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Theorem dvh3dim3N 36738
Description: There is a vector that is outside of 2 spans. TODO: decide to use either this or dvh3dim2 36737 everywhere. If this one is needed, make dvh3dim2 36737 into a lemma. (Contributed by NM, 21-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dvh3dim.h |- H = ( LHyp ` K )
dvh3dim.u |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
dvh3dim.v |- V = ( Base ` U )
dvh3dim.n |- N = ( LSpan ` U )
dvh3dim.k |- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
dvh3dim.x |- ( ph -> X e. V )
dvh3dim.y |- ( ph -> Y e. V )
dvh3dim2.z |- ( ph -> Z e. V )
dvh3dim3.t |- ( ph -> T e. V )
Assertion
Ref Expression
dvh3dim3N |- ( ph -> E. z e. V ( -. z e. ( N ` { X , Y } ) /\ -. z e. ( N ` { Z , T } ) ) )
Distinct variable groups:   z, N   z, U   z, V   z, X   z, Y   z, Z   ph, z   z, T
Allowed substitution hints:   H( z)   K( z)   W( z)
Proof of Theorem dvh3dim3N
Dummy variable w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2622 . . . . 5 |- ( LSubSp ` U ) = ( LSubSp ` U )
2 dvh3dim.n . . . . 5 |- N = ( LSpan ` U )
3 dvh3dim.h . . . . . . 7 |- H = ( LHyp ` K )
4 dvh3dim.u . . . . . . 7 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
5 dvh3dim.k . . . . . . 7 |- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
63, 4, 5dvhlmod 36399 . . . . . 6 |- ( ph -> U e. LMod )
76adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ph /\ Y e. ( N ` { Z , T } ) ) -> U e. LMod )
8 dvh3dim.v . . . . . . 7 |- V = ( Base ` U )
9 dvh3dim2.z . . . . . . 7 |- ( ph -> Z e. V )
10 dvh3dim3.t . . . . . . 7 |- ( ph -> T e. V )
118, 1, 2, 6, 9, 10lspprcl 18978 . . . . . 6 |- ( ph -> ( N ` { Z , T } ) e. ( LSubSp ` U ) )
1211adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ph /\ Y e. ( N ` { Z , T } ) ) -> ( N ` { Z , T } ) e. ( LSubSp ` U ) )
13 simpr 477 . . . . 5 |- ( ( ph /\ Y e. ( N ` { Z , T } ) ) -> Y e. ( N ` { Z , T } ) )
148, 2, 6, 9, 10lspprid2 18998 . . . . . 6 |- ( ph -> T e. ( N ` { Z , T } ) )
1514adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ph /\ Y e. ( N ` { Z , T } ) ) -> T e. ( N ` { Z , T } ) )
161, 2, 7, 12, 13, 15lspprss 18992 . . . 4 |- ( ( ph /\ Y e. ( N ` { Z , T } ) ) -> ( N ` { Y , T } ) C_ ( N ` { Z , T } ) )
17 sspss 3706 . . . 4 |- ( ( N ` { Y , T } ) C_ ( N ` { Z , T } ) <-> ( ( N ` { Y , T } ) C. ( N ` { Z , T } ) \/ ( N ` { Y , T } ) = ( N ` { Z , T } ) ) )
1816, 17sylib 208 . . 3 |- ( ( ph /\ Y e. ( N ` { Z , T } ) ) -> ( ( N ` { Y , T } ) C. ( N ` { Z , T } ) \/ ( N ` { Y , T } ) = ( N ` { Z , T } ) ) )
193, 4, 5dvhlvec 36398 . . . . . . 7 |- ( ph -> U e. LVec )
2019adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( N ` { Y , T } ) C. ( N ` { Z , T } ) ) -> U e. LVec )
21 dvh3dim.y . . . . . . . 8 |- ( ph -> Y e. V )
228, 1, 2, 6, 21, 10lspprcl 18978 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( N ` { Y , T } ) e. ( LSubSp ` U ) )
2322adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( N ` { Y , T } ) C. ( N ` { Z , T } ) ) -> ( N ` { Y , T } ) e. ( LSubSp ` U ) )
249adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( N ` { Y , T } ) C. ( N ` { Z , T } ) ) -> Z e. V )
2510adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( N ` { Y , T } ) C. ( N ` { Z , T } ) ) -> T e. V )
26 simpr 477 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( N ` { Y , T } ) C. ( N ` { Z , T } ) ) -> ( N ` { Y , T } ) C. ( N ` { Z , T } ) )
278, 1, 2, 20, 23, 24, 25, 26lspprat 19153 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( N ` { Y , T } ) C. ( N ` { Z , T } ) ) -> E. w e. V ( N ` { Y , T } ) = ( N ` { w } ) )
2853ad2ant1 1082 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ w e. V /\ ( N ` { Y , T } ) = ( N ` { w } ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
29 simp2 1062 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ w e. V /\ ( N ` { Y , T } ) = ( N ` { w } ) ) -> w e. V )
30 dvh3dim.x . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X e. V )
31303ad2ant1 1082 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ w e. V /\ ( N ` { Y , T } ) = ( N ` { w } ) ) -> X e. V )
3293ad2ant1 1082 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ w e. V /\ ( N ` { Y , T } ) = ( N ` { w } ) ) -> Z e. V )
333, 4, 8, 2, 28, 29, 31, 32dvh3dim2 36737 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ w e. V /\ ( N ` { Y , T } ) = ( N ` { w } ) ) -> E. z e. V ( -. z e. ( N ` { w , X } ) /\ -. z e. ( N ` { w , Z } ) ) )
3463ad2ant1 1082 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ w e. V /\ ( N ` { Y , T } ) = ( N ` { w } ) ) -> U e. LMod )
351lsssssubg 18958 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( U e. LMod -> ( LSubSp ` U ) C_ (SubGrp ` U ) )
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ w e. V /\ ( N ` { Y , T } ) = ( N ` { w } ) ) -> ( LSubSp ` U ) C_ (SubGrp ` U ) )
378, 1, 2lspsncl 18977 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( U e. LMod /\ X e. V ) -> ( N ` { X } ) e. ( LSubSp ` U ) )
386, 30, 37syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( N ` { X } ) e. ( LSubSp ` U ) )
39383ad2ant1 1082 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ w e. V /\ ( N ` { Y , T } ) = ( N ` { w } ) ) -> ( N ` { X } ) e. ( LSubSp ` U ) )
4036, 39sseldd 3604 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ w e. V /\ ( N ` { Y , T } ) = ( N ` { w } ) ) -> ( N ` { X } ) e. (SubGrp ` U ) )
418, 1, 2lspsncl 18977 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( U e. LMod /\ w e. V ) -> ( N ` { w } ) e. ( LSubSp ` U ) )
4234, 29, 41syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ w e. V /\ ( N ` { Y , T } ) = ( N ` { w } ) ) -> ( N ` { w } ) e. ( LSubSp ` U ) )
4336, 42sseldd 3604 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ w e. V /\ ( N ` { Y , T } ) = ( N ` { w } ) ) -> ( N ` { w } ) e. (SubGrp ` U ) )
44 prssi 4353 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Y e. V /\ T e. V ) -> { Y , T } C_ V )
4521, 10, 44syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> { Y , T } C_ V )
46 snsspr1 4345 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- { Y } C_ { Y , T }
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> { Y } C_ { Y , T } )
488, 2lspss 18984 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( U e. LMod /\ { Y , T } C_ V /\ { Y } C_ { Y , T } ) -> ( N ` { Y } ) C_ ( N ` { Y , T } ) )
496, 45, 47, 48syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( N ` { Y } ) C_ ( N ` { Y , T } ) )
50493ad2ant1 1082 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ w e. V /\ ( N ` { Y , T } ) = ( N ` { w } ) ) -> ( N ` { Y } ) C_ ( N ` { Y , T } ) )
51 simp3 1063 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ w e. V /\ ( N ` { Y , T } ) = ( N ` { w } ) ) -> ( N ` { Y , T } ) = ( N ` { w } ) )
5250, 51sseqtrd 3641 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ w e. V /\ ( N ` { Y , T } ) = ( N ` { w } ) ) -> ( N ` { Y } ) C_ ( N ` { w } ) )
53 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( LSSum ` U ) = ( LSSum ` U )
5453lsmless2 18075 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N ` { X } ) e. (SubGrp ` U ) /\ ( N ` { w } ) e. (SubGrp ` U ) /\ ( N ` { Y } ) C_ ( N ` { w } ) ) -> ( ( N ` { X } ) ( LSSum ` U ) ( N ` { Y } ) ) C_ ( ( N ` { X } ) ( LSSum ` U ) ( N ` { w } ) ) )
5540, 43, 52, 54syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ w e. V /\ ( N ` { Y , T } ) = ( N ` { w } ) ) -> ( ( N ` { X } ) ( LSSum ` U ) ( N ` { Y } ) ) C_ ( ( N ` { X } ) ( LSSum ` U ) ( N ` { w } ) ) )
568, 2, 53, 6, 30, 21lsmpr 19089 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( N ` { X , Y } ) = ( ( N ` { X } ) ( LSSum ` U ) ( N ` { Y } ) ) )
57563ad2ant1 1082 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ w e. V /\ ( N ` { Y , T } ) = ( N ` { w } ) ) -> ( N ` { X , Y } ) = ( ( N ` { X } ) ( LSSum ` U ) ( N ` { Y } ) ) )
58 prcom 4267 . . . . . . . . . . . . . 14 |- { w , X } = { X , w }
5958fveq2i 6194 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( N ` { w , X } ) = ( N ` { X , w } )
608, 2, 53, 34, 31, 29lsmpr 19089 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ w e. V /\ ( N ` { Y , T } ) = ( N ` { w } ) ) -> ( N ` { X , w } ) = ( ( N ` { X } ) ( LSSum ` U ) ( N ` { w } ) ) )
6159, 60syl5eq 2668 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ w e. V /\ ( N ` { Y , T } ) = ( N ` { w } ) ) -> ( N ` { w , X } ) = ( ( N ` { X } ) ( LSSum ` U ) ( N ` { w } ) ) )
6255, 57, 613sstr4d 3648 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ w e. V /\ ( N ` { Y , T } ) = ( N ` { w } ) ) -> ( N ` { X , Y } ) C_ ( N ` { w , X } ) )
6362ssneld 3605 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ w e. V /\ ( N ` { Y , T } ) = ( N ` { w } ) ) -> ( -. z e. ( N ` { w , X } ) -> -. z e. ( N ` { X , Y } ) ) )
648, 1, 2lspsncl 18977 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( U e. LMod /\ Z e. V ) -> ( N ` { Z } ) e. ( LSubSp ` U ) )
656, 9, 64syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( N ` { Z } ) e. ( LSubSp ` U ) )
66653ad2ant1 1082 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ w e. V /\ ( N ` { Y , T } ) = ( N ` { w } ) ) -> ( N ` { Z } ) e. ( LSubSp ` U ) )
6736, 66sseldd 3604 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ w e. V /\ ( N ` { Y , T } ) = ( N ` { w } ) ) -> ( N ` { Z } ) e. (SubGrp ` U ) )
68 snsspr2 4346 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- { T } C_ { Y , T }
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> { T } C_ { Y , T } )
708, 2lspss 18984 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( U e. LMod /\ { Y , T } C_ V /\ { T } C_ { Y , T } ) -> ( N ` { T } ) C_ ( N ` { Y , T } ) )
716, 45, 69, 70syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( N ` { T } ) C_ ( N ` { Y , T } ) )
72713ad2ant1 1082 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ w e. V /\ ( N ` { Y , T } ) = ( N ` { w } ) ) -> ( N ` { T } ) C_ ( N ` { Y , T } ) )
7372, 51sseqtrd 3641 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ w e. V /\ ( N ` { Y , T } ) = ( N ` { w } ) ) -> ( N ` { T } ) C_ ( N ` { w } ) )
7453lsmless2 18075 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N ` { Z } ) e. (SubGrp ` U ) /\ ( N ` { w } ) e. (SubGrp ` U ) /\ ( N ` { T } ) C_ ( N ` { w } ) ) -> ( ( N ` { Z } ) ( LSSum ` U ) ( N ` { T } ) ) C_ ( ( N ` { Z } ) ( LSSum ` U ) ( N ` { w } ) ) )
7567, 43, 73, 74syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ w e. V /\ ( N ` { Y , T } ) = ( N ` { w } ) ) -> ( ( N ` { Z } ) ( LSSum ` U ) ( N ` { T } ) ) C_ ( ( N ` { Z } ) ( LSSum ` U ) ( N ` { w } ) ) )
768, 2, 53, 6, 9, 10lsmpr 19089 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( N ` { Z , T } ) = ( ( N ` { Z } ) ( LSSum ` U ) ( N ` { T } ) ) )
77763ad2ant1 1082 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ w e. V /\ ( N ` { Y , T } ) = ( N ` { w } ) ) -> ( N ` { Z , T } ) = ( ( N ` { Z } ) ( LSSum ` U ) ( N ` { T } ) ) )
78 prcom 4267 . . . . . . . . . . . . . 14 |- { w , Z } = { Z , w }
7978fveq2i 6194 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( N ` { w , Z } ) = ( N ` { Z , w } )
808, 2, 53, 34, 32, 29lsmpr 19089 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ w e. V /\ ( N ` { Y , T } ) = ( N ` { w } ) ) -> ( N ` { Z , w } ) = ( ( N ` { Z } ) ( LSSum ` U ) ( N ` { w } ) ) )
8179, 80syl5eq 2668 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ w e. V /\ ( N ` { Y , T } ) = ( N ` { w } ) ) -> ( N ` { w , Z } ) = ( ( N ` { Z } ) ( LSSum ` U ) ( N ` { w } ) ) )
8275, 77, 813sstr4d 3648 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ w e. V /\ ( N ` { Y , T } ) = ( N ` { w } ) ) -> ( N ` { Z , T } ) C_ ( N ` { w , Z } ) )
8382ssneld 3605 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ w e. V /\ ( N ` { Y , T } ) = ( N ` { w } ) ) -> ( -. z e. ( N ` { w , Z } ) -> -. z e. ( N ` { Z , T } ) ) )
8463, 83anim12d 586 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ w e. V /\ ( N ` { Y , T } ) = ( N ` { w } ) ) -> ( ( -. z e. ( N ` { w , X } ) /\ -. z e. ( N ` { w , Z } ) ) -> ( -. z e. ( N ` { X , Y } ) /\ -. z e. ( N ` { Z , T } ) ) ) )
8584reximdv 3016 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ w e. V /\ ( N ` { Y , T } ) = ( N ` { w } ) ) -> ( E. z e. V ( -. z e. ( N ` { w , X } ) /\ -. z e. ( N ` { w , Z } ) ) -> E. z e. V ( -. z e. ( N ` { X , Y } ) /\ -. z e. ( N ` { Z , T } ) ) ) )
8633, 85mpd 15 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ w e. V /\ ( N ` { Y , T } ) = ( N ` { w } ) ) -> E. z e. V ( -. z e. ( N ` { X , Y } ) /\ -. z e. ( N ` { Z , T } ) ) )
8786rexlimdv3a 3033 . . . . . 6 |- ( ph -> ( E. w e. V ( N ` { Y , T } ) = ( N ` { w } ) -> E. z e. V ( -. z e. ( N ` { X , Y } ) /\ -. z e. ( N ` { Z , T } ) ) ) )
8887adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( N ` { Y , T } ) C. ( N ` { Z , T } ) ) -> ( E. w e. V ( N ` { Y , T } ) = ( N ` { w } ) -> E. z e. V ( -. z e. ( N ` { X , Y } ) /\ -. z e. ( N ` { Z , T } ) ) ) )
8927, 88mpd 15 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( N ` { Y , T } ) C. ( N ` { Z , T } ) ) -> E. z e. V ( -. z e. ( N ` { X , Y } ) /\ -. z e. ( N ` { Z , T } ) ) )
903, 4, 8, 2, 5, 21, 30, 10dvh3dim2 36737 . . . . . 6 |- ( ph -> E. z e. V ( -. z e. ( N ` { Y , X } ) /\ -. z e. ( N ` { Y , T } ) ) )
9190adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( N ` { Y , T } ) = ( N ` { Z , T } ) ) -> E. z e. V ( -. z e. ( N ` { Y , X } ) /\ -. z e. ( N ` { Y , T } ) ) )
92 simpr 477 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( N ` { Y , T } ) = ( N ` { Z , T } ) ) -> ( N ` { Y , T } ) = ( N ` { Z , T } ) )
93 prcom 4267 . . . . . . . . . . . 12 |- { Y , X } = { X , Y }
9493fveq2i 6194 . . . . . . . . . . 11 |- ( N ` { Y , X } ) = ( N ` { X , Y } )
9594eleq2i 2693 . . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( N ` { Y , X } ) <-> z e. ( N ` { X , Y } ) )
9695notbii 310 . . . . . . . . 9 |- ( -. z e. ( N ` { Y , X } ) <-> -. z e. ( N ` { X , Y } ) )
9796a1i 11 . . . . . . . 8 |- ( ( N ` { Y , T } ) = ( N ` { Z , T } ) -> ( -. z e. ( N ` { Y , X } ) <-> -. z e. ( N ` { X , Y } ) ) )
98 eleq2 2690 . . . . . . . . 9 |- ( ( N ` { Y , T } ) = ( N ` { Z , T } ) -> ( z e. ( N ` { Y , T } ) <-> z e. ( N ` { Z , T } ) ) )
9998notbid 308 . . . . . . . 8 |- ( ( N ` { Y , T } ) = ( N ` { Z , T } ) -> ( -. z e. ( N ` { Y , T } ) <-> -. z e. ( N ` { Z , T } ) ) )
10097, 99anbi12d 747 . . . . . . 7 |- ( ( N ` { Y , T } ) = ( N ` { Z , T } ) -> ( ( -. z e. ( N ` { Y , X } ) /\ -. z e. ( N ` { Y , T } ) ) <-> ( -. z e. ( N ` { X , Y } ) /\ -. z e. ( N ` { Z , T } ) ) ) )
10192, 100syl 17 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( N ` { Y , T } ) = ( N ` { Z , T } ) ) -> ( ( -. z e. ( N ` { Y , X } ) /\ -. z e. ( N ` { Y , T } ) ) <-> ( -. z e. ( N ` { X , Y } ) /\ -. z e. ( N ` { Z , T } ) ) ) )
102101rexbidv 3052 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( N ` { Y , T } ) = ( N ` { Z , T } ) ) -> ( E. z e. V ( -. z e. ( N ` { Y , X } ) /\ -. z e. ( N ` { Y , T } ) ) <-> E. z e. V ( -. z e. ( N ` { X , Y } ) /\ -. z e. ( N ` { Z , T } ) ) ) )
10391, 102mpbid 222 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( N ` { Y , T } ) = ( N ` { Z , T } ) ) -> E. z e. V ( -. z e. ( N ` { X , Y } ) /\ -. z e. ( N ` { Z , T } ) ) )
10489, 103jaodan 826 . . 3 |- ( ( ph /\ ( ( N ` { Y , T } ) C. ( N ` { Z , T } ) \/ ( N ` { Y , T } ) = ( N ` { Z , T } ) ) ) -> E. z e. V ( -. z e. ( N ` { X , Y } ) /\ -. z e. ( N ` { Z , T } ) ) )
10518, 104syldan 487 . 2 |- ( ( ph /\ Y e. ( N ` { Z , T } ) ) -> E. z e. V ( -. z e. ( N ` { X , Y } ) /\ -. z e. ( N ` { Z , T } ) ) )
1063, 4, 8, 2, 5, 21, 30, 10dvh3dim2 36737 . . . 4 |- ( ph -> E. w e. V ( -. w e. ( N ` { Y , X } ) /\ -. w e. ( N ` { Y , T } ) ) )
107106adantr 481 . . 3 |- ( ( ph /\ -. Y e. ( N ` { Z , T } ) ) -> E. w e. V ( -. w e. ( N ` { Y , X } ) /\ -. w e. ( N ` { Y , T } ) ) )
108 simpl1l 1112 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ -. Y e. ( N ` { Z , T } ) ) /\ w e. V /\ ( -. w e. ( N ` { Y , X } ) /\ -. w e. ( N ` { Y , T } ) ) ) /\ w e. ( N ` { Z , T } ) ) -> ph )
109108, 6syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ -. Y e. ( N ` { Z , T } ) ) /\ w e. V /\ ( -. w e. ( N ` { Y , X } ) /\ -. w e. ( N ` { Y , T } ) ) ) /\ w e. ( N ` { Z , T } ) ) -> U e. LMod )
110 simpl2 1065 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ -. Y e. ( N ` { Z , T } ) ) /\ w e. V /\ ( -. w e. ( N ` { Y , X } ) /\ -. w e. ( N ` { Y , T } ) ) ) /\ w e. ( N ` { Z , T } ) ) -> w e. V )
111108, 21syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ -. Y e. ( N ` { Z , T } ) ) /\ w e. V /\ ( -. w e. ( N ` { Y , X } ) /\ -. w e. ( N ` { Y , T } ) ) ) /\ w e. ( N ` { Z , T } ) ) -> Y e. V )
112 eqid 2622 . . . . . . . 8 |- ( +g ` U ) = ( +g ` U )
1138, 112lmodvacl 18877 . . . . . . 7 |- ( ( U e. LMod /\ w e. V /\ Y e. V ) -> ( w ( +g ` U ) Y ) e. V )
114109, 110, 111, 113syl3anc 1326 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ -. Y e. ( N ` { Z , T } ) ) /\ w e. V /\ ( -. w e. ( N ` { Y , X } ) /\ -. w e. ( N ` { Y , T } ) ) ) /\ w e. ( N ` { Z , T } ) ) -> ( w ( +g ` U ) Y ) e. V )
1158, 1, 2, 6, 30, 21lspprcl 18978 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( N ` { X , Y } ) e. ( LSubSp ` U ) )
116108, 115syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ -. Y e. ( N ` { Z , T } ) ) /\ w e. V /\ ( -. w e. ( N ` { Y , X } ) /\ -. w e. ( N ` { Y , T } ) ) ) /\ w e. ( N ` { Z , T } ) ) -> ( N ` { X , Y } ) e. ( LSubSp ` U ) )
1178, 2, 6, 30, 21lspprid2 18998 . . . . . . . 8 |- ( ph -> Y e. ( N ` { X , Y } ) )
118108, 117syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ -. Y e. ( N ` { Z , T } ) ) /\ w e. V /\ ( -. w e. ( N ` { Y , X } ) /\ -. w e. ( N ` { Y , T } ) ) ) /\ w e. ( N ` { Z , T } ) ) -> Y e. ( N ` { X , Y } ) )
119 simpl3l 1116 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ -. Y e. ( N ` { Z , T } ) ) /\ w e. V /\ ( -. w e. ( N ` { Y , X } ) /\ -. w e. ( N ` { Y , T } ) ) ) /\ w e. ( N ` { Z , T } ) ) -> -. w e. ( N ` { Y , X } ) )
12094eleq2i 2693 . . . . . . . 8 |- ( w e. ( N ` { Y , X } ) <-> w e. ( N ` { X , Y } ) )
121119, 120sylnib 318 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ -. Y e. ( N ` { Z , T } ) ) /\ w e. V /\ ( -. w e. ( N ` { Y , X } ) /\ -. w e. ( N ` { Y , T } ) ) ) /\ w e. ( N ` { Z , T } ) ) -> -. w e. ( N ` { X , Y } ) )
1228, 112, 1, 109, 116, 118, 110, 121lssvancl2 18946 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ -. Y e. ( N ` { Z , T } ) ) /\ w e. V /\ ( -. w e. ( N ` { Y , X } ) /\ -. w e. ( N ` { Y , T } ) ) ) /\ w e. ( N ` { Z , T } ) ) -> -. ( w ( +g ` U ) Y ) e. ( N ` { X , Y } ) )
123108, 11syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ -. Y e. ( N ` { Z , T } ) ) /\ w e. V /\ ( -. w e. ( N ` { Y , X } ) /\ -. w e. ( N ` { Y , T } ) ) ) /\ w e. ( N ` { Z , T } ) ) -> ( N ` { Z , T } ) e. ( LSubSp ` U ) )
124 simpr 477 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ -. Y e. ( N ` { Z , T } ) ) /\ w e. V /\ ( -. w e. ( N ` { Y , X } ) /\ -. w e. ( N ` { Y , T } ) ) ) /\ w e. ( N ` { Z , T } ) ) -> w e. ( N ` { Z , T } ) )
125 simpl1r 1113 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ -. Y e. ( N ` { Z , T } ) ) /\ w e. V /\ ( -. w e. ( N ` { Y , X } ) /\ -. w e. ( N ` { Y , T } ) ) ) /\ w e. ( N ` { Z , T } ) ) -> -. Y e. ( N ` { Z , T } ) )
1268, 112, 1, 109, 123, 124, 111, 125lssvancl1 18945 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ -. Y e. ( N ` { Z , T } ) ) /\ w e. V /\ ( -. w e. ( N ` { Y , X } ) /\ -. w e. ( N ` { Y , T } ) ) ) /\ w e. ( N ` { Z , T } ) ) -> -. ( w ( +g ` U ) Y ) e. ( N ` { Z , T } ) )
127 eleq1 2689 . . . . . . . . 9 |- ( z = ( w ( +g ` U ) Y ) -> ( z e. ( N ` { X , Y } ) <-> ( w ( +g ` U ) Y ) e. ( N ` { X , Y } ) ) )
128127notbid 308 . . . . . . . 8 |- ( z = ( w ( +g ` U ) Y ) -> ( -. z e. ( N ` { X , Y } ) <-> -. ( w ( +g ` U ) Y ) e. ( N ` { X , Y } ) ) )
129 eleq1 2689 . . . . . . . . 9 |- ( z = ( w ( +g ` U ) Y ) -> ( z e. ( N ` { Z , T } ) <-> ( w ( +g ` U ) Y ) e. ( N ` { Z , T } ) ) )
130129notbid 308 . . . . . . . 8 |- ( z = ( w ( +g ` U ) Y ) -> ( -. z e. ( N ` { Z , T } ) <-> -. ( w ( +g ` U ) Y ) e. ( N ` { Z , T } ) ) )
131128, 130anbi12d 747 . . . . . . 7 |- ( z = ( w ( +g ` U ) Y ) -> ( ( -. z e. ( N ` { X , Y } ) /\ -. z e. ( N ` { Z , T } ) ) <-> ( -. ( w ( +g ` U ) Y ) e. ( N ` { X , Y } ) /\ -. ( w ( +g ` U ) Y ) e. ( N ` { Z , T } ) ) ) )
132131rspcev 3309 . . . . . 6 |- ( ( ( w ( +g ` U ) Y ) e. V /\ ( -. ( w ( +g ` U ) Y ) e. ( N ` { X , Y } ) /\ -. ( w ( +g ` U ) Y ) e. ( N ` { Z , T } ) ) ) -> E. z e. V ( -. z e. ( N ` { X , Y } ) /\ -. z e. ( N ` { Z , T } ) ) )
133114, 122, 126, 132syl12anc 1324 . . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ -. Y e. ( N ` { Z , T } ) ) /\ w e. V /\ ( -. w e. ( N ` { Y , X } ) /\ -. w e. ( N ` { Y , T } ) ) ) /\ w e. ( N ` { Z , T } ) ) -> E. z e. V ( -. z e. ( N ` { X , Y } ) /\ -. z e. ( N ` { Z , T } ) ) )
134 simpl2 1065 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ -. Y e. ( N ` { Z , T } ) ) /\ w e. V /\ ( -. w e. ( N ` { Y , X } ) /\ -. w e. ( N ` { Y , T } ) ) ) /\ -. w e. ( N ` { Z , T } ) ) -> w e. V )
135 simpl3l 1116 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ -. Y e. ( N ` { Z , T } ) ) /\ w e. V /\ ( -. w e. ( N ` { Y , X } ) /\ -. w e. ( N ` { Y , T } ) ) ) /\ -. w e. ( N ` { Z , T } ) ) -> -. w e. ( N ` { Y , X } ) )
136135, 120sylnib 318 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ -. Y e. ( N ` { Z , T } ) ) /\ w e. V /\ ( -. w e. ( N ` { Y , X } ) /\ -. w e. ( N ` { Y , T } ) ) ) /\ -. w e. ( N ` { Z , T } ) ) -> -. w e. ( N ` { X , Y } ) )
137 simpr 477 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ -. Y e. ( N ` { Z , T } ) ) /\ w e. V /\ ( -. w e. ( N ` { Y , X } ) /\ -. w e. ( N ` { Y , T } ) ) ) /\ -. w e. ( N ` { Z , T } ) ) -> -. w e. ( N ` { Z , T } ) )
138 eleq1 2689 . . . . . . . . 9 |- ( z = w -> ( z e. ( N ` { X , Y } ) <-> w e. ( N ` { X , Y } ) ) )
139138notbid 308 . . . . . . . 8 |- ( z = w -> ( -. z e. ( N ` { X , Y } ) <-> -. w e. ( N ` { X , Y } ) ) )
140 eleq1 2689 . . . . . . . . 9 |- ( z = w -> ( z e. ( N ` { Z , T } ) <-> w e. ( N ` { Z , T } ) ) )
141140notbid 308 . . . . . . . 8 |- ( z = w -> ( -. z e. ( N ` { Z , T } ) <-> -. w e. ( N ` { Z , T } ) ) )
142139, 141anbi12d 747 . . . . . . 7 |- ( z = w -> ( ( -. z e. ( N ` { X , Y } ) /\ -. z e. ( N ` { Z , T } ) ) <-> ( -. w e. ( N ` { X , Y } ) /\ -. w e. ( N ` { Z , T } ) ) ) )
143142rspcev 3309 . . . . . 6 |- ( ( w e. V /\ ( -. w e. ( N ` { X , Y } ) /\ -. w e. ( N ` { Z , T } ) ) ) -> E. z e. V ( -. z e. ( N ` { X , Y } ) /\ -. z e. ( N ` { Z , T } ) ) )
144134, 136, 137, 143syl12anc 1324 . . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ -. Y e. ( N ` { Z , T } ) ) /\ w e. V /\ ( -. w e. ( N ` { Y , X } ) /\ -. w e. ( N ` { Y , T } ) ) ) /\ -. w e. ( N ` { Z , T } ) ) -> E. z e. V ( -. z e. ( N ` { X , Y } ) /\ -. z e. ( N ` { Z , T } ) ) )
145133, 144pm2.61dan 832 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ -. Y e. ( N ` { Z , T } ) ) /\ w e. V /\ ( -. w e. ( N ` { Y , X } ) /\ -. w e. ( N ` { Y , T } ) ) ) -> E. z e. V ( -. z e. ( N ` { X , Y } ) /\ -. z e. ( N ` { Z , T } ) ) )
146145rexlimdv3a 3033 . . 3 |- ( ( ph /\ -. Y e. ( N ` { Z , T } ) ) -> ( E. w e. V ( -. w e. ( N ` { Y , X } ) /\ -. w e. ( N ` { Y , T } ) ) -> E. z e. V ( -. z e. ( N ` { X , Y } ) /\ -. z e. ( N ` { Z , T } ) ) ) )
147107, 146mpd 15 . 2 |- ( ( ph /\ -. Y e. ( N ` { Z , T } ) ) -> E. z e. V ( -. z e. ( N ` { X , Y } ) /\ -. z e. ( N ` { Z , T } ) ) )
148105, 147pm2.61dan 832 1 |- ( ph -> E. z e. V ( -. z e. ( N ` { X , Y } ) /\ -. z e. ( N ` { Z , T } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   C_ wss 3574   C. wpss 3575   {csn 4177   {cpr 4179   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941  SubGrpcsubg 17588   LSSumclsm 18049   LModclmod 18863   LSubSpclss 18932   LSpanclspn 18971   LVecclvec 19102   HLchlt 34637   LHypclh 35270   DVecHcdvh 36367
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-riotaBAD 34239
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-undef 7399  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-0g 16102  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-p1 17040  df-lat 17046  df-clat 17108  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-lsm 18051  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-drng 18749  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-lvec 19103  df-lsatoms 34263  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-llines 34784  df-lplanes 34785  df-lvols 34786  df-lines 34787  df-psubsp 34789  df-pmap 34790  df-padd 35082  df-lhyp 35274  df-laut 35275  df-ldil 35390  df-ltrn 35391  df-trl 35446  df-tgrp 36031  df-tendo 36043  df-edring 36045  df-dveca 36291  df-disoa 36318  df-dvech 36368  df-dib 36428  df-dic 36462  df-dih 36518  df-doch 36637  df-djh 36684
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