Theorem ltrnq 9801

Description: Ordering property of reciprocal for positive fractions. Proposition 9-2.6(iv) of [Gleason] p. 120. (Contributed by NM, 9-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ltrnq	|- ( A <Q B <-> ( *Q ` B ) <Q ( *Q ` A ) )

Proof of Theorem ltrnq

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelnq 9748	. . 3 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
2	1	brel 5168	. 2 |- ( A <Q B -> ( A e. Q. /\ B e. Q. ) )
3	1	brel 5168	. . 3 |- ( ( *Q ` B ) <Q ( *Q ` A ) -> ( ( *Q ` B ) e. Q. /\ ( *Q ` A ) e. Q. ) )
4		dmrecnq 9790	. . . . 5 |- dom *Q = Q.
5		0nnq 9746	. . . . 5 |- -. (/) e. Q.
6	4, 5	ndmfvrcl 6219	. . . 4 |- ( ( *Q ` B ) e. Q. -> B e. Q. )
7	4, 5	ndmfvrcl 6219	. . . 4 |- ( ( *Q ` A ) e. Q. -> A e. Q. )
8	6, 7	anim12ci 591	. . 3 |- ( ( ( *Q ` B ) e. Q. /\ ( *Q ` A ) e. Q. ) -> ( A e. Q. /\ B e. Q. ) )
9	3, 8	syl 17	. 2 |- ( ( *Q ` B ) <Q ( *Q ` A ) -> ( A e. Q. /\ B e. Q. ) )
10		breq1 4656	. . . 4 |- ( x = A -> ( x <Q y <-> A <Q y ) )
11		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( x = A -> ( *Q ` x ) = ( *Q ` A ) )
12	11	breq2d 4665	. . . 4 |- ( x = A -> ( ( *Q ` y ) <Q ( *Q ` x ) <-> ( *Q ` y ) <Q ( *Q ` A ) ) )
13	10, 12	bibi12d 335	. . 3 |- ( x = A -> ( ( x <Q y <-> ( *Q ` y ) <Q ( *Q ` x ) ) <-> ( A <Q y <-> ( *Q ` y ) <Q ( *Q ` A ) ) ) )
14		breq2 4657	. . . 4 |- ( y = B -> ( A <Q y <-> A <Q B ) )
15		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( y = B -> ( *Q ` y ) = ( *Q ` B ) )
16	15	breq1d 4663	. . . 4 |- ( y = B -> ( ( *Q ` y ) <Q ( *Q ` A ) <-> ( *Q ` B ) <Q ( *Q ` A ) ) )
17	14, 16	bibi12d 335	. . 3 |- ( y = B -> ( ( A <Q y <-> ( *Q ` y ) <Q ( *Q ` A ) ) <-> ( A <Q B <-> ( *Q ` B ) <Q ( *Q ` A ) ) ) )
18		recclnq 9788	. . . . . 6 |- ( x e. Q. -> ( *Q ` x ) e. Q. )
19		recclnq 9788	. . . . . 6 |- ( y e. Q. -> ( *Q ` y ) e. Q. )
20		mulclnq 9769	. . . . . 6 |- ( ( ( *Q ` x ) e. Q. /\ ( *Q ` y ) e. Q. ) -> ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) e. Q. )
21	18, 19, 20	syl2an 494	. . . . 5 |- ( ( x e. Q. /\ y e. Q. ) -> ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) e. Q. )
22		ltmnq 9794	. . . . 5 |- ( ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) e. Q. -> ( x <Q y <-> ( ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) .Q x ) <Q ( ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) .Q y ) ) )
23	21, 22	syl 17	. . . 4 |- ( ( x e. Q. /\ y e. Q. ) -> ( x <Q y <-> ( ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) .Q x ) <Q ( ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) .Q y ) ) )
24		mulcomnq 9775	. . . . . . 7 |- ( ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) .Q x ) = ( x .Q ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) )
25		mulassnq 9781	. . . . . . 7 |- ( ( x .Q ( *Q ` x ) ) .Q ( *Q ` y ) ) = ( x .Q ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) )
26		mulcomnq 9775	. . . . . . 7 |- ( ( x .Q ( *Q ` x ) ) .Q ( *Q ` y ) ) = ( ( *Q ` y ) .Q ( x .Q ( *Q ` x ) ) )
27	24, 25, 26	3eqtr2i 2650	. . . . . 6 |- ( ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) .Q x ) = ( ( *Q ` y ) .Q ( x .Q ( *Q ` x ) ) )
28		recidnq 9787	. . . . . . . 8 |- ( x e. Q. -> ( x .Q ( *Q ` x ) ) = 1Q )
29	28	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( x e. Q. -> ( ( *Q ` y ) .Q ( x .Q ( *Q ` x ) ) ) = ( ( *Q ` y ) .Q 1Q ) )
30		mulidnq 9785	. . . . . . . 8 |- ( ( *Q ` y ) e. Q. -> ( ( *Q ` y ) .Q 1Q ) = ( *Q ` y ) )
31	19, 30	syl 17	. . . . . . 7 |- ( y e. Q. -> ( ( *Q ` y ) .Q 1Q ) = ( *Q ` y ) )
32	29, 31	sylan9eq 2676	. . . . . 6 |- ( ( x e. Q. /\ y e. Q. ) -> ( ( *Q ` y ) .Q ( x .Q ( *Q ` x ) ) ) = ( *Q ` y ) )
33	27, 32	syl5eq 2668	. . . . 5 |- ( ( x e. Q. /\ y e. Q. ) -> ( ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) .Q x ) = ( *Q ` y ) )
34		mulassnq 9781	. . . . . . 7 |- ( ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) .Q y ) = ( ( *Q ` x ) .Q ( ( *Q ` y ) .Q y ) )
35		mulcomnq 9775	. . . . . . . 8 |- ( ( *Q ` y ) .Q y ) = ( y .Q ( *Q ` y ) )
36	35	oveq2i 6661	. . . . . . 7 |- ( ( *Q ` x ) .Q ( ( *Q ` y ) .Q y ) ) = ( ( *Q ` x ) .Q ( y .Q ( *Q ` y ) ) )
37	34, 36	eqtri 2644	. . . . . 6 |- ( ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) .Q y ) = ( ( *Q ` x ) .Q ( y .Q ( *Q ` y ) ) )
38		recidnq 9787	. . . . . . . 8 |- ( y e. Q. -> ( y .Q ( *Q ` y ) ) = 1Q )
39	38	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( y e. Q. -> ( ( *Q ` x ) .Q ( y .Q ( *Q ` y ) ) ) = ( ( *Q ` x ) .Q 1Q ) )
40		mulidnq 9785	. . . . . . . 8 |- ( ( *Q ` x ) e. Q. -> ( ( *Q ` x ) .Q 1Q ) = ( *Q ` x ) )
41	18, 40	syl 17	. . . . . . 7 |- ( x e. Q. -> ( ( *Q ` x ) .Q 1Q ) = ( *Q ` x ) )
42	39, 41	sylan9eqr 2678	. . . . . 6 |- ( ( x e. Q. /\ y e. Q. ) -> ( ( *Q ` x ) .Q ( y .Q ( *Q ` y ) ) ) = ( *Q ` x ) )
43	37, 42	syl5eq 2668	. . . . 5 |- ( ( x e. Q. /\ y e. Q. ) -> ( ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) .Q y ) = ( *Q ` x ) )
44	33, 43	breq12d 4666	. . . 4 |- ( ( x e. Q. /\ y e. Q. ) -> ( ( ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) .Q x ) <Q ( ( ( *Q ` x ) .Q ( *Q ` y ) ) .Q y ) <-> ( *Q ` y ) <Q ( *Q ` x ) ) )
45	23, 44	bitrd 268	. . 3 |- ( ( x e. Q. /\ y e. Q. ) -> ( x <Q y <-> ( *Q ` y ) <Q ( *Q ` x ) ) )
46	13, 17, 45	vtocl2ga 3274	. 2 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A <Q B <-> ( *Q ` B ) <Q ( *Q ` A ) ) )
47	2, 9, 46	pm5.21nii 368	1 |- ( A <Q B <-> ( *Q ` B ) <Q ( *Q ` A ) )

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Q.cnq 9674   1Qc1q 9675   .Q cmq 9678   *Qcrq 9679   <Q cltq 9680

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-ni 9694  df-mi 9696  df-lti 9697  df-mpq 9731  df-ltpq 9732  df-enq 9733  df-nq 9734  df-erq 9735  df-mq 9737  df-1nq 9738  df-rq 9739  df-ltnq 9740

This theorem is referenced by:  addclprlem1  9838  reclem2pr  9870  reclem3pr  9871