Theorem metnrmlem3 22664

Description: Lemma for metnrm 22665. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
metdscn.f	|- F = ( x e. X |-> inf ( ran ( y e. S |-> ( x D y ) ) , RR* , < ) )
metdscn.j	|- J = ( MetOpen ` D )
metnrmlem.1	|- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )
metnrmlem.2	|- ( ph -> S e. ( Clsd ` J ) )
metnrmlem.3	|- ( ph -> T e. ( Clsd ` J ) )
metnrmlem.4	|- ( ph -> ( S i^i T ) = (/) )
metnrmlem.u	|- U = U_ t e. T ( t ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) )
metnrmlem.g	|- G = ( x e. X |-> inf ( ran ( y e. T |-> ( x D y ) ) , RR* , < ) )
metnrmlem.v	|- V = U_ s e. S ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) )

Assertion

Ref	Expression
metnrmlem3	|- ( ph -> E. z e. J E. w e. J ( S C_ z /\ T C_ w /\ ( z i^i w ) = (/) ) )

Distinct variable groups:   x, w, y, z   t, s, w, x, y, z, D   J, s, t, w, y, z   ph, s, t   G, s, t   T, s, t, w, x, y, z   S, s, t, w, x, y, z   U, s, w   X, s, t, w, x, y, z   F, s, t, w, z   w, V, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, w)   U( x, y, z, t)   F( x, y)   G( x, y, z, w)   J( x)   V( x, y, t, s)

Proof of Theorem metnrmlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metnrmlem.g	. . . 4 |- G = ( x e. X |-> inf ( ran ( y e. T |-> ( x D y ) ) , RR* , < ) )
2		metdscn.j	. . . 4 |- J = ( MetOpen ` D )
3		metnrmlem.1	. . . 4 |- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )
4		metnrmlem.3	. . . 4 |- ( ph -> T e. ( Clsd ` J ) )
5		metnrmlem.2	. . . 4 |- ( ph -> S e. ( Clsd ` J ) )
6		incom 3805	. . . . 5 |- ( T i^i S ) = ( S i^i T )
7		metnrmlem.4	. . . . 5 |- ( ph -> ( S i^i T ) = (/) )
8	6, 7	syl5eq 2668	. . . 4 |- ( ph -> ( T i^i S ) = (/) )
9		metnrmlem.v	. . . 4 |- V = U_ s e. S ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) )
10	1, 2, 3, 4, 5, 8, 9	metnrmlem2 22663	. . 3 |- ( ph -> ( V e. J /\ S C_ V ) )
11	10	simpld 475	. 2 |- ( ph -> V e. J )
12		metdscn.f	. . . 4 |- F = ( x e. X |-> inf ( ran ( y e. S |-> ( x D y ) ) , RR* , < ) )
13		metnrmlem.u	. . . 4 |- U = U_ t e. T ( t ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) )
14	12, 2, 3, 5, 4, 7, 13	metnrmlem2 22663	. . 3 |- ( ph -> ( U e. J /\ T C_ U ) )
15	14	simpld 475	. 2 |- ( ph -> U e. J )
16	10	simprd 479	. 2 |- ( ph -> S C_ V )
17	14	simprd 479	. 2 |- ( ph -> T C_ U )
18	9	ineq1i 3810	. . . 4 |- ( V i^i U ) = ( U_ s e. S ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i U )
19		iunin1 4585	. . . 4 |- U_ s e. S ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i U ) = ( U_ s e. S ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i U )
20	18, 19	eqtr4i 2647	. . 3 |- ( V i^i U ) = U_ s e. S ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i U )
21	13	ineq2i 3811	. . . . . . . 8 |- ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i U ) = ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i U_ t e. T ( t ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) ) )
22		iunin2 4584	. . . . . . . 8 |- U_ t e. T ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i ( t ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) ) ) = ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i U_ t e. T ( t ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) ) )
23	21, 22	eqtr4i 2647	. . . . . . 7 |- ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i U ) = U_ t e. T ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i ( t ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) ) )
24	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> D e. ( *Met ` X ) )
25		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- U. J = U. J
26	25	cldss 20833	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( S e. ( Clsd ` J ) -> S C_ U. J )
27	5, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> S C_ U. J )
28	2	mopnuni 22246	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> X = U. J )
29	3, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> X = U. J )
30	27, 29	sseqtr4d 3642	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> S C_ X )
31	30	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. S ) -> s e. X )
32	31	adantrr 753	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> s e. X )
33	25	cldss 20833	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( T e. ( Clsd ` J ) -> T C_ U. J )
34	4, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> T C_ U. J )
35	34, 29	sseqtr4d 3642	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> T C_ X )
36	35	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> t e. X )
37	36	adantrl 752	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> t e. X )
38	1, 2, 3, 4, 5, 8	metnrmlem1a 22661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ s e. S ) -> ( 0 < ( G ` s ) /\ if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) e. RR+ ) )
39	38	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ s e. S ) -> if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) e. RR+ )
40	39	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) e. RR+ )
41	40	rphalfcld 11884	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) e. RR+ )
42	41	rpxrd 11873	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) e. RR* )
43	12, 2, 3, 5, 4, 7	metnrmlem1a 22661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( 0 < ( F ` t ) /\ if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) e. RR+ ) )
44	43	adantrl 752	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( 0 < ( F ` t ) /\ if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) e. RR+ ) )
45	44	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) e. RR+ )
46	45	rphalfcld 11884	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) e. RR+ )
47	46	rpxrd 11873	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) e. RR* )
48	40	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) e. RR )
49	48	rehalfcld 11279	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) e. RR )
50	45	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) e. RR )
51	50	rehalfcld 11279	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) e. RR )
52		rexadd 12063	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) e. RR /\ ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) e. RR ) -> ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) +e ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) ) = ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) + ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) ) )
53	49, 51, 52	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) +e ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) ) = ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) + ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) ) )
54	48	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) e. CC )
55	50	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) e. CC )
56		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> 2 e. CC )
57		2ne0 11113	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 =/= 0
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> 2 =/= 0 )
59	54, 55, 56, 58	divdird 10839	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) + if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) / 2 ) = ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) + ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) ) )
60	53, 59	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) +e ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) ) = ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) + if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) / 2 ) )
61	1, 2, 3, 4, 5, 8	metnrmlem1 22662	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( t e. T /\ s e. S ) ) -> if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) <_ ( t D s ) )
62	61	ancom2s 844	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) <_ ( t D s ) )
63		xmetsym 22152	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ t e. X /\ s e. X ) -> ( t D s ) = ( s D t ) )
64	24, 37, 32, 63	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( t D s ) = ( s D t ) )
65	62, 64	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) <_ ( s D t ) )
66	12, 2, 3, 5, 4, 7	metnrmlem1 22662	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) <_ ( s D t ) )
67	40	rpxrd 11873	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) e. RR* )
68	45	rpxrd 11873	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) e. RR* )
69		xmetcl 22136	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ s e. X /\ t e. X ) -> ( s D t ) e. RR* )
70	24, 32, 37, 69	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( s D t ) e. RR* )
71		xle2add 12089	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) e. RR* /\ if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) e. RR* ) /\ ( ( s D t ) e. RR* /\ ( s D t ) e. RR* ) ) -> ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) <_ ( s D t ) /\ if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) <_ ( s D t ) ) -> ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) +e if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) <_ ( ( s D t ) +e ( s D t ) ) ) )
72	67, 68, 70, 70, 71	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) <_ ( s D t ) /\ if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) <_ ( s D t ) ) -> ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) +e if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) <_ ( ( s D t ) +e ( s D t ) ) ) )
73	65, 66, 72	mp2and 715	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) +e if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) <_ ( ( s D t ) +e ( s D t ) ) )
74	48, 50	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) + if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) e. RR )
75	74	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) + if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) e. CC )
76	75, 56, 58	divcan2d 10803	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( 2 x. ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) + if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) / 2 ) ) = ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) + if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) )
77		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 e. RR
78	74	rehalfcld 11279	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) + if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) / 2 ) e. RR )
79		rexmul 12101	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 2 e. RR /\ ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) + if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) / 2 ) e. RR ) -> ( 2 xe ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) + if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) / 2 ) ) = ( 2 x. ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) + if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) / 2 ) ) )
80	77, 78, 79	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( 2 xe ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) + if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) / 2 ) ) = ( 2 x. ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) + if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) / 2 ) ) )
81		rexadd 12063	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) e. RR /\ if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) e. RR ) -> ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) +e if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) = ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) + if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) )
82	48, 50, 81	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) +e if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) = ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) + if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) )
83	76, 80, 82	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( 2 xe ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) + if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) / 2 ) ) = ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) +e if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) )
84		x2times 12129	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( s D t ) e. RR* -> ( 2 xe ( s D t ) ) = ( ( s D t ) +e ( s D t ) ) )
85	70, 84	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( 2 xe ( s D t ) ) = ( ( s D t ) +e ( s D t ) ) )
86	73, 83, 85	3brtr4d 4685	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( 2 xe ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) + if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) / 2 ) ) <_ ( 2 xe ( s D t ) ) )
87	78	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) + if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) / 2 ) e. RR* )
88		2rp 11837	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 e. RR+
89	88	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> 2 e. RR+ )
90		xlemul2 12121	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) + if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) / 2 ) e. RR* /\ ( s D t ) e. RR* /\ 2 e. RR+ ) -> ( ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) + if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) / 2 ) <_ ( s D t ) <-> ( 2 xe ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) + if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) / 2 ) ) <_ ( 2 xe ( s D t ) ) ) )
91	87, 70, 89, 90	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) + if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) / 2 ) <_ ( s D t ) <-> ( 2 xe ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) + if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) / 2 ) ) <_ ( 2 xe ( s D t ) ) ) )
92	86, 91	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) + if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) ) / 2 ) <_ ( s D t ) )
93	60, 92	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) +e ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) ) <_ ( s D t ) )
94		bldisj 22203	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ s e. X /\ t e. X ) /\ ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) e. RR* /\ ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) e. RR* /\ ( ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) +e ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) ) <_ ( s D t ) ) ) -> ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i ( t ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) ) ) = (/) )
95	24, 32, 37, 42, 47, 93, 94	syl33anc 1341	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i ( t ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) ) ) = (/) )
96		eqimss 3657	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i ( t ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) ) ) = (/) -> ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i ( t ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) ) ) C_ (/) )
97	95, 96	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( s e. S /\ t e. T ) ) -> ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i ( t ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) ) ) C_ (/) )
98	97	anassrs 680	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. S ) /\ t e. T ) -> ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i ( t ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) ) ) C_ (/) )
99	98	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. S ) -> A. t e. T ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i ( t ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) ) ) C_ (/) )
100		iunss 4561	. . . . . . . 8 |- ( U_ t e. T ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i ( t ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) ) ) C_ (/) <-> A. t e. T ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i ( t ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) ) ) C_ (/) )
101	99, 100	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. S ) -> U_ t e. T ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i ( t ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( F ` t ) , 1 , ( F ` t ) ) / 2 ) ) ) C_ (/) )
102	23, 101	syl5eqss 3649	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. S ) -> ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i U ) C_ (/) )
103	102	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ph -> A. s e. S ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i U ) C_ (/) )
104		iunss 4561	. . . . 5 |- ( U_ s e. S ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i U ) C_ (/) <-> A. s e. S ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i U ) C_ (/) )
105	103, 104	sylibr 224	. . . 4 |- ( ph -> U_ s e. S ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i U ) C_ (/) )
106		ss0 3974	. . . 4 |- ( U_ s e. S ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i U ) C_ (/) -> U_ s e. S ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i U ) = (/) )
107	105, 106	syl 17	. . 3 |- ( ph -> U_ s e. S ( ( s ( ball ` D ) ( if ( 1 <_ ( G ` s ) , 1 , ( G ` s ) ) / 2 ) ) i^i U ) = (/) )
108	20, 107	syl5eq 2668	. 2 |- ( ph -> ( V i^i U ) = (/) )
109		sseq2 3627	. . . 4 |- ( z = V -> ( S C_ z <-> S C_ V ) )
110		ineq1 3807	. . . . 5 |- ( z = V -> ( z i^i w ) = ( V i^i w ) )
111	110	eqeq1d 2624	. . . 4 |- ( z = V -> ( ( z i^i w ) = (/) <-> ( V i^i w ) = (/) ) )
112	109, 111	3anbi13d 1401	. . 3 |- ( z = V -> ( ( S C_ z /\ T C_ w /\ ( z i^i w ) = (/) ) <-> ( S C_ V /\ T C_ w /\ ( V i^i w ) = (/) ) ) )
113		sseq2 3627	. . . 4 |- ( w = U -> ( T C_ w <-> T C_ U ) )
114		ineq2 3808	. . . . 5 |- ( w = U -> ( V i^i w ) = ( V i^i U ) )
115	114	eqeq1d 2624	. . . 4 |- ( w = U -> ( ( V i^i w ) = (/) <-> ( V i^i U ) = (/) ) )
116	113, 115	3anbi23d 1402	. . 3 |- ( w = U -> ( ( S C_ V /\ T C_ w /\ ( V i^i w ) = (/) ) <-> ( S C_ V /\ T C_ U /\ ( V i^i U ) = (/) ) ) )
117	112, 116	rspc2ev 3324	. 2 |- ( ( V e. J /\ U e. J /\ ( S C_ V /\ T C_ U /\ ( V i^i U ) = (/) ) ) -> E. z e. J E. w e. J ( S C_ z /\ T C_ w /\ ( z i^i w ) = (/) ) )
118	11, 15, 16, 17, 108, 117	syl113anc 1338	1 |- ( ph -> E. z e. J E. w e. J ( S C_ z /\ T C_ w /\ ( z i^i w ) = (/) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   U.cuni 4436   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650  infcinf 8347   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   / cdiv 10684   2c2 11070   RR+crp 11832   +ecxad 11944   xecxmu 11945   *Metcxmt 19731   ballcbl 19733   MetOpencmopn 19736   Clsdccld 20820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-ec 7744  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-icc 12182  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825

This theorem is referenced by:  metnrm  22665