Theorem mavmul0 20358

Description: Multiplication of a 0-dimensional matrix with a 0-dimensional vector. (Contributed by AV, 28-Feb-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
mavmul0.t	|- .x. = ( R maVecMul <. N , N >. )

Assertion

Ref	Expression
mavmul0	|- ( ( N = (/) /\ R e. V ) -> ( (/) .x. (/) ) = (/) )

Proof of Theorem mavmul0

Dummy variables i j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . 3 |- ( N Mat R ) = ( N Mat R )
2		mavmul0.t	. . 3 |- .x. = ( R maVecMul <. N , N >. )
3		eqid 2622	. . 3 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
4		eqid 2622	. . 3 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
5		simpr 477	. . 3 |- ( ( N = (/) /\ R e. V ) -> R e. V )
6		0fin 8188	. . . . 5 |- (/) e. Fin
7		eleq1 2689	. . . . 5 |- ( N = (/) -> ( N e. Fin <-> (/) e. Fin ) )
8	6, 7	mpbiri 248	. . . 4 |- ( N = (/) -> N e. Fin )
9	8	adantr 481	. . 3 |- ( ( N = (/) /\ R e. V ) -> N e. Fin )
10		0ex 4790	. . . . 5 |- (/) e. _V
11		snidg 4206	. . . . 5 |- ( (/) e. _V -> (/) e. { (/) } )
12	10, 11	mp1i 13	. . . 4 |- ( ( N = (/) /\ R e. V ) -> (/) e. { (/) } )
13		oveq1 6657	. . . . . . 7 |- ( N = (/) -> ( N Mat R ) = ( (/) Mat R ) )
14	13	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( N = (/) /\ R e. V ) -> ( N Mat R ) = ( (/) Mat R ) )
15	14	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( ( N = (/) /\ R e. V ) -> ( Base ` ( N Mat R ) ) = ( Base ` ( (/) Mat R ) ) )
16		mat0dimbas0 20272	. . . . . 6 |- ( R e. V -> ( Base ` ( (/) Mat R ) ) = { (/) } )
17	16	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( N = (/) /\ R e. V ) -> ( Base ` ( (/) Mat R ) ) = { (/) } )
18	15, 17	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( N = (/) /\ R e. V ) -> ( Base ` ( N Mat R ) ) = { (/) } )
19	12, 18	eleqtrrd 2704	. . 3 |- ( ( N = (/) /\ R e. V ) -> (/) e. ( Base ` ( N Mat R ) ) )
20		eqidd 2623	. . . . . 6 |- ( N = (/) -> (/) = (/) )
21		el1o 7579	. . . . . 6 |- ( (/) e. 1o <-> (/) = (/) )
22	20, 21	sylibr 224	. . . . 5 |- ( N = (/) -> (/) e. 1o )
23		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( N = (/) -> ( ( Base ` R ) ^m N ) = ( ( Base ` R ) ^m (/) ) )
24		fvex 6201	. . . . . . 7 |- ( Base ` R ) e. _V
25		map0e 7895	. . . . . . 7 |- ( ( Base ` R ) e. _V -> ( ( Base ` R ) ^m (/) ) = 1o )
26	24, 25	mp1i 13	. . . . . 6 |- ( N = (/) -> ( ( Base ` R ) ^m (/) ) = 1o )
27	23, 26	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( N = (/) -> ( ( Base ` R ) ^m N ) = 1o )
28	22, 27	eleqtrrd 2704	. . . 4 |- ( N = (/) -> (/) e. ( ( Base ` R ) ^m N ) )
29	28	adantr 481	. . 3 |- ( ( N = (/) /\ R e. V ) -> (/) e. ( ( Base ` R ) ^m N ) )
30	1, 2, 3, 4, 5, 9, 19, 29	mavmulval 20351	. 2 |- ( ( N = (/) /\ R e. V ) -> ( (/) .x. (/) ) = ( i e. N |-> ( R gsumg ( j e. N |-> ( ( i (/) j ) ( .r ` R ) ( (/) ` j ) ) ) ) ) )
31		mpteq1 4737	. . . 4 |- ( N = (/) -> ( i e. N |-> ( R gsumg ( j e. N |-> ( ( i (/) j ) ( .r ` R ) ( (/) ` j ) ) ) ) ) = ( i e. (/) |-> ( R gsumg ( j e. N |-> ( ( i (/) j ) ( .r ` R ) ( (/) ` j ) ) ) ) ) )
32	31	adantr 481	. . 3 |- ( ( N = (/) /\ R e. V ) -> ( i e. N |-> ( R gsumg ( j e. N |-> ( ( i (/) j ) ( .r ` R ) ( (/) ` j ) ) ) ) ) = ( i e. (/) |-> ( R gsumg ( j e. N |-> ( ( i (/) j ) ( .r ` R ) ( (/) ` j ) ) ) ) ) )
33		mpt0 6021	. . 3 |- ( i e. (/) |-> ( R gsumg ( j e. N |-> ( ( i (/) j ) ( .r ` R ) ( (/) ` j ) ) ) ) ) = (/)
34	32, 33	syl6eq 2672	. 2 |- ( ( N = (/) /\ R e. V ) -> ( i e. N |-> ( R gsumg ( j e. N |-> ( ( i (/) j ) ( .r ` R ) ( (/) ` j ) ) ) ) ) = (/) )
35	30, 34	eqtrd 2656	1 |- ( ( N = (/) /\ R e. V ) -> ( (/) .x. (/) ) = (/) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   (/)c0 3915   {csn 4177   <.cop 4183   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1oc1o 7553   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   Basecbs 15857   .rcmulr 15942   gsum_g cgsu 16101   Mat cmat 20213   maVecMul cmvmul 20346

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-prds 16108  df-pws 16110  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-mat 20214  df-mvmul 20347

This theorem is referenced by:  mavmul0g  20359  cramer0  20496