Theorem lmmbr 23056

Description: Express the binary relation "sequence F converges to point P " in a metric space. Definition 1.4-1 of [Kreyszig] p. 25. The condition F C_ ( CC X. X ) allows us to use objects more general than sequences when convenient; see the comment in df-lm 21033. (Contributed by NM, 7-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmmbr.2	|- J = ( MetOpen ` D )
lmmbr.3	|- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )

Assertion

Ref	Expression
lmmbr	|- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. x e. RR+ E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> ( P ( ball ` D ) x ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, D   x, F, y   x, P, y   x, X, y   x, J, y   ph, x

Allowed substitution hint:   ph( y)

Proof of Theorem lmmbr

Dummy variable u is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmmbr.3	. . . 4 |- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )
2		lmmbr.2	. . . . 5 |- J = ( MetOpen ` D )
3	2	mopntopon 22244	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
4	1, 3	syl 17	. . 3 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
5	4	lmbr 21062	. 2 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) ) ) )
6		rpxr 11840	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR+ -> x e. RR* )
7	2	blopn 22305	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ x e. RR* ) -> ( P ( ball ` D ) x ) e. J )
8	6, 7	syl3an3 1361	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ x e. RR+ ) -> ( P ( ball ` D ) x ) e. J )
9		blcntr 22218	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ x e. RR+ ) -> P e. ( P ( ball ` D ) x ) )
10		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = ( P ( ball ` D ) x ) -> ( P e. u <-> P e. ( P ( ball ` D ) x ) ) )
11		feq3 6028	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = ( P ( ball ` D ) x ) -> ( ( F |` y ) : y --> u <-> ( F |` y ) : y --> ( P ( ball ` D ) x ) ) )
12	11	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = ( P ( ball ` D ) x ) -> ( E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u <-> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> ( P ( ball ` D ) x ) ) )
13	10, 12	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = ( P ( ball ` D ) x ) -> ( ( P e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) <-> ( P e. ( P ( ball ` D ) x ) -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> ( P ( ball ` D ) x ) ) ) )
14	13	rspcva 3307	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( P ( ball ` D ) x ) e. J /\ A. u e. J ( P e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) ) -> ( P e. ( P ( ball ` D ) x ) -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> ( P ( ball ` D ) x ) ) )
15	14	impancom 456	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( P ( ball ` D ) x ) e. J /\ P e. ( P ( ball ` D ) x ) ) -> ( A. u e. J ( P e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> ( P ( ball ` D ) x ) ) )
16	8, 9, 15	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ x e. RR+ ) -> ( A. u e. J ( P e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> ( P ( ball ` D ) x ) ) )
17	16	3expa 1265	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) /\ x e. RR+ ) -> ( A. u e. J ( P e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> ( P ( ball ` D ) x ) ) )
18	17	adantlrl 756	. . . . . . . 8 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( A. u e. J ( P e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> ( P ( ball ` D ) x ) ) )
19	18	impancom 456	. . . . . . 7 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) ) /\ A. u e. J ( P e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) ) -> ( x e. RR+ -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> ( P ( ball ` D ) x ) ) )
20	19	ralrimiv 2965	. . . . . 6 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) ) /\ A. u e. J ( P e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) ) -> A. x e. RR+ E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> ( P ( ball ` D ) x ) )
21	2	mopni2 22298	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ u e. J /\ P e. u ) -> E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ u )
22		r19.29 3072	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. x e. RR+ E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> ( P ( ball ` D ) x ) /\ E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ u ) -> E. x e. RR+ ( E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> ( P ( ball ` D ) x ) /\ ( P ( ball ` D ) x ) C_ u ) )
23		fss 6056	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F |` y ) : y --> ( P ( ball ` D ) x ) /\ ( P ( ball ` D ) x ) C_ u ) -> ( F |` y ) : y --> u )
24	23	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( P ( ball ` D ) x ) C_ u -> ( ( F |` y ) : y --> ( P ( ball ` D ) x ) -> ( F |` y ) : y --> u ) )
25	24	reximdv 3016	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P ( ball ` D ) x ) C_ u -> ( E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> ( P ( ball ` D ) x ) -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) )
26	25	impcom 446	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> ( P ( ball ` D ) x ) /\ ( P ( ball ` D ) x ) C_ u ) -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u )
27	26	rexlimivw 3029	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. x e. RR+ ( E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> ( P ( ball ` D ) x ) /\ ( P ( ball ` D ) x ) C_ u ) -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u )
28	22, 27	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. x e. RR+ E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> ( P ( ball ` D ) x ) /\ E. x e. RR+ ( P ( ball ` D ) x ) C_ u ) -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u )
29	21, 28	sylan2 491	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. x e. RR+ E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> ( P ( ball ` D ) x ) /\ ( D e. ( *Met ` X ) /\ u e. J /\ P e. u ) ) -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u )
30	29	3exp2 1285	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. RR+ E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> ( P ( ball ` D ) x ) -> ( D e. ( *Met ` X ) -> ( u e. J -> ( P e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) ) ) )
31	30	impcom 446	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A. x e. RR+ E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> ( P ( ball ` D ) x ) ) -> ( u e. J -> ( P e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) ) )
32	31	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) ) /\ A. x e. RR+ E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> ( P ( ball ` D ) x ) ) -> ( u e. J -> ( P e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) ) )
33	32	ralrimiv 2965	. . . . . 6 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) ) /\ A. x e. RR+ E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> ( P ( ball ` D ) x ) ) -> A. u e. J ( P e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) )
34	20, 33	impbida 877	. . . . 5 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) ) -> ( A. u e. J ( P e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) <-> A. x e. RR+ E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> ( P ( ball ` D ) x ) ) )
35	34	pm5.32da 673	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) /\ A. u e. J ( P e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) ) <-> ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) /\ A. x e. RR+ E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> ( P ( ball ` D ) x ) ) ) )
36		df-3an 1039	. . . 4 |- ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) ) <-> ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) /\ A. u e. J ( P e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) ) )
37		df-3an 1039	. . . 4 |- ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. x e. RR+ E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> ( P ( ball ` D ) x ) ) <-> ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) /\ A. x e. RR+ E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> ( P ( ball ` D ) x ) ) )
38	35, 36, 37	3bitr4g 303	. . 3 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) ) <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. x e. RR+ E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> ( P ( ball ` D ) x ) ) ) )
39	1, 38	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> u ) ) <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. x e. RR+ E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> ( P ( ball ` D ) x ) ) ) )
40	5, 39	bitrd 268	1 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. x e. RR+ E. y e. ran ZZ>= ( F |` y ) : y --> ( P ( ball ` D ) x ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   ran crn 5115   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^pm cpm 7858   CCcc 9934   RR*cxr 10073   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   *Metcxmt 19731   ballcbl 19733   MetOpencmopn 19736  TopOnctopon 20715   ~~> tclm 21030

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-lm 21033

This theorem is referenced by:  lmmbr2  23057  lmcau  23111