Theorem lspprat 19153

Description: A proper subspace of the span of a pair of vectors is the span of a singleton (an atom) or the zero subspace (if z is zero). Proof suggested by Mario Carneiro, 28-Aug-2014. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspprat.v	|- V = ( Base ` W )
lspprat.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lspprat.n	|- N = ( LSpan ` W )
lspprat.w	|- ( ph -> W e. LVec )
lspprat.u	|- ( ph -> U e. S )
lspprat.x	|- ( ph -> X e. V )
lspprat.y	|- ( ph -> Y e. V )
lspprat.p	|- ( ph -> U C. ( N ` { X , Y } ) )

Assertion

Ref	Expression
lspprat	|- ( ph -> E. z e. V U = ( N ` { z } ) )

Distinct variable groups:   z, N   z, U   z, V   z, W   ph, z

Allowed substitution hints:   S( z)   X( z)   Y( z)

Proof of Theorem lspprat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssdif0 3942	. . 3 |- ( U C_ { ( 0g ` W ) } <-> ( U \ { ( 0g ` W ) } ) = (/) )
2		lspprat.w	. . . . . . . 8 |- ( ph -> W e. LVec )
3		lveclmod 19106	. . . . . . . 8 |- ( W e. LVec -> W e. LMod )
4	2, 3	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> W e. LMod )
5		lspprat.v	. . . . . . . 8 |- V = ( Base ` W )
6		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( 0g ` W ) = ( 0g ` W )
7	5, 6	lmod0vcl 18892	. . . . . . 7 |- ( W e. LMod -> ( 0g ` W ) e. V )
8	4, 7	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0g ` W ) e. V )
9	8	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ U C_ { ( 0g ` W ) } ) -> ( 0g ` W ) e. V )
10		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ U C_ { ( 0g ` W ) } ) -> U C_ { ( 0g ` W ) } )
11		lspprat.u	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> U e. S )
12		lspprat.s	. . . . . . . . . 10 |- S = ( LSubSp ` W )
13	6, 12	lss0ss 18949	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> { ( 0g ` W ) } C_ U )
14	4, 11, 13	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { ( 0g ` W ) } C_ U )
15	14	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ U C_ { ( 0g ` W ) } ) -> { ( 0g ` W ) } C_ U )
16	10, 15	eqssd 3620	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ U C_ { ( 0g ` W ) } ) -> U = { ( 0g ` W ) } )
17		lspprat.n	. . . . . . . . 9 |- N = ( LSpan ` W )
18	6, 17	lspsn0 19008	. . . . . . . 8 |- ( W e. LMod -> ( N ` { ( 0g ` W ) } ) = { ( 0g ` W ) } )
19	4, 18	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( N ` { ( 0g ` W ) } ) = { ( 0g ` W ) } )
20	19	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ U C_ { ( 0g ` W ) } ) -> ( N ` { ( 0g ` W ) } ) = { ( 0g ` W ) } )
21	16, 20	eqtr4d 2659	. . . . 5 |- ( ( ph /\ U C_ { ( 0g ` W ) } ) -> U = ( N ` { ( 0g ` W ) } ) )
22		sneq 4187	. . . . . . . 8 |- ( z = ( 0g ` W ) -> { z } = { ( 0g ` W ) } )
23	22	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( z = ( 0g ` W ) -> ( N ` { z } ) = ( N ` { ( 0g ` W ) } ) )
24	23	eqeq2d 2632	. . . . . 6 |- ( z = ( 0g ` W ) -> ( U = ( N ` { z } ) <-> U = ( N ` { ( 0g ` W ) } ) ) )
25	24	rspcev 3309	. . . . 5 |- ( ( ( 0g ` W ) e. V /\ U = ( N ` { ( 0g ` W ) } ) ) -> E. z e. V U = ( N ` { z } ) )
26	9, 21, 25	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ph /\ U C_ { ( 0g ` W ) } ) -> E. z e. V U = ( N ` { z } ) )
27	26	ex 450	. . 3 |- ( ph -> ( U C_ { ( 0g ` W ) } -> E. z e. V U = ( N ` { z } ) ) )
28	1, 27	syl5bir 233	. 2 |- ( ph -> ( ( U \ { ( 0g ` W ) } ) = (/) -> E. z e. V U = ( N ` { z } ) ) )
29	5, 12	lssss 18937	. . . . . . . 8 |- ( U e. S -> U C_ V )
30	11, 29	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> U C_ V )
31	30	ssdifssd 3748	. . . . . 6 |- ( ph -> ( U \ { ( 0g ` W ) } ) C_ V )
32	31	sseld 3602	. . . . 5 |- ( ph -> ( z e. ( U \ { ( 0g ` W ) } ) -> z e. V ) )
33		lspprat.x	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. V )
34		lspprat.y	. . . . . 6 |- ( ph -> Y e. V )
35		lspprat.p	. . . . . 6 |- ( ph -> U C. ( N ` { X , Y } ) )
36	5, 12, 17, 2, 11, 33, 34, 35, 6	lsppratlem6 19152	. . . . 5 |- ( ph -> ( z e. ( U \ { ( 0g ` W ) } ) -> U = ( N ` { z } ) ) )
37	32, 36	jcad 555	. . . 4 |- ( ph -> ( z e. ( U \ { ( 0g ` W ) } ) -> ( z e. V /\ U = ( N ` { z } ) ) ) )
38	37	eximdv 1846	. . 3 |- ( ph -> ( E. z z e. ( U \ { ( 0g ` W ) } ) -> E. z ( z e. V /\ U = ( N ` { z } ) ) ) )
39		n0 3931	. . 3 |- ( ( U \ { ( 0g ` W ) } ) =/= (/) <-> E. z z e. ( U \ { ( 0g ` W ) } ) )
40		df-rex 2918	. . 3 |- ( E. z e. V U = ( N ` { z } ) <-> E. z ( z e. V /\ U = ( N ` { z } ) ) )
41	38, 39, 40	3imtr4g 285	. 2 |- ( ph -> ( ( U \ { ( 0g ` W ) } ) =/= (/) -> E. z e. V U = ( N ` { z } ) ) )
42	28, 41	pm2.61dne 2880	1 |- ( ph -> E. z e. V U = ( N ` { z } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   \ cdif 3571   C_ wss 3574   C. wpss 3575   (/)c0 3915   {csn 4177   {cpr 4179   ` cfv 5888   Basecbs 15857   0gc0g 16100   LModclmod 18863   LSubSpclss 18932   LSpanclspn 18971   LVecclvec 19102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-drng 18749  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-lvec 19103

This theorem is referenced by:  dvh3dim3N  36738