Theorem lincscm 42219

Description: A linear combinations multiplied with a scalar is a linear combination, see also the proof in [Lang] p. 129. (Contributed by AV, 9-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lincscm.s	|- .xb = ( .s ` M )
lincscm.t	|- .x. = ( .r ` (Scalar ` M ) )
lincscm.x	|- X = ( A ( linC ` M ) V )
lincscm.r	|- R = ( Base ` (Scalar ` M ) )
lincscm.f	|- F = ( x e. V |-> ( S .x. ( A ` x ) ) )

Assertion

Ref	Expression
lincscm	|- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ S e. R ) /\ A finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) ) -> ( S .xb X ) = ( F ( linC ` M ) V ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, M   x, R   x, S   x, V   x, .x.

Allowed substitution hints:   .xb ( x)   F( x)   X( x)

Proof of Theorem lincscm

Dummy variable v is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . 3 |- ( Base ` M ) = ( Base ` M )
2		eqid 2622	. . 3 |- (Scalar ` M ) = (Scalar ` M )
3		lincscm.r	. . 3 |- R = ( Base ` (Scalar ` M ) )
4		eqid 2622	. . 3 |- ( 0g ` M ) = ( 0g ` M )
5		eqid 2622	. . 3 |- ( +g ` M ) = ( +g ` M )
6		lincscm.s	. . 3 |- .xb = ( .s ` M )
7		simp1l 1085	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ S e. R ) /\ A finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) ) -> M e. LMod )
8		simpr 477	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> V e. ~P ( Base ` M ) )
9	8	3ad2ant1 1082	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ S e. R ) /\ A finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) ) -> V e. ~P ( Base ` M ) )
10		simpr 477	. . . 4 |- ( ( A e. ( R ^m V ) /\ S e. R ) -> S e. R )
11	10	3ad2ant2 1083	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ S e. R ) /\ A finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) ) -> S e. R )
12	7	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ S e. R ) /\ A finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) ) /\ v e. V ) -> M e. LMod )
13		elmapi 7879	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( R ^m V ) -> A : V --> R )
14		ffvelrn 6357	. . . . . . . . 9 |- ( ( A : V --> R /\ v e. V ) -> ( A ` v ) e. R )
15	14	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( A : V --> R -> ( v e. V -> ( A ` v ) e. R ) )
16	13, 15	syl 17	. . . . . . 7 |- ( A e. ( R ^m V ) -> ( v e. V -> ( A ` v ) e. R ) )
17	16	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( R ^m V ) /\ S e. R ) -> ( v e. V -> ( A ` v ) e. R ) )
18	17	3ad2ant2 1083	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ S e. R ) /\ A finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) ) -> ( v e. V -> ( A ` v ) e. R ) )
19	18	imp 445	. . . 4 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ S e. R ) /\ A finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) ) /\ v e. V ) -> ( A ` v ) e. R )
20		elelpwi 4171	. . . . . . . 8 |- ( ( v e. V /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> v e. ( Base ` M ) )
21	20	expcom 451	. . . . . . 7 |- ( V e. ~P ( Base ` M ) -> ( v e. V -> v e. ( Base ` M ) ) )
22	21	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( v e. V -> v e. ( Base ` M ) ) )
23	22	3ad2ant1 1082	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ S e. R ) /\ A finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) ) -> ( v e. V -> v e. ( Base ` M ) ) )
24	23	imp 445	. . . 4 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ S e. R ) /\ A finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) ) /\ v e. V ) -> v e. ( Base ` M ) )
25		eqid 2622	. . . . 5 |- ( .s ` M ) = ( .s ` M )
26	1, 2, 25, 3	lmodvscl 18880	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ ( A ` v ) e. R /\ v e. ( Base ` M ) ) -> ( ( A ` v ) ( .s ` M ) v ) e. ( Base ` M ) )
27	12, 19, 24, 26	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ S e. R ) /\ A finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) ) /\ v e. V ) -> ( ( A ` v ) ( .s ` M ) v ) e. ( Base ` M ) )
28	2, 3	scmfsupp 42159	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ A e. ( R ^m V ) /\ A finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) ) -> ( v e. V |-> ( ( A ` v ) ( .s ` M ) v ) ) finSupp ( 0g ` M ) )
29	28	3adant2r 1321	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ S e. R ) /\ A finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) ) -> ( v e. V |-> ( ( A ` v ) ( .s ` M ) v ) ) finSupp ( 0g ` M ) )
30	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 27, 29	gsumvsmul 18927	. 2 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ S e. R ) /\ A finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) ) -> ( M gsumg ( v e. V |-> ( S .xb ( ( A ` v ) ( .s ` M ) v ) ) ) ) = ( S .xb ( M gsumg ( v e. V |-> ( ( A ` v ) ( .s ` M ) v ) ) ) ) )
31	2	lmodring 18871	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. LMod -> (Scalar ` M ) e. Ring )
32	31	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> (Scalar ` M ) e. Ring )
33	32	3ad2ant1 1082	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ S e. R ) /\ A finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) ) -> (Scalar ` M ) e. Ring )
34	33	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ S e. R ) /\ A finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) ) /\ x e. V ) -> (Scalar ` M ) e. Ring )
35	3	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . 11 |- ( S e. R <-> S e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
36	35	biimpi 206	. . . . . . . . . 10 |- ( S e. R -> S e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
37	36	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( R ^m V ) /\ S e. R ) -> S e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
38	37	3ad2ant2 1083	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ S e. R ) /\ A finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) ) -> S e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
39	38	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ S e. R ) /\ A finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) ) /\ x e. V ) -> S e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
40		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A : V --> R /\ x e. V ) -> ( A ` x ) e. R )
41	40, 3	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A : V --> R /\ x e. V ) -> ( A ` x ) e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
42	41	ex 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( A : V --> R -> ( x e. V -> ( A ` x ) e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
43	13, 42	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( R ^m V ) -> ( x e. V -> ( A ` x ) e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
44	43	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( R ^m V ) /\ S e. R ) -> ( x e. V -> ( A ` x ) e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
45	44	3ad2ant2 1083	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ S e. R ) /\ A finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) ) -> ( x e. V -> ( A ` x ) e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
46	45	imp 445	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ S e. R ) /\ A finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) ) /\ x e. V ) -> ( A ` x ) e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
47		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( Base ` (Scalar ` M ) ) = ( Base ` (Scalar ` M ) )
48		lincscm.t	. . . . . . . 8 |- .x. = ( .r ` (Scalar ` M ) )
49	47, 48	ringcl 18561	. . . . . . 7 |- ( ( (Scalar ` M ) e. Ring /\ S e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) /\ ( A ` x ) e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) -> ( S .x. ( A ` x ) ) e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
50	34, 39, 46, 49	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ S e. R ) /\ A finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) ) /\ x e. V ) -> ( S .x. ( A ` x ) ) e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
51		lincscm.f	. . . . . 6 |- F = ( x e. V |-> ( S .x. ( A ` x ) ) )
52	50, 51	fmptd 6385	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ S e. R ) /\ A finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) ) -> F : V --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
53		fvex 6201	. . . . . 6 |- ( Base ` (Scalar ` M ) ) e. _V
54		elmapg 7870	. . . . . 6 |- ( ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) e. _V /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( F e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) <-> F : V --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
55	53, 9, 54	sylancr 695	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ S e. R ) /\ A finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) ) -> ( F e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) <-> F : V --> ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
56	52, 55	mpbird 247	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ S e. R ) /\ A finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) ) -> F e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
57		lincval 42198	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ F e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( F ( linC ` M ) V ) = ( M gsumg ( v e. V |-> ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) ) ) )
58	7, 56, 9, 57	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ S e. R ) /\ A finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) ) -> ( F ( linC ` M ) V ) = ( M gsumg ( v e. V |-> ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) ) ) )
59		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ S e. R ) /\ A finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) ) /\ v e. V ) -> v e. V )
60		ovex 6678	. . . . . . . 8 |- ( S .x. ( A ` v ) ) e. _V
61		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( x = v -> ( A ` x ) = ( A ` v ) )
62	61	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( x = v -> ( S .x. ( A ` x ) ) = ( S .x. ( A ` v ) ) )
63	62, 51	fvmptg 6280	. . . . . . . 8 |- ( ( v e. V /\ ( S .x. ( A ` v ) ) e. _V ) -> ( F ` v ) = ( S .x. ( A ` v ) ) )
64	59, 60, 63	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ S e. R ) /\ A finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) ) /\ v e. V ) -> ( F ` v ) = ( S .x. ( A ` v ) ) )
65	64	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ S e. R ) /\ A finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) ) /\ v e. V ) -> ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) = ( ( S .x. ( A ` v ) ) ( .s ` M ) v ) )
66	11	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ S e. R ) /\ A finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) ) /\ v e. V ) -> S e. R )
67	1, 2, 25, 3, 48	lmodvsass 18888	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. LMod /\ ( S e. R /\ ( A ` v ) e. R /\ v e. ( Base ` M ) ) ) -> ( ( S .x. ( A ` v ) ) ( .s ` M ) v ) = ( S ( .s ` M ) ( ( A ` v ) ( .s ` M ) v ) ) )
68	12, 66, 19, 24, 67	syl13anc 1328	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ S e. R ) /\ A finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) ) /\ v e. V ) -> ( ( S .x. ( A ` v ) ) ( .s ` M ) v ) = ( S ( .s ` M ) ( ( A ` v ) ( .s ` M ) v ) ) )
69	6	eqcomi 2631	. . . . . . . . 9 |- ( .s ` M ) = .xb
70	69	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ S e. R ) /\ A finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) ) /\ v e. V ) -> ( .s ` M ) = .xb )
71	70	oveqd 6667	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ S e. R ) /\ A finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) ) /\ v e. V ) -> ( S ( .s ` M ) ( ( A ` v ) ( .s ` M ) v ) ) = ( S .xb ( ( A ` v ) ( .s ` M ) v ) ) )
72	68, 71	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ S e. R ) /\ A finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) ) /\ v e. V ) -> ( ( S .x. ( A ` v ) ) ( .s ` M ) v ) = ( S .xb ( ( A ` v ) ( .s ` M ) v ) ) )
73	65, 72	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ S e. R ) /\ A finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) ) /\ v e. V ) -> ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) = ( S .xb ( ( A ` v ) ( .s ` M ) v ) ) )
74	73	mpteq2dva 4744	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ S e. R ) /\ A finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) ) -> ( v e. V |-> ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) ) = ( v e. V |-> ( S .xb ( ( A ` v ) ( .s ` M ) v ) ) ) )
75	74	oveq2d 6666	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ S e. R ) /\ A finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) ) -> ( M gsumg ( v e. V |-> ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) ) ) = ( M gsumg ( v e. V |-> ( S .xb ( ( A ` v ) ( .s ` M ) v ) ) ) ) )
76	58, 75	eqtrd 2656	. 2 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ S e. R ) /\ A finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) ) -> ( F ( linC ` M ) V ) = ( M gsumg ( v e. V |-> ( S .xb ( ( A ` v ) ( .s ` M ) v ) ) ) ) )
77		lincscm.x	. . . . 5 |- X = ( A ( linC ` M ) V )
78	77	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ S e. R ) /\ A finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) ) -> X = ( A ( linC ` M ) V ) )
79	3	oveq1i 6660	. . . . . . . . 9 |- ( R ^m V ) = ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V )
80	79	eleq2i 2693	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( R ^m V ) <-> A e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
81	80	biimpi 206	. . . . . . 7 |- ( A e. ( R ^m V ) -> A e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
82	81	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( R ^m V ) /\ S e. R ) -> A e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
83	82	3ad2ant2 1083	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ S e. R ) /\ A finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) ) -> A e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
84		lincval 42198	. . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ A e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( A ( linC ` M ) V ) = ( M gsumg ( v e. V |-> ( ( A ` v ) ( .s ` M ) v ) ) ) )
85	7, 83, 9, 84	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ S e. R ) /\ A finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) ) -> ( A ( linC ` M ) V ) = ( M gsumg ( v e. V |-> ( ( A ` v ) ( .s ` M ) v ) ) ) )
86	78, 85	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ S e. R ) /\ A finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) ) -> X = ( M gsumg ( v e. V |-> ( ( A ` v ) ( .s ` M ) v ) ) ) )
87	86	oveq2d 6666	. 2 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ S e. R ) /\ A finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) ) -> ( S .xb X ) = ( S .xb ( M gsumg ( v e. V |-> ( ( A ` v ) ( .s ` M ) v ) ) ) ) )
88	30, 76, 87	3eqtr4rd 2667	1 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( A e. ( R ^m V ) /\ S e. R ) /\ A finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) ) -> ( S .xb X ) = ( F ( linC ` M ) V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   finSupp cfsupp 8275   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   0gc0g 16100   gsum_g cgsu 16101   Ringcrg 18547   LModclmod 18863   linC clinc 42193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-lmod 18865  df-linc 42195

This theorem is referenced by:  lincscmcl  42221