Theorem metnrm 22665

Description: A metric space is normal. (Contributed by Jeff Hankins, 31-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 30-Sep-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
metnrm.j	|- J = ( MetOpen ` D )

Assertion

Ref	Expression
metnrm	|- ( D e. ( *Met ` X ) -> J e. Nrm )

Proof of Theorem metnrm

Dummy variables t s u v w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metnrm.j	. . 3 |- J = ( MetOpen ` D )
2	1	mopntop 22245	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> J e. Top )
3		eqid 2622	. . . . 5 |- ( u e. X |-> inf ( ran ( v e. x |-> ( u D v ) ) , RR* , < ) ) = ( u e. X |-> inf ( ran ( v e. x |-> ( u D v ) ) , RR* , < ) )
4		simp1 1061	. . . . 5 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ y e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> D e. ( *Met ` X ) )
5		simp2l 1087	. . . . 5 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ y e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> x e. ( Clsd ` J ) )
6		simp2r 1088	. . . . 5 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ y e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> y e. ( Clsd ` J ) )
7		simp3 1063	. . . . 5 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ y e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> ( x i^i y ) = (/) )
8		eqid 2622	. . . . 5 |- U_ s e. y ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( ( u e. X |-> inf ( ran ( v e. x |-> ( u D v ) ) , RR* , < ) ) ` s ) , 1 , ( ( u e. X |-> inf ( ran ( v e. x |-> ( u D v ) ) , RR* , < ) ) ` s ) ) / 2 ) ) = U_ s e. y ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( ( u e. X |-> inf ( ran ( v e. x |-> ( u D v ) ) , RR* , < ) ) ` s ) , 1 , ( ( u e. X |-> inf ( ran ( v e. x |-> ( u D v ) ) , RR* , < ) ) ` s ) ) / 2 ) )
9		eqid 2622	. . . . 5 |- ( u e. X |-> inf ( ran ( v e. y |-> ( u D v ) ) , RR* , < ) ) = ( u e. X |-> inf ( ran ( v e. y |-> ( u D v ) ) , RR* , < ) )
10		eqid 2622	. . . . 5 |- U_ t e. x ( t ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( ( u e. X |-> inf ( ran ( v e. y |-> ( u D v ) ) , RR* , < ) ) ` t ) , 1 , ( ( u e. X |-> inf ( ran ( v e. y |-> ( u D v ) ) , RR* , < ) ) ` t ) ) / 2 ) ) = U_ t e. x ( t ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( ( u e. X |-> inf ( ran ( v e. y |-> ( u D v ) ) , RR* , < ) ) ` t ) , 1 , ( ( u e. X |-> inf ( ran ( v e. y |-> ( u D v ) ) , RR* , < ) ) ` t ) ) / 2 ) )
11	3, 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	metnrmlem3 22664	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ y e. ( Clsd ` J ) ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> E. z e. J E. w e. J ( x C_ z /\ y C_ w /\ ( z i^i w ) = (/) ) )
12	11	3expia 1267	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ y e. ( Clsd ` J ) ) ) -> ( ( x i^i y ) = (/) -> E. z e. J E. w e. J ( x C_ z /\ y C_ w /\ ( z i^i w ) = (/) ) ) )
13	12	ralrimivva 2971	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> A. x e. ( Clsd ` J ) A. y e. ( Clsd ` J ) ( ( x i^i y ) = (/) -> E. z e. J E. w e. J ( x C_ z /\ y C_ w /\ ( z i^i w ) = (/) ) ) )
14		isnrm3 21163	. 2 |- ( J e. Nrm <-> ( J e. Top /\ A. x e. ( Clsd ` J ) A. y e. ( Clsd ` J ) ( ( x i^i y ) = (/) -> E. z e. J E. w e. J ( x C_ z /\ y C_ w /\ ( z i^i w ) = (/) ) ) ) )
15	2, 13, 14	sylanbrc 698	1 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> J e. Nrm )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650  infcinf 8347   1c1 9937   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   / cdiv 10684   2c2 11070   *Metcxmt 19731   ballcbl 19733   MetOpencmopn 19736   Topctop 20698   Clsdccld 20820   Nrmcnrm 21114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-ec 7744  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-icc 12182  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nrm 21121

This theorem is referenced by:  metreg  22666