Theorem liminfequzmpt2 40023

Description: Two functions that are eventually equal to one another have the same superior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
liminfequzmpt2.j	|- F/ j ph
liminfequzmpt2.o	|- F/_ j A
liminfequzmpt2.p	|- F/_ j B
liminfequzmpt2.a	|- A = ( ZZ>= ` M )
liminfequzmpt2.b	|- B = ( ZZ>= ` N )
liminfequzmpt2.k	|- ( ph -> K e. A )
liminfequzmpt2.e	|- ( ph -> K e. B )
liminfequzmpt2.c	|- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` K ) ) -> C e. V )

Assertion

Ref	Expression
liminfequzmpt2	|- ( ph -> (liminf ` ( j e. A |-> C ) ) = (liminf ` ( j e. B |-> C ) ) )

Distinct variable group:   j, K

Allowed substitution hints:   ph( j)   A( j)   B( j)   C( j)   M( j)   N( j)   V( j)

Proof of Theorem liminfequzmpt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		liminfequzmpt2.j	. . . . . . . . 9 |- F/ j ph
2		liminfequzmpt2.a	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- A = ( ZZ>= ` M )
3		liminfequzmpt2.k	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> K e. A )
4	2, 3	uzssd2 39644	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ZZ>= ` K ) C_ A )
5	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ZZ>= ` K ) C_ A )
6		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` K ) ) -> j e. ( ZZ>= ` K ) )
7	5, 6	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` K ) ) -> j e. A )
8		liminfequzmpt2.c	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` K ) ) -> C e. V )
9	8	elexd 3214	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` K ) ) -> C e. _V )
10	7, 9	jca 554	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( j e. A /\ C e. _V ) )
11		rabid 3116	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. { j e. A | C e. _V } <-> ( j e. A /\ C e. _V ) )
12	10, 11	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` K ) ) -> j e. { j e. A | C e. _V } )
13	12	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( j e. ( ZZ>= ` K ) -> j e. { j e. A | C e. _V } ) )
14	1, 13	ralrimi 2957	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. j e. ( ZZ>= ` K ) j e. { j e. A | C e. _V } )
15		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ j ( ZZ>= ` K )
16		nfrab1 3122	. . . . . . . . 9 |- F/_ j { j e. A | C e. _V }
17	15, 16	dfss3f 3595	. . . . . . . 8 |- ( ( ZZ>= ` K ) C_ { j e. A | C e. _V } <-> A. j e. ( ZZ>= ` K ) j e. { j e. A | C e. _V } )
18	14, 17	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ZZ>= ` K ) C_ { j e. A | C e. _V } )
19	16, 15	resmptf 5451	. . . . . . 7 |- ( ( ZZ>= ` K ) C_ { j e. A | C e. _V } -> ( ( j e. { j e. A | C e. _V } |-> C ) |` ( ZZ>= ` K ) ) = ( j e. ( ZZ>= ` K ) |-> C ) )
20	18, 19	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( j e. { j e. A | C e. _V } |-> C ) |` ( ZZ>= ` K ) ) = ( j e. ( ZZ>= ` K ) |-> C ) )
21	20	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( ph -> ( j e. ( ZZ>= ` K ) |-> C ) = ( ( j e. { j e. A | C e. _V } |-> C ) |` ( ZZ>= ` K ) ) )
22	21	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ph -> (liminf ` ( j e. ( ZZ>= ` K ) |-> C ) ) = (liminf ` ( ( j e. { j e. A | C e. _V } |-> C ) |` ( ZZ>= ` K ) ) ) )
23	2, 3	eluzelz2d 39640	. . . . 5 |- ( ph -> K e. ZZ )
24		eqid 2622	. . . . 5 |- ( ZZ>= ` K ) = ( ZZ>= ` K )
25		liminfequzmpt2.o	. . . . . . . 8 |- F/_ j A
26	2	fvexi 6202	. . . . . . . 8 |- A e. _V
27	25, 26	rabexf 39319	. . . . . . 7 |- { j e. A | C e. _V } e. _V
28	16, 27	mptexf 39444	. . . . . 6 |- ( j e. { j e. A | C e. _V } |-> C ) e. _V
29	28	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( j e. { j e. A | C e. _V } |-> C ) e. _V )
30		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( j e. { j e. A | C e. _V } |-> C ) = ( j e. { j e. A | C e. _V } |-> C )
31	16, 30	dmmptssf 39438	. . . . . . 7 |- dom ( j e. { j e. A | C e. _V } |-> C ) C_ { j e. A | C e. _V }
32	25	ssrab2f 39300	. . . . . . . 8 |- { j e. A | C e. _V } C_ A
33		uzssz 11707	. . . . . . . . 9 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
34	2, 33	eqsstri 3635	. . . . . . . 8 |- A C_ ZZ
35	32, 34	sstri 3612	. . . . . . 7 |- { j e. A | C e. _V } C_ ZZ
36	31, 35	sstri 3612	. . . . . 6 |- dom ( j e. { j e. A | C e. _V } |-> C ) C_ ZZ
37	36	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> dom ( j e. { j e. A | C e. _V } |-> C ) C_ ZZ )
38	23, 24, 29, 37	liminfresuz2 40019	. . . 4 |- ( ph -> (liminf ` ( ( j e. { j e. A | C e. _V } |-> C ) |` ( ZZ>= ` K ) ) ) = (liminf ` ( j e. { j e. A | C e. _V } |-> C ) ) )
39	22, 38	eqtr2d 2657	. . 3 |- ( ph -> (liminf ` ( j e. { j e. A | C e. _V } |-> C ) ) = (liminf ` ( j e. ( ZZ>= ` K ) |-> C ) ) )
40		liminfequzmpt2.b	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- B = ( ZZ>= ` N )
41		liminfequzmpt2.e	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> K e. B )
42	40, 41	uzssd2 39644	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ZZ>= ` K ) C_ B )
43	42	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ZZ>= ` K ) C_ B )
44	43, 6	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` K ) ) -> j e. B )
45	44, 9	jca 554	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( j e. B /\ C e. _V ) )
46		rabid 3116	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. { j e. B | C e. _V } <-> ( j e. B /\ C e. _V ) )
47	45, 46	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` K ) ) -> j e. { j e. B | C e. _V } )
48	47	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( j e. ( ZZ>= ` K ) -> j e. { j e. B | C e. _V } ) )
49	1, 48	ralrimi 2957	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. j e. ( ZZ>= ` K ) j e. { j e. B | C e. _V } )
50		nfrab1 3122	. . . . . . . . 9 |- F/_ j { j e. B | C e. _V }
51	15, 50	dfss3f 3595	. . . . . . . 8 |- ( ( ZZ>= ` K ) C_ { j e. B | C e. _V } <-> A. j e. ( ZZ>= ` K ) j e. { j e. B | C e. _V } )
52	49, 51	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ZZ>= ` K ) C_ { j e. B | C e. _V } )
53	50, 15	resmptf 5451	. . . . . . 7 |- ( ( ZZ>= ` K ) C_ { j e. B | C e. _V } -> ( ( j e. { j e. B | C e. _V } |-> C ) |` ( ZZ>= ` K ) ) = ( j e. ( ZZ>= ` K ) |-> C ) )
54	52, 53	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( j e. { j e. B | C e. _V } |-> C ) |` ( ZZ>= ` K ) ) = ( j e. ( ZZ>= ` K ) |-> C ) )
55	54	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( ph -> ( j e. ( ZZ>= ` K ) |-> C ) = ( ( j e. { j e. B | C e. _V } |-> C ) |` ( ZZ>= ` K ) ) )
56	55	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ph -> (liminf ` ( j e. ( ZZ>= ` K ) |-> C ) ) = (liminf ` ( ( j e. { j e. B | C e. _V } |-> C ) |` ( ZZ>= ` K ) ) ) )
57		liminfequzmpt2.p	. . . . . . . 8 |- F/_ j B
58	40	fvexi 6202	. . . . . . . 8 |- B e. _V
59	57, 58	rabexf 39319	. . . . . . 7 |- { j e. B | C e. _V } e. _V
60	50, 59	mptexf 39444	. . . . . 6 |- ( j e. { j e. B | C e. _V } |-> C ) e. _V
61	60	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( j e. { j e. B | C e. _V } |-> C ) e. _V )
62		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( j e. { j e. B | C e. _V } |-> C ) = ( j e. { j e. B | C e. _V } |-> C )
63	50, 62	dmmptssf 39438	. . . . . . 7 |- dom ( j e. { j e. B | C e. _V } |-> C ) C_ { j e. B | C e. _V }
64	57	ssrab2f 39300	. . . . . . . 8 |- { j e. B | C e. _V } C_ B
65		uzssz 11707	. . . . . . . . 9 |- ( ZZ>= ` N ) C_ ZZ
66	40, 65	eqsstri 3635	. . . . . . . 8 |- B C_ ZZ
67	64, 66	sstri 3612	. . . . . . 7 |- { j e. B | C e. _V } C_ ZZ
68	63, 67	sstri 3612	. . . . . 6 |- dom ( j e. { j e. B | C e. _V } |-> C ) C_ ZZ
69	68	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> dom ( j e. { j e. B | C e. _V } |-> C ) C_ ZZ )
70	23, 24, 61, 69	liminfresuz2 40019	. . . 4 |- ( ph -> (liminf ` ( ( j e. { j e. B | C e. _V } |-> C ) |` ( ZZ>= ` K ) ) ) = (liminf ` ( j e. { j e. B | C e. _V } |-> C ) ) )
71	56, 70	eqtr2d 2657	. . 3 |- ( ph -> (liminf ` ( j e. { j e. B | C e. _V } |-> C ) ) = (liminf ` ( j e. ( ZZ>= ` K ) |-> C ) ) )
72	39, 71	eqtr4d 2659	. 2 |- ( ph -> (liminf ` ( j e. { j e. A | C e. _V } |-> C ) ) = (liminf ` ( j e. { j e. B | C e. _V } |-> C ) ) )
73		eqid 2622	. . . . 5 |- { j e. A | C e. _V } = { j e. A | C e. _V }
74	25, 73	mptssid 39450	. . . 4 |- ( j e. A |-> C ) = ( j e. { j e. A | C e. _V } |-> C )
75	74	fveq2i 6194	. . 3 |- (liminf ` ( j e. A |-> C ) ) = (liminf ` ( j e. { j e. A | C e. _V } |-> C ) )
76	75	a1i 11	. 2 |- ( ph -> (liminf ` ( j e. A |-> C ) ) = (liminf ` ( j e. { j e. A | C e. _V } |-> C ) ) )
77		eqid 2622	. . . . 5 |- { j e. B | C e. _V } = { j e. B | C e. _V }
78	57, 77	mptssid 39450	. . . 4 |- ( j e. B |-> C ) = ( j e. { j e. B | C e. _V } |-> C )
79	78	fveq2i 6194	. . 3 |- (liminf ` ( j e. B |-> C ) ) = (liminf ` ( j e. { j e. B | C e. _V } |-> C ) )
80	79	a1i 11	. 2 |- ( ph -> (liminf ` ( j e. B |-> C ) ) = (liminf ` ( j e. { j e. B | C e. _V } |-> C ) ) )
81	72, 76, 80	3eqtr4d 2666	1 |- ( ph -> (liminf ` ( j e. A |-> C ) ) = (liminf ` ( j e. B |-> C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   |` cres 5116   ` cfv 5888   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687  liminfclsi 39983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-ico 12181  df-liminf 39984

This theorem is referenced by:  smfliminfmpt  41038