Theorem lvecindp2 19139

Description: Sums of independent vectors must have equal coefficients. (Contributed by NM, 22-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvecindp2.v	|- V = ( Base ` W )
lvecindp2.p	|- .+ = ( +g ` W )
lvecindp2.f	|- F = (Scalar ` W )
lvecindp2.k	|- K = ( Base ` F )
lvecindp2.t	|- .x. = ( .s ` W )
lvecindp2.o	|- .0. = ( 0g ` W )
lvecindp2.n	|- N = ( LSpan ` W )
lvecindp2.w	|- ( ph -> W e. LVec )
lvecindp2.x	|- ( ph -> X e. ( V \ { .0. } ) )
lvecindp2.y	|- ( ph -> Y e. ( V \ { .0. } ) )
lvecindp2.a	|- ( ph -> A e. K )
lvecindp2.b	|- ( ph -> B e. K )
lvecindp2.c	|- ( ph -> C e. K )
lvecindp2.d	|- ( ph -> D e. K )
lvecindp2.q	|- ( ph -> ( N ` { X } ) =/= ( N ` { Y } ) )
lvecindp2.e	|- ( ph -> ( ( A .x. X ) .+ ( B .x. Y ) ) = ( ( C .x. X ) .+ ( D .x. Y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
lvecindp2	|- ( ph -> ( A = C /\ B = D ) )

Proof of Theorem lvecindp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lvecindp2.e	. . 3 |- ( ph -> ( ( A .x. X ) .+ ( B .x. Y ) ) = ( ( C .x. X ) .+ ( D .x. Y ) ) )
2		lvecindp2.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` W )
3		lvecindp2.o	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` W )
4		eqid 2622	. . . 4 |- (Cntz ` W ) = (Cntz ` W )
5		lvecindp2.w	. . . . . 6 |- ( ph -> W e. LVec )
6		lveclmod 19106	. . . . . 6 |- ( W e. LVec -> W e. LMod )
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> W e. LMod )
8		lvecindp2.x	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. ( V \ { .0. } ) )
9	8	eldifad 3586	. . . . 5 |- ( ph -> X e. V )
10		lvecindp2.v	. . . . . 6 |- V = ( Base ` W )
11		lvecindp2.n	. . . . . 6 |- N = ( LSpan ` W )
12	10, 11	lspsnsubg 18980	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( N ` { X } ) e. (SubGrp ` W ) )
13	7, 9, 12	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( N ` { X } ) e. (SubGrp ` W ) )
14		lvecindp2.y	. . . . . 6 |- ( ph -> Y e. ( V \ { .0. } ) )
15	14	eldifad 3586	. . . . 5 |- ( ph -> Y e. V )
16	10, 11	lspsnsubg 18980	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ Y e. V ) -> ( N ` { Y } ) e. (SubGrp ` W ) )
17	7, 15, 16	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( N ` { Y } ) e. (SubGrp ` W ) )
18		lvecindp2.q	. . . . 5 |- ( ph -> ( N ` { X } ) =/= ( N ` { Y } ) )
19	10, 3, 11, 5, 9, 15, 18	lspdisj2 19127	. . . 4 |- ( ph -> ( ( N ` { X } ) i^i ( N ` { Y } ) ) = { .0. } )
20		lmodabl 18910	. . . . . 6 |- ( W e. LMod -> W e. Abel )
21	7, 20	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> W e. Abel )
22	4, 21, 13, 17	ablcntzd 18260	. . . 4 |- ( ph -> ( N ` { X } ) C_ ( (Cntz ` W ) ` ( N ` { Y } ) ) )
23		lvecindp2.t	. . . . 5 |- .x. = ( .s ` W )
24		lvecindp2.f	. . . . 5 |- F = (Scalar ` W )
25		lvecindp2.k	. . . . 5 |- K = ( Base ` F )
26		lvecindp2.a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. K )
27	10, 23, 24, 25, 11, 7, 26, 9	lspsneli 19001	. . . 4 |- ( ph -> ( A .x. X ) e. ( N ` { X } ) )
28		lvecindp2.c	. . . . 5 |- ( ph -> C e. K )
29	10, 23, 24, 25, 11, 7, 28, 9	lspsneli 19001	. . . 4 |- ( ph -> ( C .x. X ) e. ( N ` { X } ) )
30		lvecindp2.b	. . . . 5 |- ( ph -> B e. K )
31	10, 23, 24, 25, 11, 7, 30, 15	lspsneli 19001	. . . 4 |- ( ph -> ( B .x. Y ) e. ( N ` { Y } ) )
32		lvecindp2.d	. . . . 5 |- ( ph -> D e. K )
33	10, 23, 24, 25, 11, 7, 32, 15	lspsneli 19001	. . . 4 |- ( ph -> ( D .x. Y ) e. ( N ` { Y } ) )
34	2, 3, 4, 13, 17, 19, 22, 27, 29, 31, 33	subgdisjb 18106	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( A .x. X ) .+ ( B .x. Y ) ) = ( ( C .x. X ) .+ ( D .x. Y ) ) <-> ( ( A .x. X ) = ( C .x. X ) /\ ( B .x. Y ) = ( D .x. Y ) ) ) )
35	1, 34	mpbid 222	. 2 |- ( ph -> ( ( A .x. X ) = ( C .x. X ) /\ ( B .x. Y ) = ( D .x. Y ) ) )
36		eldifsni 4320	. . . . 5 |- ( X e. ( V \ { .0. } ) -> X =/= .0. )
37	8, 36	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> X =/= .0. )
38	10, 23, 24, 25, 3, 5, 26, 28, 9, 37	lvecvscan2 19112	. . 3 |- ( ph -> ( ( A .x. X ) = ( C .x. X ) <-> A = C ) )
39		eldifsni 4320	. . . . 5 |- ( Y e. ( V \ { .0. } ) -> Y =/= .0. )
40	14, 39	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> Y =/= .0. )
41	10, 23, 24, 25, 3, 5, 30, 32, 15, 40	lvecvscan2 19112	. . 3 |- ( ph -> ( ( B .x. Y ) = ( D .x. Y ) <-> B = D ) )
42	38, 41	anbi12d 747	. 2 |- ( ph -> ( ( ( A .x. X ) = ( C .x. X ) /\ ( B .x. Y ) = ( D .x. Y ) ) <-> ( A = C /\ B = D ) ) )
43	35, 42	mpbid 222	1 |- ( ph -> ( A = C /\ B = D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   \ cdif 3571   {csn 4177   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   0gc0g 16100  SubGrpcsubg 17588  Cntzccntz 17748   Abelcabl 18194   LModclmod 18863   LSpanclspn 18971   LVecclvec 19102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-drng 18749  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-lvec 19103

This theorem is referenced by:  mapdpglem30  36991  baerlem3lem1  36996  baerlem5alem1  36997  hdmap14lem9  37168