Theorem mat1dimmul 20282

Description: The ring multiplication in the algebra of matrices with dimension 1. (Contributed by AV, 16-Aug-2019.) (Proof shortened by AV, 18-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat1dim.a	|- A = ( { E } Mat R )
mat1dim.b	|- B = ( Base ` R )
mat1dim.o	|- O = <. E , E >.

Assertion

Ref	Expression
mat1dimmul	|- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( { <. O , X >. } ( .r ` A ) { <. O , Y >. } ) = { <. O , ( X ( .r ` R ) Y ) >. } )

Proof of Theorem mat1dimmul

Dummy variables x y k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snfi 8038	. . . . 5 |- { E } e. Fin
2		simpl 473	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V ) -> R e. Ring )
3		mat1dim.a	. . . . . . 7 |- A = ( { E } Mat R )
4		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( R maMul <. { E } , { E } , { E } >. ) = ( R maMul <. { E } , { E } , { E } >. )
5	3, 4	matmulr 20244	. . . . . 6 |- ( ( { E } e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( R maMul <. { E } , { E } , { E } >. ) = ( .r ` A ) )
6	5	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( ( { E } e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( .r ` A ) = ( R maMul <. { E } , { E } , { E } >. ) )
7	1, 2, 6	sylancr 695	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V ) -> ( .r ` A ) = ( R maMul <. { E } , { E } , { E } >. ) )
8	7	adantr 481	. . 3 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( .r ` A ) = ( R maMul <. { E } , { E } , { E } >. ) )
9	8	oveqd 6667	. 2 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( { <. O , X >. } ( .r ` A ) { <. O , Y >. } ) = ( { <. O , X >. } ( R maMul <. { E } , { E } , { E } >. ) { <. O , Y >. } ) )
10		mat1dim.b	. . 3 |- B = ( Base ` R )
11		eqid 2622	. . 3 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
12	2	adantr 481	. . 3 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> R e. Ring )
13	1	a1i 11	. . 3 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> { E } e. Fin )
14		opex 4932	. . . . . . 7 |- <. E , E >. e. _V
15	14	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> <. E , E >. e. _V )
16		simpl 473	. . . . . . 7 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> X e. B )
17	16	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> X e. B )
18	15, 17	fsnd 6179	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> { <. <. E , E >. , X >. } : { <. E , E >. } --> B )
19		mat1dim.o	. . . . . . . . . 10 |- O = <. E , E >.
20	19	opeq1i 4405	. . . . . . . . 9 |- <. O , X >. = <. <. E , E >. , X >.
21	20	sneqi 4188	. . . . . . . 8 |- { <. O , X >. } = { <. <. E , E >. , X >. }
22	21	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( E e. V -> { <. O , X >. } = { <. <. E , E >. , X >. } )
23		xpsng 6406	. . . . . . . 8 |- ( ( E e. V /\ E e. V ) -> ( { E } X. { E } ) = { <. E , E >. } )
24	23	anidms 677	. . . . . . 7 |- ( E e. V -> ( { E } X. { E } ) = { <. E , E >. } )
25	22, 24	feq12d 6033	. . . . . 6 |- ( E e. V -> ( { <. O , X >. } : ( { E } X. { E } ) --> B <-> { <. <. E , E >. , X >. } : { <. E , E >. } --> B ) )
26	25	ad2antlr 763	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( { <. O , X >. } : ( { E } X. { E } ) --> B <-> { <. <. E , E >. , X >. } : { <. E , E >. } --> B ) )
27	18, 26	mpbird 247	. . . 4 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> { <. O , X >. } : ( { E } X. { E } ) --> B )
28		fvex 6201	. . . . . . 7 |- ( Base ` R ) e. _V
29	10, 28	eqeltri 2697	. . . . . 6 |- B e. _V
30	29	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> B e. _V )
31		snex 4908	. . . . . . 7 |- { E } e. _V
32	31, 31	xpex 6962	. . . . . 6 |- ( { E } X. { E } ) e. _V
33	32	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( { E } X. { E } ) e. _V )
34	30, 33	elmapd 7871	. . . 4 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( { <. O , X >. } e. ( B ^m ( { E } X. { E } ) ) <-> { <. O , X >. } : ( { E } X. { E } ) --> B ) )
35	27, 34	mpbird 247	. . 3 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> { <. O , X >. } e. ( B ^m ( { E } X. { E } ) ) )
36		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. B )
37	36	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> Y e. B )
38	15, 37	fsnd 6179	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> { <. <. E , E >. , Y >. } : { <. E , E >. } --> B )
39	19	opeq1i 4405	. . . . . . . . 9 |- <. O , Y >. = <. <. E , E >. , Y >.
40	39	sneqi 4188	. . . . . . . 8 |- { <. O , Y >. } = { <. <. E , E >. , Y >. }
41	40	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( E e. V -> { <. O , Y >. } = { <. <. E , E >. , Y >. } )
42	41, 24	feq12d 6033	. . . . . 6 |- ( E e. V -> ( { <. O , Y >. } : ( { E } X. { E } ) --> B <-> { <. <. E , E >. , Y >. } : { <. E , E >. } --> B ) )
43	42	ad2antlr 763	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( { <. O , Y >. } : ( { E } X. { E } ) --> B <-> { <. <. E , E >. , Y >. } : { <. E , E >. } --> B ) )
44	38, 43	mpbird 247	. . . 4 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> { <. O , Y >. } : ( { E } X. { E } ) --> B )
45	30, 33	elmapd 7871	. . . 4 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( { <. O , Y >. } e. ( B ^m ( { E } X. { E } ) ) <-> { <. O , Y >. } : ( { E } X. { E } ) --> B ) )
46	44, 45	mpbird 247	. . 3 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> { <. O , Y >. } e. ( B ^m ( { E } X. { E } ) ) )
47	4, 10, 11, 12, 13, 13, 13, 35, 46	mamuval 20192	. 2 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( { <. O , X >. } ( R maMul <. { E } , { E } , { E } >. ) { <. O , Y >. } ) = ( x e. { E } , y e. { E } |-> ( R gsumg ( k e. { E } |-> ( ( x { <. O , X >. } k ) ( .r ` R ) ( k { <. O , Y >. } y ) ) ) ) ) )
48		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V ) -> E e. V )
49	48	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> E e. V )
50		eqid 2622	. . . . 5 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
51		ringcmn 18581	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> R e. CMnd )
52	51	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> R e. CMnd )
53		df-ov 6653	. . . . . . . . . 10 |- ( E { <. O , X >. } E ) = ( { <. O , X >. } ` <. E , E >. )
54	21	fveq1i 6192	. . . . . . . . . 10 |- ( { <. O , X >. } ` <. E , E >. ) = ( { <. <. E , E >. , X >. } ` <. E , E >. )
55	53, 54	eqtri 2644	. . . . . . . . 9 |- ( E { <. O , X >. } E ) = ( { <. <. E , E >. , X >. } ` <. E , E >. )
56	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Y e. B -> <. E , E >. e. _V )
57	56	anim2i 593	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X e. B /\ <. E , E >. e. _V ) )
58	57	ancomd 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( <. E , E >. e. _V /\ X e. B ) )
59		fvsng 6447	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( <. E , E >. e. _V /\ X e. B ) -> ( { <. <. E , E >. , X >. } ` <. E , E >. ) = X )
60	58, 59	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( { <. <. E , E >. , X >. } ` <. E , E >. ) = X )
61	60	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( { <. <. E , E >. , X >. } ` <. E , E >. ) = X )
62	55, 61	syl5eq 2668	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( E { <. O , X >. } E ) = X )
63	62, 17	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( E { <. O , X >. } E ) e. B )
64		df-ov 6653	. . . . . . . . . 10 |- ( E { <. O , Y >. } E ) = ( { <. O , Y >. } ` <. E , E >. )
65	40	fveq1i 6192	. . . . . . . . . 10 |- ( { <. O , Y >. } ` <. E , E >. ) = ( { <. <. E , E >. , Y >. } ` <. E , E >. )
66	64, 65	eqtri 2644	. . . . . . . . 9 |- ( E { <. O , Y >. } E ) = ( { <. <. E , E >. , Y >. } ` <. E , E >. )
67	14	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. B -> <. E , E >. e. _V )
68		fvsng 6447	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( <. E , E >. e. _V /\ Y e. B ) -> ( { <. <. E , E >. , Y >. } ` <. E , E >. ) = Y )
69	67, 68	sylan 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( { <. <. E , E >. , Y >. } ` <. E , E >. ) = Y )
70	69	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( { <. <. E , E >. , Y >. } ` <. E , E >. ) = Y )
71	66, 70	syl5eq 2668	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( E { <. O , Y >. } E ) = Y )
72	71, 37	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( E { <. O , Y >. } E ) e. B )
73	10, 11	ringcl 18561	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ ( E { <. O , X >. } E ) e. B /\ ( E { <. O , Y >. } E ) e. B ) -> ( ( E { <. O , X >. } E ) ( .r ` R ) ( E { <. O , Y >. } E ) ) e. B )
74	12, 63, 72, 73	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( E { <. O , X >. } E ) ( .r ` R ) ( E { <. O , Y >. } E ) ) e. B )
75		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( k = E -> ( E { <. O , X >. } k ) = ( E { <. O , X >. } E ) )
76		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( k = E -> ( k { <. O , Y >. } E ) = ( E { <. O , Y >. } E ) )
77	75, 76	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( k = E -> ( ( E { <. O , X >. } k ) ( .r ` R ) ( k { <. O , Y >. } E ) ) = ( ( E { <. O , X >. } E ) ( .r ` R ) ( E { <. O , Y >. } E ) ) )
78	10	eqcomi 2631	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` R ) = B
79	78	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( k = E -> ( Base ` R ) = B )
80	77, 79	eleq12d 2695	. . . . . . . 8 |- ( k = E -> ( ( ( E { <. O , X >. } k ) ( .r ` R ) ( k { <. O , Y >. } E ) ) e. ( Base ` R ) <-> ( ( E { <. O , X >. } E ) ( .r ` R ) ( E { <. O , Y >. } E ) ) e. B ) )
81	80	ralsng 4218	. . . . . . 7 |- ( E e. V -> ( A. k e. { E } ( ( E { <. O , X >. } k ) ( .r ` R ) ( k { <. O , Y >. } E ) ) e. ( Base ` R ) <-> ( ( E { <. O , X >. } E ) ( .r ` R ) ( E { <. O , Y >. } E ) ) e. B ) )
82	81	ad2antlr 763	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( A. k e. { E } ( ( E { <. O , X >. } k ) ( .r ` R ) ( k { <. O , Y >. } E ) ) e. ( Base ` R ) <-> ( ( E { <. O , X >. } E ) ( .r ` R ) ( E { <. O , Y >. } E ) ) e. B ) )
83	74, 82	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> A. k e. { E } ( ( E { <. O , X >. } k ) ( .r ` R ) ( k { <. O , Y >. } E ) ) e. ( Base ` R ) )
84	50, 52, 13, 83	gsummptcl 18366	. . . 4 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( R gsumg ( k e. { E } |-> ( ( E { <. O , X >. } k ) ( .r ` R ) ( k { <. O , Y >. } E ) ) ) ) e. ( Base ` R ) )
85		eqid 2622	. . . . 5 |- ( x e. { E } , y e. { E } |-> ( R gsumg ( k e. { E } |-> ( ( x { <. O , X >. } k ) ( .r ` R ) ( k { <. O , Y >. } y ) ) ) ) ) = ( x e. { E } , y e. { E } |-> ( R gsumg ( k e. { E } |-> ( ( x { <. O , X >. } k ) ( .r ` R ) ( k { <. O , Y >. } y ) ) ) ) )
86		oveq1 6657	. . . . . . . 8 |- ( x = E -> ( x { <. O , X >. } k ) = ( E { <. O , X >. } k ) )
87	86	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( x = E -> ( ( x { <. O , X >. } k ) ( .r ` R ) ( k { <. O , Y >. } y ) ) = ( ( E { <. O , X >. } k ) ( .r ` R ) ( k { <. O , Y >. } y ) ) )
88	87	mpteq2dv 4745	. . . . . 6 |- ( x = E -> ( k e. { E } |-> ( ( x { <. O , X >. } k ) ( .r ` R ) ( k { <. O , Y >. } y ) ) ) = ( k e. { E } |-> ( ( E { <. O , X >. } k ) ( .r ` R ) ( k { <. O , Y >. } y ) ) ) )
89	88	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( x = E -> ( R gsumg ( k e. { E } |-> ( ( x { <. O , X >. } k ) ( .r ` R ) ( k { <. O , Y >. } y ) ) ) ) = ( R gsumg ( k e. { E } |-> ( ( E { <. O , X >. } k ) ( .r ` R ) ( k { <. O , Y >. } y ) ) ) ) )
90		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( y = E -> ( k { <. O , Y >. } y ) = ( k { <. O , Y >. } E ) )
91	90	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( y = E -> ( ( E { <. O , X >. } k ) ( .r ` R ) ( k { <. O , Y >. } y ) ) = ( ( E { <. O , X >. } k ) ( .r ` R ) ( k { <. O , Y >. } E ) ) )
92	91	mpteq2dv 4745	. . . . . 6 |- ( y = E -> ( k e. { E } |-> ( ( E { <. O , X >. } k ) ( .r ` R ) ( k { <. O , Y >. } y ) ) ) = ( k e. { E } |-> ( ( E { <. O , X >. } k ) ( .r ` R ) ( k { <. O , Y >. } E ) ) ) )
93	92	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( y = E -> ( R gsumg ( k e. { E } |-> ( ( E { <. O , X >. } k ) ( .r ` R ) ( k { <. O , Y >. } y ) ) ) ) = ( R gsumg ( k e. { E } |-> ( ( E { <. O , X >. } k ) ( .r ` R ) ( k { <. O , Y >. } E ) ) ) ) )
94	85, 89, 93	mpt2sn 7268	. . . 4 |- ( ( E e. V /\ E e. V /\ ( R gsumg ( k e. { E } |-> ( ( E { <. O , X >. } k ) ( .r ` R ) ( k { <. O , Y >. } E ) ) ) ) e. ( Base ` R ) ) -> ( x e. { E } , y e. { E } |-> ( R gsumg ( k e. { E } |-> ( ( x { <. O , X >. } k ) ( .r ` R ) ( k { <. O , Y >. } y ) ) ) ) ) = { <. <. E , E >. , ( R gsumg ( k e. { E } |-> ( ( E { <. O , X >. } k ) ( .r ` R ) ( k { <. O , Y >. } E ) ) ) ) >. } )
95	49, 49, 84, 94	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( x e. { E } , y e. { E } |-> ( R gsumg ( k e. { E } |-> ( ( x { <. O , X >. } k ) ( .r ` R ) ( k { <. O , Y >. } y ) ) ) ) ) = { <. <. E , E >. , ( R gsumg ( k e. { E } |-> ( ( E { <. O , X >. } k ) ( .r ` R ) ( k { <. O , Y >. } E ) ) ) ) >. } )
96	19	eqcomi 2631	. . . . . 6 |- <. E , E >. = O
97	96	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> <. E , E >. = O )
98		ringmnd 18556	. . . . . . 7 |- ( R e. Ring -> R e. Mnd )
99	98	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> R e. Mnd )
100	10, 77	gsumsn 18354	. . . . . 6 |- ( ( R e. Mnd /\ E e. V /\ ( ( E { <. O , X >. } E ) ( .r ` R ) ( E { <. O , Y >. } E ) ) e. B ) -> ( R gsumg ( k e. { E } |-> ( ( E { <. O , X >. } k ) ( .r ` R ) ( k { <. O , Y >. } E ) ) ) ) = ( ( E { <. O , X >. } E ) ( .r ` R ) ( E { <. O , Y >. } E ) ) )
101	99, 49, 74, 100	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( R gsumg ( k e. { E } |-> ( ( E { <. O , X >. } k ) ( .r ` R ) ( k { <. O , Y >. } E ) ) ) ) = ( ( E { <. O , X >. } E ) ( .r ` R ) ( E { <. O , Y >. } E ) ) )
102	97, 101	opeq12d 4410	. . . 4 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> <. <. E , E >. , ( R gsumg ( k e. { E } |-> ( ( E { <. O , X >. } k ) ( .r ` R ) ( k { <. O , Y >. } E ) ) ) ) >. = <. O , ( ( E { <. O , X >. } E ) ( .r ` R ) ( E { <. O , Y >. } E ) ) >. )
103	102	sneqd 4189	. . 3 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> { <. <. E , E >. , ( R gsumg ( k e. { E } |-> ( ( E { <. O , X >. } k ) ( .r ` R ) ( k { <. O , Y >. } E ) ) ) ) >. } = { <. O , ( ( E { <. O , X >. } E ) ( .r ` R ) ( E { <. O , Y >. } E ) ) >. } )
104	62, 71	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( E { <. O , X >. } E ) ( .r ` R ) ( E { <. O , Y >. } E ) ) = ( X ( .r ` R ) Y ) )
105	104	opeq2d 4409	. . . 4 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> <. O , ( ( E { <. O , X >. } E ) ( .r ` R ) ( E { <. O , Y >. } E ) ) >. = <. O , ( X ( .r ` R ) Y ) >. )
106	105	sneqd 4189	. . 3 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> { <. O , ( ( E { <. O , X >. } E ) ( .r ` R ) ( E { <. O , Y >. } E ) ) >. } = { <. O , ( X ( .r ` R ) Y ) >. } )
107	95, 103, 106	3eqtrd 2660	. 2 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( x e. { E } , y e. { E } |-> ( R gsumg ( k e. { E } |-> ( ( x { <. O , X >. } k ) ( .r ` R ) ( k { <. O , Y >. } y ) ) ) ) ) = { <. O , ( X ( .r ` R ) Y ) >. } )
108	9, 47, 107	3eqtrd 2660	1 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( { <. O , X >. } ( .r ` A ) { <. O , Y >. } ) = { <. O , ( X ( .r ` R ) Y ) >. } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   {csn 4177   <.cop 4183   <.cotp 4185   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   Basecbs 15857   .rcmulr 15942   gsum_g cgsu 16101   Mndcmnd 17294  CMndccmn 18193   Ringcrg 18547   maMul cmmul 20189   Mat cmat 20213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-mamu 20190  df-mat 20214

This theorem is referenced by:  mat1dimcrng  20283