Theorem hbt 37700

Description: The Hilbert Basis Theorem - the ring of univariate polynomials over a Noetherian ring is a Noetherian ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
hbt.p	|- P = (Poly1 ` R )

Assertion

Ref	Expression
hbt	|- ( R e. LNoeR -> P e. LNoeR )

Proof of Theorem hbt

Dummy variables a b c e f g d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnrring 37682	. . 3 |- ( R e. LNoeR -> R e. Ring )
2		hbt.p	. . . 4 |- P = (Poly1 ` R )
3	2	ply1ring 19618	. . 3 |- ( R e. Ring -> P e. Ring )
4	1, 3	syl 17	. 2 |- ( R e. LNoeR -> P e. Ring )
5		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
6		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- (LIdeal ` R ) = (LIdeal ` R )
7	5, 6	islnr3 37685	. . . . . . 7 |- ( R e. LNoeR <-> ( R e. Ring /\ (LIdeal ` R ) e. (NoeACS ` ( Base ` R ) ) ) )
8	7	simprbi 480	. . . . . 6 |- ( R e. LNoeR -> (LIdeal ` R ) e. (NoeACS ` ( Base ` R ) ) )
9	8	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) -> (LIdeal ` R ) e. (NoeACS ` ( Base ` R ) ) )
10		eqid 2622	. . . . . . 7 |- (LIdeal ` P ) = (LIdeal ` P )
11		eqid 2622	. . . . . . 7 |- (ldgIdlSeq ` R ) = (ldgIdlSeq ` R )
12	2, 10, 11, 6	hbtlem7 37695	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ a e. (LIdeal ` P ) ) -> ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) : NN0 --> (LIdeal ` R ) )
13	1, 12	sylan 488	. . . . 5 |- ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) -> ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) : NN0 --> (LIdeal ` R ) )
14	1	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ b e. NN0 ) -> R e. Ring )
15		simplr 792	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ b e. NN0 ) -> a e. (LIdeal ` P ) )
16		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ b e. NN0 ) -> b e. NN0 )
17		peano2nn0 11333	. . . . . . . 8 |- ( b e. NN0 -> ( b + 1 ) e. NN0 )
18	17	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ b e. NN0 ) -> ( b + 1 ) e. NN0 )
19		nn0re 11301	. . . . . . . . 9 |- ( b e. NN0 -> b e. RR )
20	19	lep1d 10955	. . . . . . . 8 |- ( b e. NN0 -> b <_ ( b + 1 ) )
21	20	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ b e. NN0 ) -> b <_ ( b + 1 ) )
22	2, 10, 11, 14, 15, 16, 18, 21	hbtlem4 37696	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ b e. NN0 ) -> ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` b ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` ( b + 1 ) ) )
23	22	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) -> A. b e. NN0 ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` b ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` ( b + 1 ) ) )
24		nacsfix 37275	. . . . 5 |- ( ( (LIdeal ` R ) e. (NoeACS ` ( Base ` R ) ) /\ ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) : NN0 --> (LIdeal ` R ) /\ A. b e. NN0 ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` b ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` ( b + 1 ) ) ) -> E. c e. NN0 A. d e. ( ZZ>= ` c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) )
25	9, 13, 23, 24	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) -> E. c e. NN0 A. d e. ( ZZ>= ` c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) )
26		fzfi 12771	. . . . . . 7 |- ( 0 ... c ) e. Fin
27		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- (RSpan ` P ) = (RSpan ` P )
28		simpll 790	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ e e. ( 0 ... c ) ) -> R e. LNoeR )
29		simplr 792	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ e e. ( 0 ... c ) ) -> a e. (LIdeal ` P ) )
30		elfznn0 12433	. . . . . . . . . 10 |- ( e e. ( 0 ... c ) -> e e. NN0 )
31	30	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ e e. ( 0 ... c ) ) -> e e. NN0 )
32	2, 10, 11, 27, 28, 29, 31	hbtlem6 37699	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ e e. ( 0 ... c ) ) -> E. b e. ( ~P a i^i Fin ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` b ) ) ` e ) )
33	32	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 |- ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) -> A. e e. ( 0 ... c ) E. b e. ( ~P a i^i Fin ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` b ) ) ` e ) )
34		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = ( f ` e ) -> ( (RSpan ` P ) ` b ) = ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) )
35	34	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( b = ( f ` e ) -> ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` b ) ) = ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) )
36	35	fveq1d 6193	. . . . . . . . 9 |- ( b = ( f ` e ) -> ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` b ) ) ` e ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) )
37	36	sseq2d 3633	. . . . . . . 8 |- ( b = ( f ` e ) -> ( ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` b ) ) ` e ) <-> ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) ) )
38	37	ac6sfi 8204	. . . . . . 7 |- ( ( ( 0 ... c ) e. Fin /\ A. e e. ( 0 ... c ) E. b e. ( ~P a i^i Fin ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` b ) ) ` e ) ) -> E. f ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a i^i Fin ) /\ A. e e. ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) ) )
39	26, 33, 38	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) -> E. f ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a i^i Fin ) /\ A. e e. ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) ) )
40	39	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ ( c e. NN0 /\ A. d e. ( ZZ>= ` c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) ) ) -> E. f ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a i^i Fin ) /\ A. e e. ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) ) )
41		frn 6053	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a i^i Fin ) -> ran f C_ ( ~P a i^i Fin ) )
42	41	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ ( c e. NN0 /\ A. d e. ( ZZ>= ` c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) ) ) /\ ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a i^i Fin ) /\ A. e e. ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) ) ) -> ran f C_ ( ~P a i^i Fin ) )
43		inss1 3833	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ~P a i^i Fin ) C_ ~P a
44	42, 43	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ ( c e. NN0 /\ A. d e. ( ZZ>= ` c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) ) ) /\ ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a i^i Fin ) /\ A. e e. ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) ) ) -> ran f C_ ~P a )
45	44	unissd 4462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ ( c e. NN0 /\ A. d e. ( ZZ>= ` c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) ) ) /\ ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a i^i Fin ) /\ A. e e. ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) ) ) -> U. ran f C_ U. ~P a )
46		unipw 4918	. . . . . . . . . 10 |- U. ~P a = a
47	45, 46	syl6sseq 3651	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ ( c e. NN0 /\ A. d e. ( ZZ>= ` c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) ) ) /\ ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a i^i Fin ) /\ A. e e. ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) ) ) -> U. ran f C_ a )
48		simpllr 799	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ ( c e. NN0 /\ A. d e. ( ZZ>= ` c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) ) ) /\ ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a i^i Fin ) /\ A. e e. ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) ) ) -> a e. (LIdeal ` P ) )
49		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( Base ` P ) = ( Base ` P )
50	49, 10	lidlss 19210	. . . . . . . . . 10 |- ( a e. (LIdeal ` P ) -> a C_ ( Base ` P ) )
51	48, 50	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ ( c e. NN0 /\ A. d e. ( ZZ>= ` c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) ) ) /\ ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a i^i Fin ) /\ A. e e. ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) ) ) -> a C_ ( Base ` P ) )
52	47, 51	sstrd 3613	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ ( c e. NN0 /\ A. d e. ( ZZ>= ` c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) ) ) /\ ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a i^i Fin ) /\ A. e e. ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) ) ) -> U. ran f C_ ( Base ` P ) )
53		fvex 6201	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` P ) e. _V
54	53	elpw2 4828	. . . . . . . 8 |- ( U. ran f e. ~P ( Base ` P ) <-> U. ran f C_ ( Base ` P ) )
55	52, 54	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ ( c e. NN0 /\ A. d e. ( ZZ>= ` c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) ) ) /\ ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a i^i Fin ) /\ A. e e. ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) ) ) -> U. ran f e. ~P ( Base ` P ) )
56		simprl 794	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ ( c e. NN0 /\ A. d e. ( ZZ>= ` c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) ) ) /\ ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a i^i Fin ) /\ A. e e. ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) ) ) -> f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a i^i Fin ) )
57		ffn 6045	. . . . . . . . 9 |- ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a i^i Fin ) -> f Fn ( 0 ... c ) )
58		fniunfv 6505	. . . . . . . . 9 |- ( f Fn ( 0 ... c ) -> U_ g e. ( 0 ... c ) ( f ` g ) = U. ran f )
59	56, 57, 58	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ ( c e. NN0 /\ A. d e. ( ZZ>= ` c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) ) ) /\ ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a i^i Fin ) /\ A. e e. ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) ) ) -> U_ g e. ( 0 ... c ) ( f ` g ) = U. ran f )
60		inss2 3834	. . . . . . . . . . 11 |- ( ~P a i^i Fin ) C_ Fin
61	56	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ ( c e. NN0 /\ A. d e. ( ZZ>= ` c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) ) ) /\ ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a i^i Fin ) /\ A. e e. ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) ) ) /\ g e. ( 0 ... c ) ) -> ( f ` g ) e. ( ~P a i^i Fin ) )
62	60, 61	sseldi 3601	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ ( c e. NN0 /\ A. d e. ( ZZ>= ` c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) ) ) /\ ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a i^i Fin ) /\ A. e e. ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) ) ) /\ g e. ( 0 ... c ) ) -> ( f ` g ) e. Fin )
63	62	ralrimiva 2966	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ ( c e. NN0 /\ A. d e. ( ZZ>= ` c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) ) ) /\ ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a i^i Fin ) /\ A. e e. ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) ) ) -> A. g e. ( 0 ... c ) ( f ` g ) e. Fin )
64		iunfi 8254	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 0 ... c ) e. Fin /\ A. g e. ( 0 ... c ) ( f ` g ) e. Fin ) -> U_ g e. ( 0 ... c ) ( f ` g ) e. Fin )
65	26, 63, 64	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ ( c e. NN0 /\ A. d e. ( ZZ>= ` c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) ) ) /\ ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a i^i Fin ) /\ A. e e. ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) ) ) -> U_ g e. ( 0 ... c ) ( f ` g ) e. Fin )
66	59, 65	eqeltrrd 2702	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ ( c e. NN0 /\ A. d e. ( ZZ>= ` c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) ) ) /\ ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a i^i Fin ) /\ A. e e. ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) ) ) -> U. ran f e. Fin )
67	55, 66	elind 3798	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ ( c e. NN0 /\ A. d e. ( ZZ>= ` c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) ) ) /\ ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a i^i Fin ) /\ A. e e. ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) ) ) -> U. ran f e. ( ~P ( Base ` P ) i^i Fin ) )
68	1	ad3antrrr 766	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ ( c e. NN0 /\ A. d e. ( ZZ>= ` c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) ) ) /\ ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a i^i Fin ) /\ A. e e. ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) ) ) -> R e. Ring )
69	4	ad3antrrr 766	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ ( c e. NN0 /\ A. d e. ( ZZ>= ` c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) ) ) /\ ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a i^i Fin ) /\ A. e e. ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) ) ) -> P e. Ring )
70	27, 49, 10	rspcl 19222	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. Ring /\ U. ran f C_ ( Base ` P ) ) -> ( (RSpan ` P ) ` U. ran f ) e. (LIdeal ` P ) )
71	69, 52, 70	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ ( c e. NN0 /\ A. d e. ( ZZ>= ` c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) ) ) /\ ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a i^i Fin ) /\ A. e e. ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) ) ) -> ( (RSpan ` P ) ` U. ran f ) e. (LIdeal ` P ) )
72	27, 10	rspssp 19226	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. Ring /\ a e. (LIdeal ` P ) /\ U. ran f C_ a ) -> ( (RSpan ` P ) ` U. ran f ) C_ a )
73	69, 48, 47, 72	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ ( c e. NN0 /\ A. d e. ( ZZ>= ` c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) ) ) /\ ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a i^i Fin ) /\ A. e e. ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) ) ) -> ( (RSpan ` P ) ` U. ran f ) C_ a )
74		nn0re 11301	. . . . . . . . . . 11 |- ( g e. NN0 -> g e. RR )
75	74	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ ( c e. NN0 /\ A. d e. ( ZZ>= ` c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) ) ) /\ ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a i^i Fin ) /\ A. e e. ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) ) ) /\ g e. NN0 ) -> g e. RR )
76		simplrl 800	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ ( c e. NN0 /\ A. d e. ( ZZ>= ` c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) ) ) /\ ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a i^i Fin ) /\ A. e e. ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) ) ) -> c e. NN0 )
77	76	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ ( c e. NN0 /\ A. d e. ( ZZ>= ` c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) ) ) /\ ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a i^i Fin ) /\ A. e e. ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) ) ) /\ g e. NN0 ) -> c e. NN0 )
78	77	nn0red 11352	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ ( c e. NN0 /\ A. d e. ( ZZ>= ` c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) ) ) /\ ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a i^i Fin ) /\ A. e e. ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) ) ) /\ g e. NN0 ) -> c e. RR )
79		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ ( c e. NN0 /\ A. d e. ( ZZ>= ` c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) ) ) /\ ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a i^i Fin ) /\ A. e e. ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) ) ) /\ ( g e. NN0 /\ g <_ c ) ) -> g e. NN0 )
80		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ ( c e. NN0 /\ A. d e. ( ZZ>= ` c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) ) ) /\ ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a i^i Fin ) /\ A. e e. ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) ) ) /\ ( g e. NN0 /\ g <_ c ) ) -> g <_ c )
81	76	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ ( c e. NN0 /\ A. d e. ( ZZ>= ` c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) ) ) /\ ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a i^i Fin ) /\ A. e e. ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) ) ) /\ ( g e. NN0 /\ g <_ c ) ) -> c e. NN0 )
82		fznn0 12432	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( c e. NN0 -> ( g e. ( 0 ... c ) <-> ( g e. NN0 /\ g <_ c ) ) )
83	81, 82	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ ( c e. NN0 /\ A. d e. ( ZZ>= ` c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) ) ) /\ ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a i^i Fin ) /\ A. e e. ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) ) ) /\ ( g e. NN0 /\ g <_ c ) ) -> ( g e. ( 0 ... c ) <-> ( g e. NN0 /\ g <_ c ) ) )
84	79, 80, 83	mpbir2and 957	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ ( c e. NN0 /\ A. d e. ( ZZ>= ` c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) ) ) /\ ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a i^i Fin ) /\ A. e e. ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) ) ) /\ ( g e. NN0 /\ g <_ c ) ) -> g e. ( 0 ... c ) )
85		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ ( c e. NN0 /\ A. d e. ( ZZ>= ` c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) ) ) /\ ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a i^i Fin ) /\ A. e e. ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) ) ) /\ ( g e. NN0 /\ g <_ c ) ) -> A. e e. ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) )
86		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( e = g -> ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` g ) )
87		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( e = g -> ( f ` e ) = ( f ` g ) )
88	87	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( e = g -> ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) = ( (RSpan ` P ) ` ( f ` g ) ) )
89	88	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( e = g -> ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) = ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` g ) ) ) )
90		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( e = g -> e = g )
91	89, 90	fveq12d 6197	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( e = g -> ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` g ) ) ) ` g ) )
92	86, 91	sseq12d 3634	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( e = g -> ( ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) <-> ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` g ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` g ) ) ) ` g ) ) )
93	92	rspcva 3307	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( g e. ( 0 ... c ) /\ A. e e. ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) ) -> ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` g ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` g ) ) ) ` g ) )
94	84, 85, 93	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ ( c e. NN0 /\ A. d e. ( ZZ>= ` c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) ) ) /\ ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a i^i Fin ) /\ A. e e. ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) ) ) /\ ( g e. NN0 /\ g <_ c ) ) -> ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` g ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` g ) ) ) ` g ) )
95	68	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ ( c e. NN0 /\ A. d e. ( ZZ>= ` c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) ) ) /\ ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a i^i Fin ) /\ A. e e. ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) ) ) /\ ( g e. NN0 /\ g <_ c ) ) -> R e. Ring )
96		fvssunirn 6217	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f ` g ) C_ U. ran f
97	96, 52	syl5ss 3614	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ ( c e. NN0 /\ A. d e. ( ZZ>= ` c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) ) ) /\ ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a i^i Fin ) /\ A. e e. ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) ) ) -> ( f ` g ) C_ ( Base ` P ) )
98	27, 49, 10	rspcl 19222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( P e. Ring /\ ( f ` g ) C_ ( Base ` P ) ) -> ( (RSpan ` P ) ` ( f ` g ) ) e. (LIdeal ` P ) )
99	69, 97, 98	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ ( c e. NN0 /\ A. d e. ( ZZ>= ` c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) ) ) /\ ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a i^i Fin ) /\ A. e e. ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) ) ) -> ( (RSpan ` P ) ` ( f ` g ) ) e. (LIdeal ` P ) )
100	99	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ ( c e. NN0 /\ A. d e. ( ZZ>= ` c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) ) ) /\ ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a i^i Fin ) /\ A. e e. ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) ) ) /\ ( g e. NN0 /\ g <_ c ) ) -> ( (RSpan ` P ) ` ( f ` g ) ) e. (LIdeal ` P ) )
101	71	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ ( c e. NN0 /\ A. d e. ( ZZ>= ` c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) ) ) /\ ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a i^i Fin ) /\ A. e e. ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) ) ) /\ ( g e. NN0 /\ g <_ c ) ) -> ( (RSpan ` P ) ` U. ran f ) e. (LIdeal ` P ) )
102	68, 3	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ ( c e. NN0 /\ A. d e. ( ZZ>= ` c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) ) ) /\ ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a i^i Fin ) /\ A. e e. ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) ) ) -> P e. Ring )
103	102	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ ( c e. NN0 /\ A. d e. ( ZZ>= ` c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) ) ) /\ ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a i^i Fin ) /\ A. e e. ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) ) ) /\ ( g e. NN0 /\ g <_ c ) ) -> P e. Ring )
104	27, 49	rspssid 19223	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( P e. Ring /\ U. ran f C_ ( Base ` P ) ) -> U. ran f C_ ( (RSpan ` P ) ` U. ran f ) )
105	69, 52, 104	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ ( c e. NN0 /\ A. d e. ( ZZ>= ` c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) ) ) /\ ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a i^i Fin ) /\ A. e e. ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) ) ) -> U. ran f C_ ( (RSpan ` P ) ` U. ran f ) )
106	105	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ ( c e. NN0 /\ A. d e. ( ZZ>= ` c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) ) ) /\ ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a i^i Fin ) /\ A. e e. ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) ) ) /\ ( g e. NN0 /\ g <_ c ) ) -> U. ran f C_ ( (RSpan ` P ) ` U. ran f ) )
107	96, 106	syl5ss 3614	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ ( c e. NN0 /\ A. d e. ( ZZ>= ` c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) ) ) /\ ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a i^i Fin ) /\ A. e e. ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) ) ) /\ ( g e. NN0 /\ g <_ c ) ) -> ( f ` g ) C_ ( (RSpan ` P ) ` U. ran f ) )
108	27, 10	rspssp 19226	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P e. Ring /\ ( (RSpan ` P ) ` U. ran f ) e. (LIdeal ` P ) /\ ( f ` g ) C_ ( (RSpan ` P ) ` U. ran f ) ) -> ( (RSpan ` P ) ` ( f ` g ) ) C_ ( (RSpan ` P ) ` U. ran f ) )
109	103, 101, 107, 108	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ ( c e. NN0 /\ A. d e. ( ZZ>= ` c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) ) ) /\ ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a i^i Fin ) /\ A. e e. ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) ) ) /\ ( g e. NN0 /\ g <_ c ) ) -> ( (RSpan ` P ) ` ( f ` g ) ) C_ ( (RSpan ` P ) ` U. ran f ) )
110	2, 10, 11, 95, 100, 101, 109, 79	hbtlem3 37697	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ ( c e. NN0 /\ A. d e. ( ZZ>= ` c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) ) ) /\ ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a i^i Fin ) /\ A. e e. ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) ) ) /\ ( g e. NN0 /\ g <_ c ) ) -> ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` g ) ) ) ` g ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` U. ran f ) ) ` g ) )
111	94, 110	sstrd 3613	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ ( c e. NN0 /\ A. d e. ( ZZ>= ` c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) ) ) /\ ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a i^i Fin ) /\ A. e e. ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) ) ) /\ ( g e. NN0 /\ g <_ c ) ) -> ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` g ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` U. ran f ) ) ` g ) )
112	111	anassrs 680	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ ( c e. NN0 /\ A. d e. ( ZZ>= ` c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) ) ) /\ ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a i^i Fin ) /\ A. e e. ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) ) ) /\ g e. NN0 ) /\ g <_ c ) -> ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` g ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` U. ran f ) ) ` g ) )
113		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( c e. NN0 -> c e. ZZ )
114	113	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( c e. NN0 /\ ( g e. NN0 /\ c <_ g ) ) -> c e. ZZ )
115		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g e. NN0 -> g e. ZZ )
116	115	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( c e. NN0 /\ ( g e. NN0 /\ c <_ g ) ) -> g e. ZZ )
117		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( c e. NN0 /\ ( g e. NN0 /\ c <_ g ) ) -> c <_ g )
118		eluz2 11693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g e. ( ZZ>= ` c ) <-> ( c e. ZZ /\ g e. ZZ /\ c <_ g ) )
119	114, 116, 117, 118	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( c e. NN0 /\ ( g e. NN0 /\ c <_ g ) ) -> g e. ( ZZ>= ` c ) )
120	76, 119	sylan 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ ( c e. NN0 /\ A. d e. ( ZZ>= ` c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) ) ) /\ ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a i^i Fin ) /\ A. e e. ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) ) ) /\ ( g e. NN0 /\ c <_ g ) ) -> g e. ( ZZ>= ` c ) )
121		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ ( c e. NN0 /\ A. d e. ( ZZ>= ` c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) ) ) -> A. d e. ( ZZ>= ` c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) )
122	121	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ ( c e. NN0 /\ A. d e. ( ZZ>= ` c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) ) ) /\ ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a i^i Fin ) /\ A. e e. ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) ) ) /\ ( g e. NN0 /\ c <_ g ) ) -> A. d e. ( ZZ>= ` c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) )
123		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( d = g -> ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` g ) )
124	123	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( d = g -> ( ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) <-> ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` g ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) ) )
125	124	rspcva 3307	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( g e. ( ZZ>= ` c ) /\ A. d e. ( ZZ>= ` c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) ) -> ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` g ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) )
126	120, 122, 125	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ ( c e. NN0 /\ A. d e. ( ZZ>= ` c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) ) ) /\ ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a i^i Fin ) /\ A. e e. ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) ) ) /\ ( g e. NN0 /\ c <_ g ) ) -> ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` g ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) )
127	76	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ ( c e. NN0 /\ A. d e. ( ZZ>= ` c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) ) ) /\ ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a i^i Fin ) /\ A. e e. ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) ) ) -> c e. RR )
128	127	leidd 10594	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ ( c e. NN0 /\ A. d e. ( ZZ>= ` c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) ) ) /\ ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a i^i Fin ) /\ A. e e. ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) ) ) -> c <_ c )
129	111	expr 643	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ ( c e. NN0 /\ A. d e. ( ZZ>= ` c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) ) ) /\ ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a i^i Fin ) /\ A. e e. ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) ) ) /\ g e. NN0 ) -> ( g <_ c -> ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` g ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` U. ran f ) ) ` g ) ) )
130	129	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ ( c e. NN0 /\ A. d e. ( ZZ>= ` c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) ) ) /\ ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a i^i Fin ) /\ A. e e. ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) ) ) -> A. g e. NN0 ( g <_ c -> ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` g ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` U. ran f ) ) ` g ) ) )
131		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( g = c -> ( g <_ c <-> c <_ c ) )
132		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( g = c -> ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` g ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) )
133		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( g = c -> ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` U. ran f ) ) ` g ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` U. ran f ) ) ` c ) )
134	132, 133	sseq12d 3634	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( g = c -> ( ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` g ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` U. ran f ) ) ` g ) <-> ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` U. ran f ) ) ` c ) ) )
135	131, 134	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( g = c -> ( ( g <_ c -> ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` g ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` U. ran f ) ) ` g ) ) <-> ( c <_ c -> ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` U. ran f ) ) ` c ) ) ) )
136	135	rspcva 3307	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( c e. NN0 /\ A. g e. NN0 ( g <_ c -> ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` g ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` U. ran f ) ) ` g ) ) ) -> ( c <_ c -> ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` U. ran f ) ) ` c ) ) )
137	76, 130, 136	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ ( c e. NN0 /\ A. d e. ( ZZ>= ` c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) ) ) /\ ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a i^i Fin ) /\ A. e e. ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) ) ) -> ( c <_ c -> ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` U. ran f ) ) ` c ) ) )
138	128, 137	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ ( c e. NN0 /\ A. d e. ( ZZ>= ` c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) ) ) /\ ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a i^i Fin ) /\ A. e e. ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) ) ) -> ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` U. ran f ) ) ` c ) )
139	138	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ ( c e. NN0 /\ A. d e. ( ZZ>= ` c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) ) ) /\ ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a i^i Fin ) /\ A. e e. ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) ) ) /\ ( g e. NN0 /\ c <_ g ) ) -> ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` U. ran f ) ) ` c ) )
140	68	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ ( c e. NN0 /\ A. d e. ( ZZ>= ` c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) ) ) /\ ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a i^i Fin ) /\ A. e e. ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) ) ) /\ ( g e. NN0 /\ c <_ g ) ) -> R e. Ring )
141	71	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ ( c e. NN0 /\ A. d e. ( ZZ>= ` c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) ) ) /\ ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a i^i Fin ) /\ A. e e. ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) ) ) /\ ( g e. NN0 /\ c <_ g ) ) -> ( (RSpan ` P ) ` U. ran f ) e. (LIdeal ` P ) )
142	76	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ ( c e. NN0 /\ A. d e. ( ZZ>= ` c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) ) ) /\ ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a i^i Fin ) /\ A. e e. ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) ) ) /\ ( g e. NN0 /\ c <_ g ) ) -> c e. NN0 )
143		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ ( c e. NN0 /\ A. d e. ( ZZ>= ` c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) ) ) /\ ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a i^i Fin ) /\ A. e e. ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) ) ) /\ ( g e. NN0 /\ c <_ g ) ) -> g e. NN0 )
144		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ ( c e. NN0 /\ A. d e. ( ZZ>= ` c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) ) ) /\ ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a i^i Fin ) /\ A. e e. ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) ) ) /\ ( g e. NN0 /\ c <_ g ) ) -> c <_ g )
145	2, 10, 11, 140, 141, 142, 143, 144	hbtlem4 37696	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ ( c e. NN0 /\ A. d e. ( ZZ>= ` c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) ) ) /\ ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a i^i Fin ) /\ A. e e. ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) ) ) /\ ( g e. NN0 /\ c <_ g ) ) -> ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` U. ran f ) ) ` c ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` U. ran f ) ) ` g ) )
146	139, 145	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ ( c e. NN0 /\ A. d e. ( ZZ>= ` c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) ) ) /\ ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a i^i Fin ) /\ A. e e. ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) ) ) /\ ( g e. NN0 /\ c <_ g ) ) -> ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` U. ran f ) ) ` g ) )
147	126, 146	eqsstrd 3639	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ ( c e. NN0 /\ A. d e. ( ZZ>= ` c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) ) ) /\ ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a i^i Fin ) /\ A. e e. ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) ) ) /\ ( g e. NN0 /\ c <_ g ) ) -> ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` g ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` U. ran f ) ) ` g ) )
148	147	anassrs 680	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ ( c e. NN0 /\ A. d e. ( ZZ>= ` c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) ) ) /\ ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a i^i Fin ) /\ A. e e. ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) ) ) /\ g e. NN0 ) /\ c <_ g ) -> ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` g ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` U. ran f ) ) ` g ) )
149	75, 78, 112, 148	lecasei 10143	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ ( c e. NN0 /\ A. d e. ( ZZ>= ` c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) ) ) /\ ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a i^i Fin ) /\ A. e e. ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) ) ) /\ g e. NN0 ) -> ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` g ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` U. ran f ) ) ` g ) )
150	149	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ ( c e. NN0 /\ A. d e. ( ZZ>= ` c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) ) ) /\ ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a i^i Fin ) /\ A. e e. ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) ) ) -> A. g e. NN0 ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` g ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` U. ran f ) ) ` g ) )
151	2, 10, 11, 68, 71, 48, 73, 150	hbtlem5 37698	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ ( c e. NN0 /\ A. d e. ( ZZ>= ` c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) ) ) /\ ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a i^i Fin ) /\ A. e e. ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) ) ) -> ( (RSpan ` P ) ` U. ran f ) = a )
152	151	eqcomd 2628	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ ( c e. NN0 /\ A. d e. ( ZZ>= ` c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) ) ) /\ ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a i^i Fin ) /\ A. e e. ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) ) ) -> a = ( (RSpan ` P ) ` U. ran f ) )
153		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( b = U. ran f -> ( (RSpan ` P ) ` b ) = ( (RSpan ` P ) ` U. ran f ) )
154	153	eqeq2d 2632	. . . . . . 7 |- ( b = U. ran f -> ( a = ( (RSpan ` P ) ` b ) <-> a = ( (RSpan ` P ) ` U. ran f ) ) )
155	154	rspcev 3309	. . . . . 6 |- ( ( U. ran f e. ( ~P ( Base ` P ) i^i Fin ) /\ a = ( (RSpan ` P ) ` U. ran f ) ) -> E. b e. ( ~P ( Base ` P ) i^i Fin ) a = ( (RSpan ` P ) ` b ) )
156	67, 152, 155	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ ( c e. NN0 /\ A. d e. ( ZZ>= ` c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) ) ) /\ ( f : ( 0 ... c ) --> ( ~P a i^i Fin ) /\ A. e e. ( 0 ... c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` e ) C_ ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` ( (RSpan ` P ) ` ( f ` e ) ) ) ` e ) ) ) -> E. b e. ( ~P ( Base ` P ) i^i Fin ) a = ( (RSpan ` P ) ` b ) )
157	40, 156	exlimddv 1863	. . . 4 |- ( ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) /\ ( c e. NN0 /\ A. d e. ( ZZ>= ` c ) ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` d ) = ( ( (ldgIdlSeq ` R ) ` a ) ` c ) ) ) -> E. b e. ( ~P ( Base ` P ) i^i Fin ) a = ( (RSpan ` P ) ` b ) )
158	25, 157	rexlimddv 3035	. . 3 |- ( ( R e. LNoeR /\ a e. (LIdeal ` P ) ) -> E. b e. ( ~P ( Base ` P ) i^i Fin ) a = ( (RSpan ` P ) ` b ) )
159	158	ralrimiva 2966	. 2 |- ( R e. LNoeR -> A. a e. (LIdeal ` P ) E. b e. ( ~P ( Base ` P ) i^i Fin ) a = ( (RSpan ` P ) ` b ) )
160	49, 10, 27	islnr2 37684	. 2 |- ( P e. LNoeR <-> ( P e. Ring /\ A. a e. (LIdeal ` P ) E. b e. ( ~P ( Base ` P ) i^i Fin ) a = ( (RSpan ` P ) ` b ) ) )
161	4, 159, 160	sylanbrc 698	1 |- ( R e. LNoeR -> P e. LNoeR )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   ran crn 5115   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   <_ cle 10075   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   Basecbs 15857   Ringcrg 18547  LIdealclidl 19170  RSpancrsp 19171  Poly₁cpl1 19547  NoeACScnacs 37265  LNoeRclnr 37679  ldgIdlSeqcldgis 37691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ocomp 15963  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-preset 16928  df-drs 16929  df-poset 16946  df-ipo 17152  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-lidl 19174  df-rsp 19175  df-rlreg 19283  df-ascl 19314  df-psr 19356  df-mvr 19357  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-psr1 19550  df-vr1 19551  df-ply1 19552  df-coe1 19553  df-cnfld 19747  df-mdeg 23815  df-deg1 23816  df-nacs 37266  df-lfig 37638  df-lnm 37646  df-lnr 37680  df-ldgis 37692

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