Theorem mat1dimscm 20281

Description: The scalar multiplication in the algebra of matrices with dimension 1. (Contributed by AV, 16-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat1dim.a	|- A = ( { E } Mat R )
mat1dim.b	|- B = ( Base ` R )
mat1dim.o	|- O = <. E , E >.

Assertion

Ref	Expression
mat1dimscm	|- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( X ( .s ` A ) { <. O , Y >. } ) = { <. O , ( X ( .r ` R ) Y ) >. } )

Proof of Theorem mat1dimscm

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mat1dim.o	. . . . . . . . . . 11 |- O = <. E , E >.
2		opex 4932	. . . . . . . . . . 11 |- <. E , E >. e. _V
3	1, 2	eqeltri 2697	. . . . . . . . . 10 |- O e. _V
4	3	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( Y e. B -> O e. _V )
5	4	anim2i 593	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X e. B /\ O e. _V ) )
6	5	ancomd 467	. . . . . . 7 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( O e. _V /\ X e. B ) )
7		fnsng 5938	. . . . . . 7 |- ( ( O e. _V /\ X e. B ) -> { <. O , X >. } Fn { O } )
8	6, 7	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> { <. O , X >. } Fn { O } )
9	8	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> { <. O , X >. } Fn { O } )
10		xpsng 6406	. . . . . . . 8 |- ( ( O e. _V /\ X e. B ) -> ( { O } X. { X } ) = { <. O , X >. } )
11	6, 10	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( { O } X. { X } ) = { <. O , X >. } )
12	11	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( { O } X. { X } ) = { <. O , X >. } )
13	12	fneq1d 5981	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( { O } X. { X } ) Fn { O } <-> { <. O , X >. } Fn { O } ) )
14	9, 13	mpbird 247	. . . 4 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( { O } X. { X } ) Fn { O } )
15		xpsng 6406	. . . . . . . . 9 |- ( ( E e. V /\ E e. V ) -> ( { E } X. { E } ) = { <. E , E >. } )
16	1	sneqi 4188	. . . . . . . . 9 |- { O } = { <. E , E >. }
17	15, 16	syl6eqr 2674	. . . . . . . 8 |- ( ( E e. V /\ E e. V ) -> ( { E } X. { E } ) = { O } )
18	17	anidms 677	. . . . . . 7 |- ( E e. V -> ( { E } X. { E } ) = { O } )
19	18	ad2antlr 763	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( { E } X. { E } ) = { O } )
20	19	xpeq1d 5138	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( { E } X. { E } ) X. { X } ) = ( { O } X. { X } ) )
21	20	fneq1d 5981	. . . 4 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( ( { E } X. { E } ) X. { X } ) Fn { O } <-> ( { O } X. { X } ) Fn { O } ) )
22	14, 21	mpbird 247	. . 3 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( { E } X. { E } ) X. { X } ) Fn { O } )
23	3	a1i 11	. . . . 5 |- ( X e. B -> O e. _V )
24		fnsng 5938	. . . . 5 |- ( ( O e. _V /\ Y e. B ) -> { <. O , Y >. } Fn { O } )
25	23, 24	sylan 488	. . . 4 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> { <. O , Y >. } Fn { O } )
26	25	adantl 482	. . 3 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> { <. O , Y >. } Fn { O } )
27		snex 4908	. . . 4 |- { O } e. _V
28	27	a1i 11	. . 3 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> { O } e. _V )
29		inidm 3822	. . 3 |- ( { O } i^i { O } ) = { O }
30		elsni 4194	. . . . 5 |- ( x e. { O } -> x = O )
31		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( x = O -> ( ( ( { E } X. { E } ) X. { X } ) ` x ) = ( ( ( { E } X. { E } ) X. { X } ) ` O ) )
32	15	anidms 677	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E e. V -> ( { E } X. { E } ) = { <. E , E >. } )
33	32	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( { E } X. { E } ) = { <. E , E >. } )
34	33	xpeq1d 5138	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( { E } X. { E } ) X. { X } ) = ( { <. E , E >. } X. { X } ) )
35	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Y e. B -> <. E , E >. e. _V )
36	35	anim2i 593	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X e. B /\ <. E , E >. e. _V ) )
37	36	ancomd 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( <. E , E >. e. _V /\ X e. B ) )
38		xpsng 6406	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( <. E , E >. e. _V /\ X e. B ) -> ( { <. E , E >. } X. { X } ) = { <. <. E , E >. , X >. } )
39	1	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- <. E , E >. = O
40	39	opeq1i 4405	. . . . . . . . . . . . . 14 |- <. <. E , E >. , X >. = <. O , X >.
41	40	sneqi 4188	. . . . . . . . . . . . 13 |- { <. <. E , E >. , X >. } = { <. O , X >. }
42	38, 41	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( <. E , E >. e. _V /\ X e. B ) -> ( { <. E , E >. } X. { X } ) = { <. O , X >. } )
43	37, 42	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( { <. E , E >. } X. { X } ) = { <. O , X >. } )
44	43	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( { <. E , E >. } X. { X } ) = { <. O , X >. } )
45	34, 44	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( { E } X. { E } ) X. { X } ) = { <. O , X >. } )
46	45	fveq1d 6193	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( ( { E } X. { E } ) X. { X } ) ` O ) = ( { <. O , X >. } ` O ) )
47		fvsng 6447	. . . . . . . . . 10 |- ( ( O e. _V /\ X e. B ) -> ( { <. O , X >. } ` O ) = X )
48	6, 47	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( { <. O , X >. } ` O ) = X )
49	48	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( { <. O , X >. } ` O ) = X )
50	46, 49	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( ( { E } X. { E } ) X. { X } ) ` O ) = X )
51	31, 50	sylan9eq 2676	. . . . . 6 |- ( ( x = O /\ ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) ) -> ( ( ( { E } X. { E } ) X. { X } ) ` x ) = X )
52	51	ex 450	. . . . 5 |- ( x = O -> ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( ( { E } X. { E } ) X. { X } ) ` x ) = X ) )
53	30, 52	syl 17	. . . 4 |- ( x e. { O } -> ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( ( { E } X. { E } ) X. { X } ) ` x ) = X ) )
54	53	impcom 446	. . 3 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) /\ x e. { O } ) -> ( ( ( { E } X. { E } ) X. { X } ) ` x ) = X )
55		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( x = O -> ( { <. O , Y >. } ` x ) = ( { <. O , Y >. } ` O ) )
56		fvsng 6447	. . . . . . . . 9 |- ( ( O e. _V /\ Y e. B ) -> ( { <. O , Y >. } ` O ) = Y )
57	23, 56	sylan 488	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( { <. O , Y >. } ` O ) = Y )
58	57	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( { <. O , Y >. } ` O ) = Y )
59	55, 58	sylan9eq 2676	. . . . . 6 |- ( ( x = O /\ ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) ) -> ( { <. O , Y >. } ` x ) = Y )
60	59	ex 450	. . . . 5 |- ( x = O -> ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( { <. O , Y >. } ` x ) = Y ) )
61	30, 60	syl 17	. . . 4 |- ( x e. { O } -> ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( { <. O , Y >. } ` x ) = Y ) )
62	61	impcom 446	. . 3 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) /\ x e. { O } ) -> ( { <. O , Y >. } ` x ) = Y )
63	22, 26, 28, 28, 29, 54, 62	offval 6904	. 2 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( ( { E } X. { E } ) X. { X } ) oF ( .r ` R ) { <. O , Y >. } ) = ( x e. { O } |-> ( X ( .r ` R ) Y ) ) )
64		simprl 794	. . 3 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> X e. B )
65		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. B )
66	65	anim2i 593	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ Y e. B ) )
67		df-3an 1039	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V /\ Y e. B ) <-> ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ Y e. B ) )
68	66, 67	sylibr 224	. . . 4 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( R e. Ring /\ E e. V /\ Y e. B ) )
69		mat1dim.a	. . . . 5 |- A = ( { E } Mat R )
70		mat1dim.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` R )
71	69, 70, 1	mat1dimbas 20278	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V /\ Y e. B ) -> { <. O , Y >. } e. ( Base ` A ) )
72	68, 71	syl 17	. . 3 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> { <. O , Y >. } e. ( Base ` A ) )
73		eqid 2622	. . . 4 |- ( Base ` A ) = ( Base ` A )
74		eqid 2622	. . . 4 |- ( .s ` A ) = ( .s ` A )
75		eqid 2622	. . . 4 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
76		eqid 2622	. . . 4 |- ( { E } X. { E } ) = ( { E } X. { E } )
77	69, 73, 70, 74, 75, 76	matvsca2 20234	. . 3 |- ( ( X e. B /\ { <. O , Y >. } e. ( Base ` A ) ) -> ( X ( .s ` A ) { <. O , Y >. } ) = ( ( ( { E } X. { E } ) X. { X } ) oF ( .r ` R ) { <. O , Y >. } ) )
78	64, 72, 77	syl2anc 693	. 2 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( X ( .s ` A ) { <. O , Y >. } ) = ( ( ( { E } X. { E } ) X. { X } ) oF ( .r ` R ) { <. O , Y >. } ) )
79		3anass 1042	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) <-> ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) )
80	79	biimpri 218	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) )
81	80	adantlr 751	. . . 4 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) )
82	70, 75	ringcl 18561	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X ( .r ` R ) Y ) e. B )
83	81, 82	syl 17	. . 3 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( X ( .r ` R ) Y ) e. B )
84		fmptsn 6433	. . 3 |- ( ( O e. _V /\ ( X ( .r ` R ) Y ) e. B ) -> { <. O , ( X ( .r ` R ) Y ) >. } = ( x e. { O } |-> ( X ( .r ` R ) Y ) ) )
85	3, 83, 84	sylancr 695	. 2 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> { <. O , ( X ( .r ` R ) Y ) >. } = ( x e. { O } |-> ( X ( .r ` R ) Y ) ) )
86	63, 78, 85	3eqtr4d 2666	1 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( X ( .s ` A ) { <. O , Y >. } ) = { <. O , ( X ( .r ` R ) Y ) >. } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   {csn 4177   <.cop 4183   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   Fn wfn 5883   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   Basecbs 15857   .rcmulr 15942   .scvsca 15945   Ringcrg 18547   Mat cmat 20213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mgp 18490  df-ring 18549  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-mat 20214

This theorem is referenced by:  mat1scmat  20345