Theorem lsmmod 18088

Description: The modular law holds for subgroup sum. Similar to part of Theorem 16.9 of [MaedaMaeda] p. 70. (Contributed by NM, 2-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
lsmmod.p	|- .(+) = ( LSSum ` G )

Assertion

Ref	Expression
lsmmod	|- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) /\ S C_ U ) -> ( S .(+) ( T i^i U ) ) = ( ( S .(+) T ) i^i U ) )

Proof of Theorem lsmmod

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1064	. . . 4 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) /\ S C_ U ) -> S e. (SubGrp ` G ) )
2		simpl2 1065	. . . 4 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) /\ S C_ U ) -> T e. (SubGrp ` G ) )
3		inss1 3833	. . . . 5 |- ( T i^i U ) C_ T
4	3	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) /\ S C_ U ) -> ( T i^i U ) C_ T )
5		lsmmod.p	. . . . 5 |- .(+) = ( LSSum ` G )
6	5	lsmless2 18075	. . . 4 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ ( T i^i U ) C_ T ) -> ( S .(+) ( T i^i U ) ) C_ ( S .(+) T ) )
7	1, 2, 4, 6	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) /\ S C_ U ) -> ( S .(+) ( T i^i U ) ) C_ ( S .(+) T ) )
8		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) /\ S C_ U ) -> S C_ U )
9		inss2 3834	. . . . 5 |- ( T i^i U ) C_ U
10	9	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) /\ S C_ U ) -> ( T i^i U ) C_ U )
11		subgrcl 17599	. . . . . . 7 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> G e. Grp )
12		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
13	12	subgacs 17629	. . . . . . 7 |- ( G e. Grp -> (SubGrp ` G ) e. (ACS ` ( Base ` G ) ) )
14		acsmre 16313	. . . . . . 7 |- ( (SubGrp ` G ) e. (ACS ` ( Base ` G ) ) -> (SubGrp ` G ) e. (Moore ` ( Base ` G ) ) )
15	1, 11, 13, 14	4syl 19	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) /\ S C_ U ) -> (SubGrp ` G ) e. (Moore ` ( Base ` G ) ) )
16		simpl3 1066	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) /\ S C_ U ) -> U e. (SubGrp ` G ) )
17		mreincl 16259	. . . . . 6 |- ( ( (SubGrp ` G ) e. (Moore ` ( Base ` G ) ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) -> ( T i^i U ) e. (SubGrp ` G ) )
18	15, 2, 16, 17	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) /\ S C_ U ) -> ( T i^i U ) e. (SubGrp ` G ) )
19	5	lsmlub 18078	. . . . 5 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ ( T i^i U ) e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) -> ( ( S C_ U /\ ( T i^i U ) C_ U ) <-> ( S .(+) ( T i^i U ) ) C_ U ) )
20	1, 18, 16, 19	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) /\ S C_ U ) -> ( ( S C_ U /\ ( T i^i U ) C_ U ) <-> ( S .(+) ( T i^i U ) ) C_ U ) )
21	8, 10, 20	mpbi2and 956	. . 3 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) /\ S C_ U ) -> ( S .(+) ( T i^i U ) ) C_ U )
22	7, 21	ssind 3837	. 2 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) /\ S C_ U ) -> ( S .(+) ( T i^i U ) ) C_ ( ( S .(+) T ) i^i U ) )
23		elin 3796	. . . 4 |- ( x e. ( ( S .(+) T ) i^i U ) <-> ( x e. ( S .(+) T ) /\ x e. U ) )
24		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
25	24, 5	lsmelval 18064	. . . . . . 7 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) ) -> ( x e. ( S .(+) T ) <-> E. y e. S E. z e. T x = ( y ( +g ` G ) z ) ) )
26	1, 2, 25	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) /\ S C_ U ) -> ( x e. ( S .(+) T ) <-> E. y e. S E. z e. T x = ( y ( +g ` G ) z ) ) )
27	1	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) /\ S C_ U ) /\ ( ( y e. S /\ z e. T ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. U ) ) -> S e. (SubGrp ` G ) )
28	18	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) /\ S C_ U ) /\ ( ( y e. S /\ z e. T ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. U ) ) -> ( T i^i U ) e. (SubGrp ` G ) )
29		simprll 802	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) /\ S C_ U ) /\ ( ( y e. S /\ z e. T ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. U ) ) -> y e. S )
30		simprlr 803	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) /\ S C_ U ) /\ ( ( y e. S /\ z e. T ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. U ) ) -> z e. T )
31	27, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) /\ S C_ U ) /\ ( ( y e. S /\ z e. T ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. U ) ) -> G e. Grp )
32	16	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) /\ S C_ U ) /\ ( ( y e. S /\ z e. T ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. U ) ) -> U e. (SubGrp ` G ) )
33	12	subgss 17595	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( U e. (SubGrp ` G ) -> U C_ ( Base ` G ) )
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) /\ S C_ U ) /\ ( ( y e. S /\ z e. T ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. U ) ) -> U C_ ( Base ` G ) )
35	8	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) /\ S C_ U ) /\ ( ( y e. S /\ z e. T ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. U ) ) -> S C_ U )
36	35, 29	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) /\ S C_ U ) /\ ( ( y e. S /\ z e. T ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. U ) ) -> y e. U )
37	34, 36	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) /\ S C_ U ) /\ ( ( y e. S /\ z e. T ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. U ) ) -> y e. ( Base ` G ) )
38		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
39		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
40	12, 24, 38, 39	grplinv 17468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( G e. Grp /\ y e. ( Base ` G ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) y ) = ( 0g ` G ) )
41	31, 37, 40	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) /\ S C_ U ) /\ ( ( y e. S /\ z e. T ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. U ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) y ) = ( 0g ` G ) )
42	41	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) /\ S C_ U ) /\ ( ( y e. S /\ z e. T ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. U ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) y ) ( +g ` G ) z ) = ( ( 0g ` G ) ( +g ` G ) z ) )
43	39	subginvcl 17603	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( U e. (SubGrp ` G ) /\ y e. U ) -> ( ( invg ` G ) ` y ) e. U )
44	32, 36, 43	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) /\ S C_ U ) /\ ( ( y e. S /\ z e. T ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. U ) ) -> ( ( invg ` G ) ` y ) e. U )
45	34, 44	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) /\ S C_ U ) /\ ( ( y e. S /\ z e. T ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. U ) ) -> ( ( invg ` G ) ` y ) e. ( Base ` G ) )
46		simpll2 1101	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) /\ S C_ U ) /\ ( ( y e. S /\ z e. T ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. U ) ) -> T e. (SubGrp ` G ) )
47	12	subgss 17595	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( T e. (SubGrp ` G ) -> T C_ ( Base ` G ) )
48	46, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) /\ S C_ U ) /\ ( ( y e. S /\ z e. T ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. U ) ) -> T C_ ( Base ` G ) )
49	48, 30	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) /\ S C_ U ) /\ ( ( y e. S /\ z e. T ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. U ) ) -> z e. ( Base ` G ) )
50	12, 24	grpass 17431	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( ( invg ` G ) ` y ) e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) /\ z e. ( Base ` G ) ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) y ) ( +g ` G ) z ) = ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) ( y ( +g ` G ) z ) ) )
51	31, 45, 37, 49, 50	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) /\ S C_ U ) /\ ( ( y e. S /\ z e. T ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. U ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) y ) ( +g ` G ) z ) = ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) ( y ( +g ` G ) z ) ) )
52	12, 24, 38	grplid 17452	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G e. Grp /\ z e. ( Base ` G ) ) -> ( ( 0g ` G ) ( +g ` G ) z ) = z )
53	31, 49, 52	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) /\ S C_ U ) /\ ( ( y e. S /\ z e. T ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. U ) ) -> ( ( 0g ` G ) ( +g ` G ) z ) = z )
54	42, 51, 53	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) /\ S C_ U ) /\ ( ( y e. S /\ z e. T ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. U ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) ( y ( +g ` G ) z ) ) = z )
55		simprr 796	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) /\ S C_ U ) /\ ( ( y e. S /\ z e. T ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. U ) ) -> ( y ( +g ` G ) z ) e. U )
56	24	subgcl 17604	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U e. (SubGrp ` G ) /\ ( ( invg ` G ) ` y ) e. U /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. U ) -> ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) ( y ( +g ` G ) z ) ) e. U )
57	32, 44, 55, 56	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) /\ S C_ U ) /\ ( ( y e. S /\ z e. T ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. U ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` y ) ( +g ` G ) ( y ( +g ` G ) z ) ) e. U )
58	54, 57	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) /\ S C_ U ) /\ ( ( y e. S /\ z e. T ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. U ) ) -> z e. U )
59	30, 58	elind 3798	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) /\ S C_ U ) /\ ( ( y e. S /\ z e. T ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. U ) ) -> z e. ( T i^i U ) )
60	24, 5	lsmelvali 18065	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ ( T i^i U ) e. (SubGrp ` G ) ) /\ ( y e. S /\ z e. ( T i^i U ) ) ) -> ( y ( +g ` G ) z ) e. ( S .(+) ( T i^i U ) ) )
61	27, 28, 29, 59, 60	syl22anc 1327	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) /\ S C_ U ) /\ ( ( y e. S /\ z e. T ) /\ ( y ( +g ` G ) z ) e. U ) ) -> ( y ( +g ` G ) z ) e. ( S .(+) ( T i^i U ) ) )
62	61	expr 643	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) /\ S C_ U ) /\ ( y e. S /\ z e. T ) ) -> ( ( y ( +g ` G ) z ) e. U -> ( y ( +g ` G ) z ) e. ( S .(+) ( T i^i U ) ) ) )
63		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( y ( +g ` G ) z ) -> ( x e. U <-> ( y ( +g ` G ) z ) e. U ) )
64		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( y ( +g ` G ) z ) -> ( x e. ( S .(+) ( T i^i U ) ) <-> ( y ( +g ` G ) z ) e. ( S .(+) ( T i^i U ) ) ) )
65	63, 64	imbi12d 334	. . . . . . . 8 |- ( x = ( y ( +g ` G ) z ) -> ( ( x e. U -> x e. ( S .(+) ( T i^i U ) ) ) <-> ( ( y ( +g ` G ) z ) e. U -> ( y ( +g ` G ) z ) e. ( S .(+) ( T i^i U ) ) ) ) )
66	62, 65	syl5ibrcom 237	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) /\ S C_ U ) /\ ( y e. S /\ z e. T ) ) -> ( x = ( y ( +g ` G ) z ) -> ( x e. U -> x e. ( S .(+) ( T i^i U ) ) ) ) )
67	66	rexlimdvva 3038	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) /\ S C_ U ) -> ( E. y e. S E. z e. T x = ( y ( +g ` G ) z ) -> ( x e. U -> x e. ( S .(+) ( T i^i U ) ) ) ) )
68	26, 67	sylbid 230	. . . . 5 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) /\ S C_ U ) -> ( x e. ( S .(+) T ) -> ( x e. U -> x e. ( S .(+) ( T i^i U ) ) ) ) )
69	68	impd 447	. . . 4 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) /\ S C_ U ) -> ( ( x e. ( S .(+) T ) /\ x e. U ) -> x e. ( S .(+) ( T i^i U ) ) ) )
70	23, 69	syl5bi 232	. . 3 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) /\ S C_ U ) -> ( x e. ( ( S .(+) T ) i^i U ) -> x e. ( S .(+) ( T i^i U ) ) ) )
71	70	ssrdv 3609	. 2 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) /\ S C_ U ) -> ( ( S .(+) T ) i^i U ) C_ ( S .(+) ( T i^i U ) ) )
72	22, 71	eqssd 3620	1 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) /\ U e. (SubGrp ` G ) ) /\ S C_ U ) -> ( S .(+) ( T i^i U ) ) = ( ( S .(+) T ) i^i U ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   0gc0g 16100  Moorecmre 16242  ACScacs 16245   Grpcgrp 17422   invgcminusg 17423  SubGrpcsubg 17588   LSSumclsm 18049

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-subg 17591  df-lsm 18051

This theorem is referenced by:  lsmmod2  18089  lcvexchlem2  34322  dihmeetlem9N  36604