Theorem mat1scmat 20345

Description: A 1-dimensional matrix over a ring is always a scalar matrix (and therefore, by scmatdmat 20321, also a diagonal matrix). (Contributed by AV, 21-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat1scmat.a	|- A = ( N Mat R )
mat1scmat.b	|- B = ( Base ` A )

Assertion

Ref	Expression
mat1scmat	|- ( ( N e. V /\ ( # ` N ) = 1 /\ R e. Ring ) -> ( M e. B -> M e. ( N ScMat R ) ) )

Proof of Theorem mat1scmat

Dummy variables e c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hash1snb 13207	. . 3 |- ( N e. V -> ( ( # ` N ) = 1 <-> E. e N = { e } ) )
2		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ M e. ( Base ` ( { e } Mat R ) ) ) -> M e. ( Base ` ( { e } Mat R ) ) )
3		vex 3203	. . . . . . . . . 10 |- e e. _V
4		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( { e } Mat R ) = ( { e } Mat R )
5		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
6		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- <. e , e >. = <. e , e >.
7	4, 5, 6	mat1dimelbas 20277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ e e. _V ) -> ( M e. ( Base ` ( { e } Mat R ) ) <-> E. c e. ( Base ` R ) M = { <. <. e , e >. , c >. } ) )
8	3, 7	mpan2 707	. . . . . . . . 9 |- ( R e. Ring -> ( M e. ( Base ` ( { e } Mat R ) ) <-> E. c e. ( Base ` R ) M = { <. <. e , e >. , c >. } ) )
9		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. Ring /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ M = { <. <. e , e >. , c >. } ) -> M = { <. <. e , e >. , c >. } )
10	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( c e. ( Base ` R ) -> e e. _V )
11	4, 5, 6	mat1dimid 20280	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R e. Ring /\ e e. _V ) -> ( 1r ` ( { e } Mat R ) ) = { <. <. e , e >. , ( 1r ` R ) >. } )
12	10, 11	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. Ring /\ c e. ( Base ` R ) ) -> ( 1r ` ( { e } Mat R ) ) = { <. <. e , e >. , ( 1r ` R ) >. } )
13	12	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. Ring /\ c e. ( Base ` R ) ) -> ( c ( .s ` ( { e } Mat R ) ) ( 1r ` ( { e } Mat R ) ) ) = ( c ( .s ` ( { e } Mat R ) ) { <. <. e , e >. , ( 1r ` R ) >. } ) )
14		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R e. Ring /\ c e. ( Base ` R ) ) -> R e. Ring )
15	14, 3	jctir 561	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. Ring /\ c e. ( Base ` R ) ) -> ( R e. Ring /\ e e. _V ) )
16		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. Ring /\ c e. ( Base ` R ) ) -> c e. ( Base ` R ) )
17		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
18	5, 17	ringidcl 18568	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( R e. Ring -> ( 1r ` R ) e. ( Base ` R ) )
19	18	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. Ring /\ c e. ( Base ` R ) ) -> ( 1r ` R ) e. ( Base ` R ) )
20	4, 5, 6	mat1dimscm 20281	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. Ring /\ e e. _V ) /\ ( c e. ( Base ` R ) /\ ( 1r ` R ) e. ( Base ` R ) ) ) -> ( c ( .s ` ( { e } Mat R ) ) { <. <. e , e >. , ( 1r ` R ) >. } ) = { <. <. e , e >. , ( c ( .r ` R ) ( 1r ` R ) ) >. } )
21	15, 16, 19, 20	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. Ring /\ c e. ( Base ` R ) ) -> ( c ( .s ` ( { e } Mat R ) ) { <. <. e , e >. , ( 1r ` R ) >. } ) = { <. <. e , e >. , ( c ( .r ` R ) ( 1r ` R ) ) >. } )
22		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
23	5, 22, 17	ringridm 18572	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R e. Ring /\ c e. ( Base ` R ) ) -> ( c ( .r ` R ) ( 1r ` R ) ) = c )
24	23	opeq2d 4409	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. Ring /\ c e. ( Base ` R ) ) -> <. <. e , e >. , ( c ( .r ` R ) ( 1r ` R ) ) >. = <. <. e , e >. , c >. )
25	24	sneqd 4189	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. Ring /\ c e. ( Base ` R ) ) -> { <. <. e , e >. , ( c ( .r ` R ) ( 1r ` R ) ) >. } = { <. <. e , e >. , c >. } )
26	13, 21, 25	3eqtrrd 2661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. Ring /\ c e. ( Base ` R ) ) -> { <. <. e , e >. , c >. } = ( c ( .s ` ( { e } Mat R ) ) ( 1r ` ( { e } Mat R ) ) ) )
27	26	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. Ring /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ M = { <. <. e , e >. , c >. } ) -> { <. <. e , e >. , c >. } = ( c ( .s ` ( { e } Mat R ) ) ( 1r ` ( { e } Mat R ) ) ) )
28	9, 27	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ c e. ( Base ` R ) ) /\ M = { <. <. e , e >. , c >. } ) -> M = ( c ( .s ` ( { e } Mat R ) ) ( 1r ` ( { e } Mat R ) ) ) )
29	28	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ c e. ( Base ` R ) ) -> ( M = { <. <. e , e >. , c >. } -> M = ( c ( .s ` ( { e } Mat R ) ) ( 1r ` ( { e } Mat R ) ) ) ) )
30	29	reximdva 3017	. . . . . . . . 9 |- ( R e. Ring -> ( E. c e. ( Base ` R ) M = { <. <. e , e >. , c >. } -> E. c e. ( Base ` R ) M = ( c ( .s ` ( { e } Mat R ) ) ( 1r ` ( { e } Mat R ) ) ) ) )
31	8, 30	sylbid 230	. . . . . . . 8 |- ( R e. Ring -> ( M e. ( Base ` ( { e } Mat R ) ) -> E. c e. ( Base ` R ) M = ( c ( .s ` ( { e } Mat R ) ) ( 1r ` ( { e } Mat R ) ) ) ) )
32	31	imp 445	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ M e. ( Base ` ( { e } Mat R ) ) ) -> E. c e. ( Base ` R ) M = ( c ( .s ` ( { e } Mat R ) ) ( 1r ` ( { e } Mat R ) ) ) )
33		snfi 8038	. . . . . . . 8 |- { e } e. Fin
34		simpl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ M e. ( Base ` ( { e } Mat R ) ) ) -> R e. Ring )
35		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` ( { e } Mat R ) ) = ( Base ` ( { e } Mat R ) )
36		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( 1r ` ( { e } Mat R ) ) = ( 1r ` ( { e } Mat R ) )
37		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( .s ` ( { e } Mat R ) ) = ( .s ` ( { e } Mat R ) )
38		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( { e } ScMat R ) = ( { e } ScMat R )
39	5, 4, 35, 36, 37, 38	scmatel 20311	. . . . . . . 8 |- ( ( { e } e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( M e. ( { e } ScMat R ) <-> ( M e. ( Base ` ( { e } Mat R ) ) /\ E. c e. ( Base ` R ) M = ( c ( .s ` ( { e } Mat R ) ) ( 1r ` ( { e } Mat R ) ) ) ) ) )
40	33, 34, 39	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ M e. ( Base ` ( { e } Mat R ) ) ) -> ( M e. ( { e } ScMat R ) <-> ( M e. ( Base ` ( { e } Mat R ) ) /\ E. c e. ( Base ` R ) M = ( c ( .s ` ( { e } Mat R ) ) ( 1r ` ( { e } Mat R ) ) ) ) ) )
41	2, 32, 40	mpbir2and 957	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ M e. ( Base ` ( { e } Mat R ) ) ) -> M e. ( { e } ScMat R ) )
42	41	ex 450	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> ( M e. ( Base ` ( { e } Mat R ) ) -> M e. ( { e } ScMat R ) ) )
43		mat1scmat.b	. . . . . . . . 9 |- B = ( Base ` A )
44		mat1scmat.a	. . . . . . . . . 10 |- A = ( N Mat R )
45	44	fveq2i 6194	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` A ) = ( Base ` ( N Mat R ) )
46	43, 45	eqtri 2644	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` ( N Mat R ) )
47		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( N = { e } -> ( N Mat R ) = ( { e } Mat R ) )
48	47	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( N = { e } -> ( Base ` ( N Mat R ) ) = ( Base ` ( { e } Mat R ) ) )
49	46, 48	syl5eq 2668	. . . . . . 7 |- ( N = { e } -> B = ( Base ` ( { e } Mat R ) ) )
50	49	eleq2d 2687	. . . . . 6 |- ( N = { e } -> ( M e. B <-> M e. ( Base ` ( { e } Mat R ) ) ) )
51		oveq1 6657	. . . . . . 7 |- ( N = { e } -> ( N ScMat R ) = ( { e } ScMat R ) )
52	51	eleq2d 2687	. . . . . 6 |- ( N = { e } -> ( M e. ( N ScMat R ) <-> M e. ( { e } ScMat R ) ) )
53	50, 52	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( N = { e } -> ( ( M e. B -> M e. ( N ScMat R ) ) <-> ( M e. ( Base ` ( { e } Mat R ) ) -> M e. ( { e } ScMat R ) ) ) )
54	42, 53	syl5ibr 236	. . . 4 |- ( N = { e } -> ( R e. Ring -> ( M e. B -> M e. ( N ScMat R ) ) ) )
55	54	exlimiv 1858	. . 3 |- ( E. e N = { e } -> ( R e. Ring -> ( M e. B -> M e. ( N ScMat R ) ) ) )
56	1, 55	syl6bi 243	. 2 |- ( N e. V -> ( ( # ` N ) = 1 -> ( R e. Ring -> ( M e. B -> M e. ( N ScMat R ) ) ) ) )
57	56	3imp 1256	1 |- ( ( N e. V /\ ( # ` N ) = 1 /\ R e. Ring ) -> ( M e. B -> M e. ( N ScMat R ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   {csn 4177   <.cop 4183   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   1c1 9937   #chash 13117   Basecbs 15857   .rcmulr 15942   .scvsca 15945   1rcur 18501   Ringcrg 18547   Mat cmat 20213   ScMat cscmat 20295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-mamu 20190  df-mat 20214  df-scmat 20297

This theorem is referenced by: (None)