Theorem lincolss 42223

Description: According to the statement in [Lang] p. 129, the set ( LSubSp ` M ) of all linear combinations of a set of vectors V is a submodule (generated by V) of the module M. The elements of V are called generators of ( LSubSp ` M ). (Contributed by AV, 12-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
lincolss	|- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( M LinCo V ) e. ( LSubSp ` M ) )

Proof of Theorem lincolss

Dummy variables x a b s v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2623	. 2 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> (Scalar ` M ) = (Scalar ` M ) )
2		eqidd 2623	. 2 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( Base ` (Scalar ` M ) ) = ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
3		eqidd 2623	. 2 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( Base ` M ) = ( Base ` M ) )
4		eqidd 2623	. 2 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( +g ` M ) = ( +g ` M ) )
5		eqidd 2623	. 2 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( .s ` M ) = ( .s ` M ) )
6		eqidd 2623	. 2 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( LSubSp ` M ) = ( LSubSp ` M ) )
7		eqid 2622	. . . . 5 |- ( Base ` M ) = ( Base ` M )
8		eqid 2622	. . . . 5 |- (Scalar ` M ) = (Scalar ` M )
9		eqid 2622	. . . . 5 |- ( Base ` (Scalar ` M ) ) = ( Base ` (Scalar ` M ) )
10	7, 8, 9	lcoval 42201	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( v e. ( M LinCo V ) <-> ( v e. ( Base ` M ) /\ E. s e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) ( s finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ v = ( s ( linC ` M ) V ) ) ) ) )
11		simpl 473	. . . 4 |- ( ( v e. ( Base ` M ) /\ E. s e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) ( s finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ v = ( s ( linC ` M ) V ) ) ) -> v e. ( Base ` M ) )
12	10, 11	syl6bi 243	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( v e. ( M LinCo V ) -> v e. ( Base ` M ) ) )
13	12	ssrdv 3609	. 2 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( M LinCo V ) C_ ( Base ` M ) )
14		lcoel0 42217	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( 0g ` M ) e. ( M LinCo V ) )
15		ne0i 3921	. . 3 |- ( ( 0g ` M ) e. ( M LinCo V ) -> ( M LinCo V ) =/= (/) )
16	14, 15	syl 17	. 2 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( M LinCo V ) =/= (/) )
17		eqid 2622	. . 3 |- ( .s ` M ) = ( .s ` M )
18		eqid 2622	. . 3 |- ( +g ` M ) = ( +g ` M )
19	17, 9, 18	lincsumscmcl 42222	. 2 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( x e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) /\ a e. ( M LinCo V ) /\ b e. ( M LinCo V ) ) ) -> ( ( x ( .s ` M ) a ) ( +g ` M ) b ) e. ( M LinCo V ) )
20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 13, 16, 19	islssd 18936	1 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( M LinCo V ) e. ( LSubSp ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   finSupp cfsupp 8275   Basecbs 15857   +g cplusg 15941  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   0gc0g 16100   LModclmod 18863   LSubSpclss 18932   linC clinc 42193   LinCo clinco 42194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-linc 42195  df-lco 42196

This theorem is referenced by:  lspsslco  42226