Theorem liminf0 40025

Description: The inferior limit of the empty set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
liminf0	|- (liminf ` (/) ) = +oo

Proof of Theorem liminf0

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nftru 1730	. . . 4 |- F/ x T.
2		0ex 4790	. . . . 5 |- (/) e. _V
3	2	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> (/) e. _V )
4		0red 10041	. . . 4 |- ( T. -> 0 e. RR )
5		noel 3919	. . . . . . 7 |- -. x e. (/)
6		elinel1 3799	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( (/) i^i ( 0 [,) +oo ) ) -> x e. (/) )
7	6	con3i 150	. . . . . . 7 |- ( -. x e. (/) -> -. x e. ( (/) i^i ( 0 [,) +oo ) ) )
8	5, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 |- -. x e. ( (/) i^i ( 0 [,) +oo ) )
9		pm2.21 120	. . . . . 6 |- ( -. x e. ( (/) i^i ( 0 [,) +oo ) ) -> ( x e. ( (/) i^i ( 0 [,) +oo ) ) -> ( (/) ` x ) e. RR* ) )
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( x e. ( (/) i^i ( 0 [,) +oo ) ) -> ( (/) ` x ) e. RR* )
11	10	adantl 482	. . . 4 |- ( ( T. /\ x e. ( (/) i^i ( 0 [,) +oo ) ) ) -> ( (/) ` x ) e. RR* )
12	1, 3, 4, 11	liminfval3 40022	. . 3 |- ( T. -> (liminf ` ( x e. (/) |-> ( (/) ` x ) ) ) = -e ( limsup ` ( x e. (/) |-> -e ( (/) ` x ) ) ) )
13	12	trud 1493	. 2 |- (liminf ` ( x e. (/) |-> ( (/) ` x ) ) ) = -e ( limsup ` ( x e. (/) |-> -e ( (/) ` x ) ) )
14		mpt0 6021	. . 3 |- ( x e. (/) |-> ( (/) ` x ) ) = (/)
15	14	fveq2i 6194	. 2 |- (liminf ` ( x e. (/) |-> ( (/) ` x ) ) ) = (liminf ` (/) )
16		mpt0 6021	. . . . . 6 |- ( x e. (/) |-> -e ( (/) ` x ) ) = (/)
17	16	fveq2i 6194	. . . . 5 |- ( limsup ` ( x e. (/) |-> -e ( (/) ` x ) ) ) = ( limsup ` (/) )
18		limsup0 39926	. . . . 5 |- ( limsup ` (/) ) = -oo
19	17, 18	eqtri 2644	. . . 4 |- ( limsup ` ( x e. (/) |-> -e ( (/) ` x ) ) ) = -oo
20	19	xnegeqi 39667	. . 3 |- -e ( limsup ` ( x e. (/) |-> -e ( (/) ` x ) ) ) = -e -oo
21		xnegmnf 12041	. . 3 |- -e -oo = +oo
22	20, 21	eqtri 2644	. 2 |- -e ( limsup ` ( x e. (/) |-> -e ( (/) ` x ) ) ) = +oo
23	13, 15, 22	3eqtr3i 2652	1 |- (liminf ` (/) ) = +oo

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1483   T. wtru 1484   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   (/)c0 3915   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   +oocpnf 10071   -oocmnf 10072   RR*cxr 10073   -ecxne 11943   [,)cico 12177   limsupclsp 14201  liminfclsi 39983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-xneg 11946  df-ico 12181  df-limsup 14202  df-liminf 39984

This theorem is referenced by:  liminflelimsupcex  40029