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Theorem lincsumcl 42220
Description: The sum of two linear combinations is a linear combination, see also the proof in [Lang] p. 129. (Contributed by AV, 4-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 28-Jul-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
lincsumcl.b |- .+ = ( +g ` M )
Assertion
Ref Expression
lincsumcl |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( C e. ( M LinCo V ) /\ D e. ( M LinCo V ) ) ) -> ( C .+ D ) e. ( M LinCo V ) )
Proof of Theorem lincsumcl
Dummy variables x s y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2622 . . . . 5 |- ( Base ` M ) = ( Base ` M )
2 eqid 2622 . . . . 5 |- (Scalar ` M ) = (Scalar ` M )
3 eqid 2622 . . . . 5 |- ( Base ` (Scalar ` M ) ) = ( Base ` (Scalar ` M ) )
41, 2, 3lcoval 42201 . . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( C e. ( M LinCo V ) <-> ( C e. ( Base ` M ) /\ E. y e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) ( y finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ C = ( y ( linC ` M ) V ) ) ) ) )
51, 2, 3lcoval 42201 . . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( D e. ( M LinCo V ) <-> ( D e. ( Base ` M ) /\ E. x e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) ( x finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ D = ( x ( linC ` M ) V ) ) ) ) )
64, 5anbi12d 747 . . 3 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( ( C e. ( M LinCo V ) /\ D e. ( M LinCo V ) ) <-> ( ( C e. ( Base ` M ) /\ E. y e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) ( y finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ C = ( y ( linC ` M ) V ) ) ) /\ ( D e. ( Base ` M ) /\ E. x e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) ( x finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ D = ( x ( linC ` M ) V ) ) ) ) ) )
7 simpll 790 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( ( C e. ( Base ` M ) /\ E. y e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) ( y finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ C = ( y ( linC ` M ) V ) ) ) /\ ( D e. ( Base ` M ) /\ E. x e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) ( x finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ D = ( x ( linC ` M ) V ) ) ) ) ) -> M e. LMod )
8 simpll 790 . . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( Base ` M ) /\ E. y e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) ( y finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ C = ( y ( linC ` M ) V ) ) ) /\ ( D e. ( Base ` M ) /\ E. x e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) ( x finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ D = ( x ( linC ` M ) V ) ) ) ) -> C e. ( Base ` M ) )
98adantl 482 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( ( C e. ( Base ` M ) /\ E. y e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) ( y finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ C = ( y ( linC ` M ) V ) ) ) /\ ( D e. ( Base ` M ) /\ E. x e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) ( x finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ D = ( x ( linC ` M ) V ) ) ) ) ) -> C e. ( Base ` M ) )
10 simprl 794 . . . . . . 7 |- ( ( ( C e. ( Base ` M ) /\ E. y e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) ( y finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ C = ( y ( linC ` M ) V ) ) ) /\ ( D e. ( Base ` M ) /\ E. x e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) ( x finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ D = ( x ( linC ` M ) V ) ) ) ) -> D e. ( Base ` M ) )
1110adantl 482 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( ( C e. ( Base ` M ) /\ E. y e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) ( y finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ C = ( y ( linC ` M ) V ) ) ) /\ ( D e. ( Base ` M ) /\ E. x e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) ( x finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ D = ( x ( linC ` M ) V ) ) ) ) ) -> D e. ( Base ` M ) )
12 lincsumcl.b . . . . . . 7 |- .+ = ( +g ` M )
131, 12lmodvacl 18877 . . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ C e. ( Base ` M ) /\ D e. ( Base ` M ) ) -> ( C .+ D ) e. ( Base ` M ) )
147, 9, 11, 13syl3anc 1326 . . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( ( C e. ( Base ` M ) /\ E. y e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) ( y finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ C = ( y ( linC ` M ) V ) ) ) /\ ( D e. ( Base ` M ) /\ E. x e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) ( x finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ D = ( x ( linC ` M ) V ) ) ) ) ) -> ( C .+ D ) e. ( Base ` M ) )
152lmodfgrp 18872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( M e. LMod -> (Scalar ` M ) e. Grp )
16 grpmnd 17429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( (Scalar ` M ) e. Grp -> (Scalar ` M ) e. Mnd )
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( M e. LMod -> (Scalar ` M ) e. Mnd )
1817adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> (Scalar ` M ) e. Mnd )
1918adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( y e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ ( y finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ C = ( y ( linC ` M ) V ) ) ) /\ ( C e. ( Base ` M ) /\ D e. ( Base ` M ) ) ) /\ ( x e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ ( x finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ D = ( x ( linC ` M ) V ) ) ) ) /\ ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) ) -> (Scalar ` M ) e. Mnd )
20 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> V e. ~P ( Base ` M ) )
2120adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( y e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ ( y finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ C = ( y ( linC ` M ) V ) ) ) /\ ( C e. ( Base ` M ) /\ D e. ( Base ` M ) ) ) /\ ( x e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ ( x finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ D = ( x ( linC ` M ) V ) ) ) ) /\ ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) ) -> V e. ~P ( Base ` M ) )
22 simpll 790 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( y e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ ( y finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ C = ( y ( linC ` M ) V ) ) ) /\ ( C e. ( Base ` M ) /\ D e. ( Base ` M ) ) ) -> y e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
23 simpl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ ( x finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ D = ( x ( linC ` M ) V ) ) ) -> x e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
2422, 23anim12i 590 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( y e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ ( y finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ C = ( y ( linC ` M ) V ) ) ) /\ ( C e. ( Base ` M ) /\ D e. ( Base ` M ) ) ) /\ ( x e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ ( x finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ D = ( x ( linC ` M ) V ) ) ) ) -> ( y e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ x e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) ) )
2524adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( y e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ ( y finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ C = ( y ( linC ` M ) V ) ) ) /\ ( C e. ( Base ` M ) /\ D e. ( Base ` M ) ) ) /\ ( x e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ ( x finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ D = ( x ( linC ` M ) V ) ) ) ) /\ ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) ) -> ( y e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ x e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) ) )
26 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( +g ` (Scalar ` M ) ) = ( +g ` (Scalar ` M ) )
273, 26ofaddmndmap 42122 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( (Scalar ` M ) e. Mnd /\ V e. ~P ( Base ` M ) /\ ( y e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ x e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) ) ) -> ( y oF ( +g ` (Scalar ` M ) ) x ) e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
2819, 21, 25, 27syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( y e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ ( y finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ C = ( y ( linC ` M ) V ) ) ) /\ ( C e. ( Base ` M ) /\ D e. ( Base ` M ) ) ) /\ ( x e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ ( x finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ D = ( x ( linC ` M ) V ) ) ) ) /\ ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) ) -> ( y oF ( +g ` (Scalar ` M ) ) x ) e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
2917anim1i 592 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( (Scalar ` M ) e. Mnd /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) )
3029adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( y e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ ( y finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ C = ( y ( linC ` M ) V ) ) ) /\ ( C e. ( Base ` M ) /\ D e. ( Base ` M ) ) ) /\ ( x e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ ( x finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ D = ( x ( linC ` M ) V ) ) ) ) /\ ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) ) -> ( (Scalar ` M ) e. Mnd /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) )
31 simprl 794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ ( y finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ C = ( y ( linC ` M ) V ) ) ) -> y finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) )
3231adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( y e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ ( y finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ C = ( y ( linC ` M ) V ) ) ) /\ ( C e. ( Base ` M ) /\ D e. ( Base ` M ) ) ) -> y finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) )
33 simprl 794 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ ( x finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ D = ( x ( linC ` M ) V ) ) ) -> x finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) )
3432, 33anim12i 590 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( y e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ ( y finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ C = ( y ( linC ` M ) V ) ) ) /\ ( C e. ( Base ` M ) /\ D e. ( Base ` M ) ) ) /\ ( x e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ ( x finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ D = ( x ( linC ` M ) V ) ) ) ) -> ( y finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ x finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) ) )
3534adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( y e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ ( y finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ C = ( y ( linC ` M ) V ) ) ) /\ ( C e. ( Base ` M ) /\ D e. ( Base ` M ) ) ) /\ ( x e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ ( x finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ D = ( x ( linC ` M ) V ) ) ) ) /\ ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) ) -> ( y finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ x finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) ) )
363mndpfsupp 42157 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( (Scalar ` M ) e. Mnd /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( y e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ x e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) ) /\ ( y finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ x finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) ) ) -> ( y oF ( +g ` (Scalar ` M ) ) x ) finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) )
3730, 25, 35, 36syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( y e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ ( y finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ C = ( y ( linC ` M ) V ) ) ) /\ ( C e. ( Base ` M ) /\ D e. ( Base ` M ) ) ) /\ ( x e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ ( x finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ D = ( x ( linC ` M ) V ) ) ) ) /\ ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) ) -> ( y oF ( +g ` (Scalar ` M ) ) x ) finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) )
38 oveq12 6659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( C = ( y ( linC ` M ) V ) /\ D = ( x ( linC ` M ) V ) ) -> ( C .+ D ) = ( ( y ( linC ` M ) V ) .+ ( x ( linC ` M ) V ) ) )
3938expcom 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( D = ( x ( linC ` M ) V ) -> ( C = ( y ( linC ` M ) V ) -> ( C .+ D ) = ( ( y ( linC ` M ) V ) .+ ( x ( linC ` M ) V ) ) ) )
4039adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( x finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ D = ( x ( linC ` M ) V ) ) -> ( C = ( y ( linC ` M ) V ) -> ( C .+ D ) = ( ( y ( linC ` M ) V ) .+ ( x ( linC ` M ) V ) ) ) )
4140adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( x e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ ( x finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ D = ( x ( linC ` M ) V ) ) ) -> ( C = ( y ( linC ` M ) V ) -> ( C .+ D ) = ( ( y ( linC ` M ) V ) .+ ( x ( linC ` M ) V ) ) ) )
4241com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( C = ( y ( linC ` M ) V ) -> ( ( x e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ ( x finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ D = ( x ( linC ` M ) V ) ) ) -> ( C .+ D ) = ( ( y ( linC ` M ) V ) .+ ( x ( linC ` M ) V ) ) ) )
4342adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ C = ( y ( linC ` M ) V ) ) -> ( ( x e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ ( x finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ D = ( x ( linC ` M ) V ) ) ) -> ( C .+ D ) = ( ( y ( linC ` M ) V ) .+ ( x ( linC ` M ) V ) ) ) )
4443adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ ( y finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ C = ( y ( linC ` M ) V ) ) ) -> ( ( x e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ ( x finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ D = ( x ( linC ` M ) V ) ) ) -> ( C .+ D ) = ( ( y ( linC ` M ) V ) .+ ( x ( linC ` M ) V ) ) ) )
4544adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( y e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ ( y finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ C = ( y ( linC ` M ) V ) ) ) /\ ( C e. ( Base ` M ) /\ D e. ( Base ` M ) ) ) -> ( ( x e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ ( x finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ D = ( x ( linC ` M ) V ) ) ) -> ( C .+ D ) = ( ( y ( linC ` M ) V ) .+ ( x ( linC ` M ) V ) ) ) )
4645imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( y e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ ( y finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ C = ( y ( linC ` M ) V ) ) ) /\ ( C e. ( Base ` M ) /\ D e. ( Base ` M ) ) ) /\ ( x e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ ( x finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ D = ( x ( linC ` M ) V ) ) ) ) -> ( C .+ D ) = ( ( y ( linC ` M ) V ) .+ ( x ( linC ` M ) V ) ) )
4746adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( y e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ ( y finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ C = ( y ( linC ` M ) V ) ) ) /\ ( C e. ( Base ` M ) /\ D e. ( Base ` M ) ) ) /\ ( x e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ ( x finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ D = ( x ( linC ` M ) V ) ) ) ) /\ ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) ) -> ( C .+ D ) = ( ( y ( linC ` M ) V ) .+ ( x ( linC ` M ) V ) ) )
48 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( y e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ ( y finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ C = ( y ( linC ` M ) V ) ) ) /\ ( C e. ( Base ` M ) /\ D e. ( Base ` M ) ) ) /\ ( x e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ ( x finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ D = ( x ( linC ` M ) V ) ) ) ) /\ ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) ) -> ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) )
49 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y ( linC ` M ) V ) = ( y ( linC ` M ) V )
50 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x ( linC ` M ) V ) = ( x ( linC ` M ) V )
5112, 49, 50, 2, 3, 26lincsum 42218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( y e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ x e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) ) /\ ( y finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ x finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) ) ) -> ( ( y ( linC ` M ) V ) .+ ( x ( linC ` M ) V ) ) = ( ( y oF ( +g ` (Scalar ` M ) ) x ) ( linC ` M ) V ) )
5248, 25, 35, 51syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( y e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ ( y finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ C = ( y ( linC ` M ) V ) ) ) /\ ( C e. ( Base ` M ) /\ D e. ( Base ` M ) ) ) /\ ( x e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ ( x finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ D = ( x ( linC ` M ) V ) ) ) ) /\ ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) ) -> ( ( y ( linC ` M ) V ) .+ ( x ( linC ` M ) V ) ) = ( ( y oF ( +g ` (Scalar ` M ) ) x ) ( linC ` M ) V ) )
5347, 52eqtrd 2656 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( y e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ ( y finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ C = ( y ( linC ` M ) V ) ) ) /\ ( C e. ( Base ` M ) /\ D e. ( Base ` M ) ) ) /\ ( x e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ ( x finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ D = ( x ( linC ` M ) V ) ) ) ) /\ ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) ) -> ( C .+ D ) = ( ( y oF ( +g ` (Scalar ` M ) ) x ) ( linC ` M ) V ) )
54 breq1 4656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( s = ( y oF ( +g ` (Scalar ` M ) ) x ) -> ( s finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) <-> ( y oF ( +g ` (Scalar ` M ) ) x ) finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) ) )
55 oveq1 6657 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( s = ( y oF ( +g ` (Scalar ` M ) ) x ) -> ( s ( linC ` M ) V ) = ( ( y oF ( +g ` (Scalar ` M ) ) x ) ( linC ` M ) V ) )
5655eqeq2d 2632 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( s = ( y oF ( +g ` (Scalar ` M ) ) x ) -> ( ( C .+ D ) = ( s ( linC ` M ) V ) <-> ( C .+ D ) = ( ( y oF ( +g ` (Scalar ` M ) ) x ) ( linC ` M ) V ) ) )
5754, 56anbi12d 747 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s = ( y oF ( +g ` (Scalar ` M ) ) x ) -> ( ( s finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ ( C .+ D ) = ( s ( linC ` M ) V ) ) <-> ( ( y oF ( +g ` (Scalar ` M ) ) x ) finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ ( C .+ D ) = ( ( y oF ( +g ` (Scalar ` M ) ) x ) ( linC ` M ) V ) ) ) )
5857rspcev 3309 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( y oF ( +g ` (Scalar ` M ) ) x ) e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ ( ( y oF ( +g ` (Scalar ` M ) ) x ) finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ ( C .+ D ) = ( ( y oF ( +g ` (Scalar ` M ) ) x ) ( linC ` M ) V ) ) ) -> E. s e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) ( s finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ ( C .+ D ) = ( s ( linC ` M ) V ) ) )
5928, 37, 53, 58syl12anc 1324 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( y e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ ( y finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ C = ( y ( linC ` M ) V ) ) ) /\ ( C e. ( Base ` M ) /\ D e. ( Base ` M ) ) ) /\ ( x e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ ( x finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ D = ( x ( linC ` M ) V ) ) ) ) /\ ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) ) -> E. s e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) ( s finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ ( C .+ D ) = ( s ( linC ` M ) V ) ) )
6059exp41 638 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ ( y finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ C = ( y ( linC ` M ) V ) ) ) -> ( ( C e. ( Base ` M ) /\ D e. ( Base ` M ) ) -> ( ( x e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ ( x finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ D = ( x ( linC ` M ) V ) ) ) -> ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> E. s e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) ( s finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ ( C .+ D ) = ( s ( linC ` M ) V ) ) ) ) ) )
6160rexlimiva 3028 . . . . . . . . . . . 12 |- ( E. y e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) ( y finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ C = ( y ( linC ` M ) V ) ) -> ( ( C e. ( Base ` M ) /\ D e. ( Base ` M ) ) -> ( ( x e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ ( x finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ D = ( x ( linC ` M ) V ) ) ) -> ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> E. s e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) ( s finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ ( C .+ D ) = ( s ( linC ` M ) V ) ) ) ) ) )
6261expd 452 . . . . . . . . . . 11 |- ( E. y e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) ( y finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ C = ( y ( linC ` M ) V ) ) -> ( C e. ( Base ` M ) -> ( D e. ( Base ` M ) -> ( ( x e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ ( x finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ D = ( x ( linC ` M ) V ) ) ) -> ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> E. s e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) ( s finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ ( C .+ D ) = ( s ( linC ` M ) V ) ) ) ) ) ) )
6362impcom 446 . . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. ( Base ` M ) /\ E. y e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) ( y finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ C = ( y ( linC ` M ) V ) ) ) -> ( D e. ( Base ` M ) -> ( ( x e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ ( x finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ D = ( x ( linC ` M ) V ) ) ) -> ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> E. s e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) ( s finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ ( C .+ D ) = ( s ( linC ` M ) V ) ) ) ) ) )
6463com13 88 . . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ ( x finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ D = ( x ( linC ` M ) V ) ) ) -> ( D e. ( Base ` M ) -> ( ( C e. ( Base ` M ) /\ E. y e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) ( y finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ C = ( y ( linC ` M ) V ) ) ) -> ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> E. s e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) ( s finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ ( C .+ D ) = ( s ( linC ` M ) V ) ) ) ) ) )
6564rexlimiva 3028 . . . . . . . 8 |- ( E. x e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) ( x finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ D = ( x ( linC ` M ) V ) ) -> ( D e. ( Base ` M ) -> ( ( C e. ( Base ` M ) /\ E. y e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) ( y finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ C = ( y ( linC ` M ) V ) ) ) -> ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> E. s e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) ( s finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ ( C .+ D ) = ( s ( linC ` M ) V ) ) ) ) ) )
6665impcom 446 . . . . . . 7 |- ( ( D e. ( Base ` M ) /\ E. x e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) ( x finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ D = ( x ( linC ` M ) V ) ) ) -> ( ( C e. ( Base ` M ) /\ E. y e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) ( y finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ C = ( y ( linC ` M ) V ) ) ) -> ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> E. s e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) ( s finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ ( C .+ D ) = ( s ( linC ` M ) V ) ) ) ) )
6766impcom 446 . . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( Base ` M ) /\ E. y e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) ( y finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ C = ( y ( linC ` M ) V ) ) ) /\ ( D e. ( Base ` M ) /\ E. x e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) ( x finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ D = ( x ( linC ` M ) V ) ) ) ) -> ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> E. s e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) ( s finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ ( C .+ D ) = ( s ( linC ` M ) V ) ) ) )
6867impcom 446 . . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( ( C e. ( Base ` M ) /\ E. y e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) ( y finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ C = ( y ( linC ` M ) V ) ) ) /\ ( D e. ( Base ` M ) /\ E. x e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) ( x finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ D = ( x ( linC ` M ) V ) ) ) ) ) -> E. s e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) ( s finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ ( C .+ D ) = ( s ( linC ` M ) V ) ) )
691, 2, 3lcoval 42201 . . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( ( C .+ D ) e. ( M LinCo V ) <-> ( ( C .+ D ) e. ( Base ` M ) /\ E. s e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) ( s finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ ( C .+ D ) = ( s ( linC ` M ) V ) ) ) ) )
7069adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( ( C e. ( Base ` M ) /\ E. y e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) ( y finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ C = ( y ( linC ` M ) V ) ) ) /\ ( D e. ( Base ` M ) /\ E. x e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) ( x finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ D = ( x ( linC ` M ) V ) ) ) ) ) -> ( ( C .+ D ) e. ( M LinCo V ) <-> ( ( C .+ D ) e. ( Base ` M ) /\ E. s e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) ( s finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ ( C .+ D ) = ( s ( linC ` M ) V ) ) ) ) )
7114, 68, 70mpbir2and 957 . . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( ( C e. ( Base ` M ) /\ E. y e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) ( y finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ C = ( y ( linC ` M ) V ) ) ) /\ ( D e. ( Base ` M ) /\ E. x e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) ( x finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ D = ( x ( linC ` M ) V ) ) ) ) ) -> ( C .+ D ) e. ( M LinCo V ) )
7271ex 450 . . 3 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( ( ( C e. ( Base ` M ) /\ E. y e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) ( y finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ C = ( y ( linC ` M ) V ) ) ) /\ ( D e. ( Base ` M ) /\ E. x e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) ( x finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) /\ D = ( x ( linC ` M ) V ) ) ) ) -> ( C .+ D ) e. ( M LinCo V ) ) )
736, 72sylbid 230 . 2 |- ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( ( C e. ( M LinCo V ) /\ D e. ( M LinCo V ) ) -> ( C .+ D ) e. ( M LinCo V ) ) )
7473imp 445 1 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ ( C e. ( M LinCo V ) /\ D e. ( M LinCo V ) ) ) -> ( C .+ D ) e. ( M LinCo V ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   ^m cmap 7857   finSupp cfsupp 8275   Basecbs 15857   +g cplusg 15941  Scalarcsca 15944   0gc0g 16100   Mndcmnd 17294   Grpcgrp 17422   LModclmod 18863   linC clinc 42193   LinCo clinco 42194
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-lmod 18865  df-linc 42195  df-lco 42196
This theorem is referenced by:  lincsumscmcl  42222
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