Theorem m1modge3gt1 12717

Description: Minus one modulo an integer greater than two is greater than one. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
m1modge3gt1	|- ( M e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 1 < ( -u 1 mod M ) )

Proof of Theorem m1modge3gt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1p1e2 11134	. . . 4 |- ( 1 + 1 ) = 2
2		2p1e3 11151	. . . . . 6 |- ( 2 + 1 ) = 3
3		eluzle 11700	. . . . . 6 |- ( M e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 3 <_ M )
4	2, 3	syl5eqbr 4688	. . . . 5 |- ( M e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( 2 + 1 ) <_ M )
5		2z 11409	. . . . . 6 |- 2 e. ZZ
6		eluzelz 11697	. . . . . 6 |- ( M e. ( ZZ>= ` 3 ) -> M e. ZZ )
7		zltp1le 11427	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( 2 < M <-> ( 2 + 1 ) <_ M ) )
8	5, 6, 7	sylancr 695	. . . . 5 |- ( M e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( 2 < M <-> ( 2 + 1 ) <_ M ) )
9	4, 8	mpbird 247	. . . 4 |- ( M e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 2 < M )
10	1, 9	syl5eqbr 4688	. . 3 |- ( M e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( 1 + 1 ) < M )
11		1red 10055	. . . 4 |- ( M e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 1 e. RR )
12		eluzelre 11698	. . . 4 |- ( M e. ( ZZ>= ` 3 ) -> M e. RR )
13	11, 11, 12	ltaddsub2d 10628	. . 3 |- ( M e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( ( 1 + 1 ) < M <-> 1 < ( M - 1 ) ) )
14	10, 13	mpbid 222	. 2 |- ( M e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 1 < ( M - 1 ) )
15		eluzge3nn 11730	. . 3 |- ( M e. ( ZZ>= ` 3 ) -> M e. NN )
16		m1modnnsub1 12716	. . 3 |- ( M e. NN -> ( -u 1 mod M ) = ( M - 1 ) )
17	15, 16	syl 17	. 2 |- ( M e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( -u 1 mod M ) = ( M - 1 ) )
18	14, 17	breqtrrd 4681	1 |- ( M e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 1 < ( -u 1 mod M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   NNcn 11020   2c2 11070   3c3 11071   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   mod cmo 12668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fl 12593  df-mod 12669

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem0i  25089