F : RR --> RR )
97	96, 63	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( F ` z ) e. RR )
98	79, 97	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( vol* ` ( A i^i ( B [,] z ) ) ) e. RR )
99	72	leidd 10594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> B <_ B )
100		simpr3 1069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> y <_ z )
101		iccss 12241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( B e. RR /\ z e. RR ) /\ ( B <_ B /\ y <_ z ) ) -> ( B [,] y ) C_ ( B [,] z ) )
102	72, 63, 99, 100, 101	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( B [,] y ) C_ ( B [,] z ) )
103		sslin 3839	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( B [,] y ) C_ ( B [,] z ) -> ( A i^i ( B [,] y ) ) C_ ( A i^i ( B [,] z ) ) )
104	102, 103	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( A i^i ( B [,] y ) ) C_ ( A i^i ( B [,] z ) ) )
105		mblss 23299	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A i^i ( B [,] z ) ) e. dom vol -> ( A i^i ( B [,] z ) ) C_ RR )
106	76, 105	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( A i^i ( B [,] z ) ) C_ RR )
107	104, 106	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( A i^i ( B [,] y ) ) C_ RR )
108		iccssre 12255	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> ( y [,] z ) C_ RR )
109	80, 63, 108	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( y [,] z ) C_ RR )
110	107, 109	unssd 3789	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( ( A i^i ( B [,] y ) ) u. ( y [,] z ) ) C_ RR )
111	96, 80	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( F ` y ) e. RR )
112	94, 111	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) e. RR )
113	63, 80	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( z - y ) e. RR )
114	112, 113	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) + ( z - y ) ) e. RR )
115		ovolicc 23291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) -> ( vol* ` ( y [,] z ) ) = ( z - y ) )
116	115	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( vol* ` ( y [,] z ) ) = ( z - y ) )
117	116, 113	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( vol* ` ( y [,] z ) ) e. RR )
118		ovolun 23267	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A i^i ( B [,] y ) ) C_ RR /\ ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) e. RR ) /\ ( ( y [,] z ) C_ RR /\ ( vol* ` ( y [,] z ) ) e. RR ) ) -> ( vol* ` ( ( A i^i ( B [,] y ) ) u. ( y [,] z ) ) ) <_ ( ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) + ( vol* ` ( y [,] z ) ) ) )
119	107, 112, 109, 117, 118	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( vol* ` ( ( A i^i ( B [,] y ) ) u. ( y [,] z ) ) ) <_ ( ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) + ( vol* ` ( y [,] z ) ) ) )
120	116	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) + ( vol* ` ( y [,] z ) ) ) = ( ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) + ( z - y ) ) )
121	119, 120	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( vol* ` ( ( A i^i ( B [,] y ) ) u. ( y [,] z ) ) ) <_ ( ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) + ( z - y ) ) )
122		ovollecl 23251	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A i^i ( B [,] y ) ) u. ( y [,] z ) ) C_ RR /\ ( ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) + ( z - y ) ) e. RR /\ ( vol* ` ( ( A i^i ( B [,] y ) ) u. ( y [,] z ) ) ) <_ ( ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) + ( z - y ) ) ) -> ( vol* ` ( ( A i^i ( B [,] y ) ) u. ( y [,] z ) ) ) e. RR )
123	110, 114, 121, 122	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( vol* ` ( ( A i^i ( B [,] y ) ) u. ( y [,] z ) ) ) e. RR )
124	72	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) /\ B <_ y ) -> B e. RR )
125	63	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) /\ B <_ y ) -> z e. RR )
126	80	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) /\ B <_ y ) -> y e. RR )
127		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) /\ B <_ y ) -> B <_ y )
128	100	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) /\ B <_ y ) -> y <_ z )
129		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) -> z e. RR )
130		elicc2 12238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( B e. RR /\ z e. RR ) -> ( y e. ( B [,] z ) <-> ( y e. RR /\ B <_ y /\ y <_ z ) ) )
131	71, 129, 130	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( y e. ( B [,] z ) <-> ( y e. RR /\ B <_ y /\ y <_ z ) ) )
132	131	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) /\ B <_ y ) -> ( y e. ( B [,] z ) <-> ( y e. RR /\ B <_ y /\ y <_ z ) ) )
133	126, 127, 128, 132	mpbir3and 1245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) /\ B <_ y ) -> y e. ( B [,] z ) )
134		iccsplit 12305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( B e. RR /\ z e. RR /\ y e. ( B [,] z ) ) -> ( B [,] z ) = ( ( B [,] y ) u. ( y [,] z ) ) )
135	124, 125, 133, 134	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) /\ B <_ y ) -> ( B [,] z ) = ( ( B [,] y ) u. ( y [,] z ) ) )
136		eqimss 3657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( B [,] z ) = ( ( B [,] y ) u. ( y [,] z ) ) -> ( B [,] z ) C_ ( ( B [,] y ) u. ( y [,] z ) ) )
137	135, 136	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) /\ B <_ y ) -> ( B [,] z ) C_ ( ( B [,] y ) u. ( y [,] z ) ) )
138	80	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) /\ y <_ B ) -> y e. RR )
139	63	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) /\ y <_ B ) -> z e. RR )
140		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) /\ y <_ B ) -> y <_ B )
141	139	leidd 10594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) /\ y <_ B ) -> z <_ z )
142		iccss 12241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( y e. RR /\ z e. RR ) /\ ( y <_ B /\ z <_ z ) ) -> ( B [,] z ) C_ ( y [,] z ) )
143	138, 139, 140, 141, 142	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) /\ y <_ B ) -> ( B [,] z ) C_ ( y [,] z ) )
144		ssun4 3779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( B [,] z ) C_ ( y [,] z ) -> ( B [,] z ) C_ ( ( B [,] y ) u. ( y [,] z ) ) )
145	143, 144	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) /\ y <_ B ) -> ( B [,] z ) C_ ( ( B [,] y ) u. ( y [,] z ) ) )
146	72, 80, 137, 145	lecasei 10143	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( B [,] z ) C_ ( ( B [,] y ) u. ( y [,] z ) ) )
147		sslin 3839	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( B [,] z ) C_ ( ( B [,] y ) u. ( y [,] z ) ) -> ( A i^i ( B [,] z ) ) C_ ( A i^i ( ( B [,] y ) u. ( y [,] z ) ) ) )
148	146, 147	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( A i^i ( B [,] z ) ) C_ ( A i^i ( ( B [,] y ) u. ( y [,] z ) ) ) )
149		indi 3873	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A i^i ( ( B [,] y ) u. ( y [,] z ) ) ) = ( ( A i^i ( B [,] y ) ) u. ( A i^i ( y [,] z ) ) )
150		inss2 3834	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A i^i ( y [,] z ) ) C_ ( y [,] z )
151		unss2 3784	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A i^i ( y [,] z ) ) C_ ( y [,] z ) -> ( ( A i^i ( B [,] y ) ) u. ( A i^i ( y [,] z ) ) ) C_ ( ( A i^i ( B [,] y ) ) u. ( y [,] z ) ) )
152	150, 151	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A i^i ( B [,] y ) ) u. ( A i^i ( y [,] z ) ) ) C_ ( ( A i^i ( B [,] y ) ) u. ( y [,] z ) )
153	149, 152	eqsstri 3635	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A i^i ( ( B [,] y ) u. ( y [,] z ) ) ) C_ ( ( A i^i ( B [,] y ) ) u. ( y [,] z ) )
154	148, 153	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( A i^i ( B [,] z ) ) C_ ( ( A i^i ( B [,] y ) ) u. ( y [,] z ) ) )
155		ovolss 23253	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A i^i ( B [,] z ) ) C_ ( ( A i^i ( B [,] y ) ) u. ( y [,] z ) ) /\ ( ( A i^i ( B [,] y ) ) u. ( y [,] z ) ) C_ RR ) -> ( vol* ` ( A i^i ( B [,] z ) ) ) <_ ( vol* ` ( ( A i^i ( B [,] y ) ) u. ( y [,] z ) ) ) )
156	154, 110, 155	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( vol* ` ( A i^i ( B [,] z ) ) ) <_ ( vol* ` ( ( A i^i ( B [,] y ) ) u. ( y [,] z ) ) ) )
157	98, 123, 114, 156, 121	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( vol* ` ( A i^i ( B [,] z ) ) ) <_ ( ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) + ( z - y ) ) )
158	98, 112, 113	lesubadd2d 10626	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( ( ( vol* ` ( A i^i ( B [,] z ) ) ) - ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) ) <_ ( z - y ) <-> ( vol* ` ( A i^i ( B [,] z ) ) ) <_ ( ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) + ( z - y ) ) ) )
159	157, 158	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( ( vol* ` ( A i^i ( B [,] z ) ) ) - ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) ) <_ ( z - y ) )
160	95, 159	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) <_ ( z - y ) )
161	97, 111	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) e. RR )
162		simplr 792	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> e e. RR+ )
163	162	rpred 11872	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> e e. RR )
164		lelttr 10128	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) e. RR /\ ( z - y ) e. RR /\ e e. RR ) -> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) <_ ( z - y ) /\ ( z - y ) < e ) -> ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) < e ) )
165	161, 113, 163, 164	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) <_ ( z - y ) /\ ( z - y ) < e ) -> ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) < e ) )
166	160, 165	mpand 711	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( ( z - y ) < e -> ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) < e ) )
167		abssubge0 14067	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) -> ( abs ` ( z - y ) ) = ( z - y ) )
168	167	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( abs ` ( z - y ) ) = ( z - y ) )
169	168	breq1d 4663	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( ( abs ` ( z - y ) ) < e <-> ( z - y ) < e ) )
170		ovolss 23253	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A i^i ( B [,] y ) ) C_ ( A i^i ( B [,] z ) ) /\ ( A i^i ( B [,] z ) ) C_ RR ) -> ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) <_ ( vol* ` ( A i^i ( B [,] z ) ) ) )
171	104, 106, 170	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) <_ ( vol* ` ( A i^i ( B [,] z ) ) ) )
172	171, 94, 79	3brtr4d 4685	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( F ` y ) <_ ( F ` z ) )
173	111, 97, 172	abssubge0d 14170	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) = ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) )
174	173	breq1d 4663	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e <-> ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) < e ) )
175	166, 169, 174	3imtr4d 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( ( abs ` ( z - y ) ) < e -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e ) )
176	32, 42, 44, 62, 175	wlogle 10561	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR ) ) -> ( ( abs ` ( z - y ) ) < e -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e ) )
177	176	anassrs 680	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ y e. RR ) /\ z e. RR ) -> ( ( abs ` ( z - y ) ) < e -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e ) )
178	177	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ y e. RR ) -> A. z e. RR ( ( abs ` ( z - y ) ) < e -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e ) )
179	178	anasss 679	. . . . 5 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ ( e e. RR+ /\ y e. RR ) ) -> A. z e. RR ( ( abs ` ( z - y ) ) < e -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e ) )
180	179	ancom2s 844	. . . 4 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ ( y e. RR /\ e e. RR+ ) ) -> A. z e. RR ( ( abs ` ( z - y ) ) < e -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e ) )
181		breq2 4657	. . . . . . 7 |- ( d = e -> ( ( abs ` ( z - y ) ) < d <-> ( abs ` ( z - y ) ) < e ) )
182	181	imbi1d 331	. . . . . 6 |- ( d = e -> ( ( ( abs ` ( z - y ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e ) <-> ( ( abs ` ( z - y ) ) < e -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e ) ) )
183	182	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( d = e -> ( A. z e. RR ( ( abs ` ( z - y ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e ) <-> A. z e. RR ( ( abs ` ( z - y ) ) < e -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e ) ) )
184	183	rspcev 3309	. . . 4 |- ( ( e e. RR+ /\ A. z e. RR ( ( abs ` ( z - y ) ) < e -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e ) ) -> E. d e. RR+ A. z e. RR ( ( abs ` ( z - y ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e ) )
185	22, 180, 184	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ ( y e. RR /\ e e. RR+ ) ) -> E. d e. RR+ A. z e. RR ( ( abs ` ( z - y ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e ) )
186	185	ralrimivva 2971	. 2 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) -> A. y e. RR A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. RR ( ( abs ` ( z - y ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e ) )
187		ax-resscn 9993	. . 3 |- RR C_ CC
188		elcncf2 22693	. . 3 |- ( ( RR C_ CC /\ RR C_ CC ) -> ( F e. ( RR -cn-> RR ) <-> ( F : RR --> RR /\ A. y e. RR A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. RR ( ( abs ` ( z - y ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e ) ) ) )
189	187, 187, 188	mp2an 708	. 2 |- ( F e. ( RR -cn-> RR ) <-> ( F : RR --> RR /\ A. y e. RR A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. RR ( ( abs ` ( z - y ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e ) ) )
190	21, 186, 189	sylanbrc 698	1 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) -> F e. ( RR -cn-> RR ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   RR+crp 11832   [,]cicc 12178   abscabs 13974   -cn->ccncf 22679   vol*covol 23231   volcvol 23232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-cncf 22681  df-ovol 23233  df-vol 23234

This theorem is referenced by:  volivth  23375