Theorem mplsubglem 19434

Description: If A is an ideal of sets (a nonempty collection closed under subset and binary union) of the set D of finite bags (the primary applications being A = Fin and A = ~P B for some B), then the set of all power series whose coefficient functions are supported on an element of A is a subgroup of the set of all power series. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2015.) (Revised by AV, 16-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplsubglem.s	|- S = ( I mPwSer R )
mplsubglem.b	|- B = ( Base ` S )
mplsubglem.z	|- .0. = ( 0g ` R )
mplsubglem.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
mplsubglem.i	|- ( ph -> I e. W )
mplsubglem.0	|- ( ph -> (/) e. A )
mplsubglem.a	|- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( x u. y ) e. A )
mplsubglem.y	|- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y C_ x ) ) -> y e. A )
mplsubglem.u	|- ( ph -> U = { g e. B | ( g supp .0. ) e. A } )
mplsubglem.r	|- ( ph -> R e. Grp )

Assertion

Ref	Expression
mplsubglem	|- ( ph -> U e. (SubGrp ` S ) )

Distinct variable groups:   f, g, x, y, .0.   A, f, g, x, y   B, f, g   D, g   f, I   ph, x, y   S, f, g, y

Allowed substitution hints:   ph( f, g)   B( x, y)   D( x, y, f)   R( x, y, f, g)   S( x)   U( x, y, f, g)   I( x, y, g)   W( x, y, f, g)

Proof of Theorem mplsubglem

Dummy variables k u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplsubglem.u	. . 3 |- ( ph -> U = { g e. B | ( g supp .0. ) e. A } )
2		ssrab2 3687	. . 3 |- { g e. B | ( g supp .0. ) e. A } C_ B
3	1, 2	syl6eqss 3655	. 2 |- ( ph -> U C_ B )
4		mplsubglem.s	. . . . 5 |- S = ( I mPwSer R )
5		mplsubglem.i	. . . . 5 |- ( ph -> I e. W )
6		mplsubglem.r	. . . . 5 |- ( ph -> R e. Grp )
7		mplsubglem.d	. . . . 5 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
8		mplsubglem.z	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` R )
9		mplsubglem.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` S )
10	4, 5, 6, 7, 8, 9	psr0cl 19394	. . . 4 |- ( ph -> ( D X. { .0. } ) e. B )
11		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
12	11, 8	grpidcl 17450	. . . . . . . 8 |- ( R e. Grp -> .0. e. ( Base ` R ) )
13		fconst6g 6094	. . . . . . . 8 |- ( .0. e. ( Base ` R ) -> ( D X. { .0. } ) : D --> ( Base ` R ) )
14	6, 12, 13	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( D X. { .0. } ) : D --> ( Base ` R ) )
15		eldifi 3732	. . . . . . . . 9 |- ( u e. ( D \ (/) ) -> u e. D )
16		fvex 6201	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0g ` R ) e. _V
17	8, 16	eqeltri 2697	. . . . . . . . . 10 |- .0. e. _V
18	17	fvconst2 6469	. . . . . . . . 9 |- ( u e. D -> ( ( D X. { .0. } ) ` u ) = .0. )
19	15, 18	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( u e. ( D \ (/) ) -> ( ( D X. { .0. } ) ` u ) = .0. )
20	19	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. ( D \ (/) ) ) -> ( ( D X. { .0. } ) ` u ) = .0. )
21	14, 20	suppss 7325	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( D X. { .0. } ) supp .0. ) C_ (/) )
22		ss0 3974	. . . . . 6 |- ( ( ( D X. { .0. } ) supp .0. ) C_ (/) -> ( ( D X. { .0. } ) supp .0. ) = (/) )
23	21, 22	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( D X. { .0. } ) supp .0. ) = (/) )
24		mplsubglem.0	. . . . 5 |- ( ph -> (/) e. A )
25	23, 24	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ph -> ( ( D X. { .0. } ) supp .0. ) e. A )
26	1	eleq2d 2687	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( D X. { .0. } ) e. U <-> ( D X. { .0. } ) e. { g e. B | ( g supp .0. ) e. A } ) )
27		oveq1 6657	. . . . . . 7 |- ( g = ( D X. { .0. } ) -> ( g supp .0. ) = ( ( D X. { .0. } ) supp .0. ) )
28	27	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( g = ( D X. { .0. } ) -> ( ( g supp .0. ) e. A <-> ( ( D X. { .0. } ) supp .0. ) e. A ) )
29	28	elrab 3363	. . . . 5 |- ( ( D X. { .0. } ) e. { g e. B | ( g supp .0. ) e. A } <-> ( ( D X. { .0. } ) e. B /\ ( ( D X. { .0. } ) supp .0. ) e. A ) )
30	26, 29	syl6bb 276	. . . 4 |- ( ph -> ( ( D X. { .0. } ) e. U <-> ( ( D X. { .0. } ) e. B /\ ( ( D X. { .0. } ) supp .0. ) e. A ) ) )
31	10, 25, 30	mpbir2and 957	. . 3 |- ( ph -> ( D X. { .0. } ) e. U )
32		ne0i 3921	. . 3 |- ( ( D X. { .0. } ) e. U -> U =/= (/) )
33	31, 32	syl 17	. 2 |- ( ph -> U =/= (/) )
34		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( +g ` S ) = ( +g ` S )
35	6	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) -> R e. Grp )
36	1	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( u e. U <-> u e. { g e. B | ( g supp .0. ) e. A } ) )
37		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = u -> ( g supp .0. ) = ( u supp .0. ) )
38	37	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = u -> ( ( g supp .0. ) e. A <-> ( u supp .0. ) e. A ) )
39	38	elrab 3363	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. { g e. B | ( g supp .0. ) e. A } <-> ( u e. B /\ ( u supp .0. ) e. A ) )
40	36, 39	syl6bb 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( u e. U <-> ( u e. B /\ ( u supp .0. ) e. A ) ) )
41	40	biimpa 501	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> ( u e. B /\ ( u supp .0. ) e. A ) )
42	41	simpld 475	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> u e. B )
43	42	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) -> u e. B )
44	1	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> U = { g e. B | ( g supp .0. ) e. A } )
45	44	eleq2d 2687	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> ( v e. U <-> v e. { g e. B | ( g supp .0. ) e. A } ) )
46		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = v -> ( g supp .0. ) = ( v supp .0. ) )
47	46	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = v -> ( ( g supp .0. ) e. A <-> ( v supp .0. ) e. A ) )
48	47	elrab 3363	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. { g e. B | ( g supp .0. ) e. A } <-> ( v e. B /\ ( v supp .0. ) e. A ) )
49	45, 48	syl6bb 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> ( v e. U <-> ( v e. B /\ ( v supp .0. ) e. A ) ) )
50	49	biimpa 501	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) -> ( v e. B /\ ( v supp .0. ) e. A ) )
51	50	simpld 475	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) -> v e. B )
52	4, 9, 34, 35, 43, 51	psraddcl 19383	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) -> ( u ( +g ` S ) v ) e. B )
53		ovexd 6680	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) -> ( ( u ( +g ` S ) v ) supp .0. ) e. _V )
54	41	simprd 479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> ( u supp .0. ) e. A )
55	54	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) -> ( u supp .0. ) e. A )
56	50	simprd 479	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) -> ( v supp .0. ) e. A )
57		mplsubglem.a	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( x u. y ) e. A )
58	57	ralrimivva 2971	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A ( x u. y ) e. A )
59	58	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) -> A. x e. A A. y e. A ( x u. y ) e. A )
60		uneq1 3760	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( u supp .0. ) -> ( x u. y ) = ( ( u supp .0. ) u. y ) )
61	60	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( u supp .0. ) -> ( ( x u. y ) e. A <-> ( ( u supp .0. ) u. y ) e. A ) )
62		uneq2 3761	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( v supp .0. ) -> ( ( u supp .0. ) u. y ) = ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) ) )
63	62	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( v supp .0. ) -> ( ( ( u supp .0. ) u. y ) e. A <-> ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) ) e. A ) )
64	61, 63	rspc2va 3323	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( u supp .0. ) e. A /\ ( v supp .0. ) e. A ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x u. y ) e. A ) -> ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) ) e. A )
65	55, 56, 59, 64	syl21anc 1325	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) -> ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) ) e. A )
66		mplsubglem.y	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y C_ x ) ) -> y e. A )
67	66	expr 643	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( y C_ x -> y e. A ) )
68	67	alrimiv 1855	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> A. y ( y C_ x -> y e. A ) )
69	68	ralrimiva 2966	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. x e. A A. y ( y C_ x -> y e. A ) )
70	69	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) -> A. x e. A A. y ( y C_ x -> y e. A ) )
71		sseq2 3627	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) ) -> ( y C_ x <-> y C_ ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) ) ) )
72	71	imbi1d 331	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) ) -> ( ( y C_ x -> y e. A ) <-> ( y C_ ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) ) -> y e. A ) ) )
73	72	albidv 1849	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) ) -> ( A. y ( y C_ x -> y e. A ) <-> A. y ( y C_ ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) ) -> y e. A ) ) )
74	73	rspcv 3305	. . . . . . . 8 |- ( ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) ) e. A -> ( A. x e. A A. y ( y C_ x -> y e. A ) -> A. y ( y C_ ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) ) -> y e. A ) ) )
75	65, 70, 74	sylc 65	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) -> A. y ( y C_ ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) ) -> y e. A ) )
76	4, 11, 7, 9, 52	psrelbas 19379	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) -> ( u ( +g ` S ) v ) : D --> ( Base ` R ) )
77		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
78	4, 9, 77, 34, 43, 51	psradd 19382	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) -> ( u ( +g ` S ) v ) = ( u oF ( +g ` R ) v ) )
79	78	fveq1d 6193	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) -> ( ( u ( +g ` S ) v ) ` k ) = ( ( u oF ( +g ` R ) v ) ` k ) )
80	79	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) /\ k e. ( D \ ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) ) ) ) -> ( ( u ( +g ` S ) v ) ` k ) = ( ( u oF ( +g ` R ) v ) ` k ) )
81		eldifi 3732	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( D \ ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) ) ) -> k e. D )
82	4, 11, 7, 9, 42	psrelbas 19379	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> u : D --> ( Base ` R ) )
83	82	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) -> u : D --> ( Base ` R ) )
84	83	ffnd 6046	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) -> u Fn D )
85	4, 11, 7, 9, 51	psrelbas 19379	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) -> v : D --> ( Base ` R ) )
86	85	ffnd 6046	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) -> v Fn D )
87		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( NN0 ^m I ) e. _V
88	7, 87	rabex2 4815	. . . . . . . . . . . 12 |- D e. _V
89	88	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) -> D e. _V )
90		inidm 3822	. . . . . . . . . . 11 |- ( D i^i D ) = D
91		eqidd 2623	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) /\ k e. D ) -> ( u ` k ) = ( u ` k ) )
92		eqidd 2623	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) /\ k e. D ) -> ( v ` k ) = ( v ` k ) )
93	84, 86, 89, 89, 90, 91, 92	ofval 6906	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) /\ k e. D ) -> ( ( u oF ( +g ` R ) v ) ` k ) = ( ( u ` k ) ( +g ` R ) ( v ` k ) ) )
94	81, 93	sylan2 491	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) /\ k e. ( D \ ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) ) ) ) -> ( ( u oF ( +g ` R ) v ) ` k ) = ( ( u ` k ) ( +g ` R ) ( v ` k ) ) )
95		ssun1 3776	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u supp .0. ) C_ ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) )
96		sscon 3744	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u supp .0. ) C_ ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) ) -> ( D \ ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) ) ) C_ ( D \ ( u supp .0. ) ) )
97	95, 96	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( D \ ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) ) ) C_ ( D \ ( u supp .0. ) )
98	97	sseli 3599	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( D \ ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) ) ) -> k e. ( D \ ( u supp .0. ) ) )
99		ssid 3624	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u supp .0. ) C_ ( u supp .0. )
100	99	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> ( u supp .0. ) C_ ( u supp .0. ) )
101	88	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> D e. _V )
102	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> .0. e. _V )
103	82, 100, 101, 102	suppssr 7326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ k e. ( D \ ( u supp .0. ) ) ) -> ( u ` k ) = .0. )
104	103	adantlr 751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) /\ k e. ( D \ ( u supp .0. ) ) ) -> ( u ` k ) = .0. )
105	98, 104	sylan2 491	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) /\ k e. ( D \ ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) ) ) ) -> ( u ` k ) = .0. )
106		ssun2 3777	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v supp .0. ) C_ ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) )
107		sscon 3744	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v supp .0. ) C_ ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) ) -> ( D \ ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) ) ) C_ ( D \ ( v supp .0. ) ) )
108	106, 107	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( D \ ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) ) ) C_ ( D \ ( v supp .0. ) )
109	108	sseli 3599	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( D \ ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) ) ) -> k e. ( D \ ( v supp .0. ) ) )
110		ssid 3624	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v supp .0. ) C_ ( v supp .0. )
111	110	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) -> ( v supp .0. ) C_ ( v supp .0. ) )
112	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) -> .0. e. _V )
113	85, 111, 89, 112	suppssr 7326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) /\ k e. ( D \ ( v supp .0. ) ) ) -> ( v ` k ) = .0. )
114	109, 113	sylan2 491	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) /\ k e. ( D \ ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) ) ) ) -> ( v ` k ) = .0. )
115	105, 114	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) /\ k e. ( D \ ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) ) ) ) -> ( ( u ` k ) ( +g ` R ) ( v ` k ) ) = ( .0. ( +g ` R ) .0. ) )
116	11, 77, 8	grplid 17452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. Grp /\ .0. e. ( Base ` R ) ) -> ( .0. ( +g ` R ) .0. ) = .0. )
117	12, 116	mpdan 702	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. Grp -> ( .0. ( +g ` R ) .0. ) = .0. )
118	35, 117	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) -> ( .0. ( +g ` R ) .0. ) = .0. )
119	118	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) /\ k e. ( D \ ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) ) ) ) -> ( .0. ( +g ` R ) .0. ) = .0. )
120	115, 119	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) /\ k e. ( D \ ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) ) ) ) -> ( ( u ` k ) ( +g ` R ) ( v ` k ) ) = .0. )
121	80, 94, 120	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) /\ k e. ( D \ ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) ) ) ) -> ( ( u ( +g ` S ) v ) ` k ) = .0. )
122	76, 121	suppss 7325	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) -> ( ( u ( +g ` S ) v ) supp .0. ) C_ ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) ) )
123		sseq1 3626	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( ( u ( +g ` S ) v ) supp .0. ) -> ( y C_ ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) ) <-> ( ( u ( +g ` S ) v ) supp .0. ) C_ ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) ) ) )
124		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( ( u ( +g ` S ) v ) supp .0. ) -> ( y e. A <-> ( ( u ( +g ` S ) v ) supp .0. ) e. A ) )
125	123, 124	imbi12d 334	. . . . . . . 8 |- ( y = ( ( u ( +g ` S ) v ) supp .0. ) -> ( ( y C_ ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) ) -> y e. A ) <-> ( ( ( u ( +g ` S ) v ) supp .0. ) C_ ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) ) -> ( ( u ( +g ` S ) v ) supp .0. ) e. A ) ) )
126	125	spcgv 3293	. . . . . . 7 |- ( ( ( u ( +g ` S ) v ) supp .0. ) e. _V -> ( A. y ( y C_ ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) ) -> y e. A ) -> ( ( ( u ( +g ` S ) v ) supp .0. ) C_ ( ( u supp .0. ) u. ( v supp .0. ) ) -> ( ( u ( +g ` S ) v ) supp .0. ) e. A ) ) )
127	53, 75, 122, 126	syl3c 66	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) -> ( ( u ( +g ` S ) v ) supp .0. ) e. A )
128	1	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) -> U = { g e. B | ( g supp .0. ) e. A } )
129	128	eleq2d 2687	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) -> ( ( u ( +g ` S ) v ) e. U <-> ( u ( +g ` S ) v ) e. { g e. B | ( g supp .0. ) e. A } ) )
130		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( g = ( u ( +g ` S ) v ) -> ( g supp .0. ) = ( ( u ( +g ` S ) v ) supp .0. ) )
131	130	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( g = ( u ( +g ` S ) v ) -> ( ( g supp .0. ) e. A <-> ( ( u ( +g ` S ) v ) supp .0. ) e. A ) )
132	131	elrab 3363	. . . . . . 7 |- ( ( u ( +g ` S ) v ) e. { g e. B | ( g supp .0. ) e. A } <-> ( ( u ( +g ` S ) v ) e. B /\ ( ( u ( +g ` S ) v ) supp .0. ) e. A ) )
133	129, 132	syl6bb 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) -> ( ( u ( +g ` S ) v ) e. U <-> ( ( u ( +g ` S ) v ) e. B /\ ( ( u ( +g ` S ) v ) supp .0. ) e. A ) ) )
134	52, 127, 133	mpbir2and 957	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ v e. U ) -> ( u ( +g ` S ) v ) e. U )
135	134	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> A. v e. U ( u ( +g ` S ) v ) e. U )
136	4, 5, 6	psrgrp 19398	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. Grp )
137		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( invg ` S ) = ( invg ` S )
138	9, 137	grpinvcl 17467	. . . . . 6 |- ( ( S e. Grp /\ u e. B ) -> ( ( invg ` S ) ` u ) e. B )
139	136, 42, 138	syl2an2r 876	. . . . 5 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> ( ( invg ` S ) ` u ) e. B )
140		ovexd 6680	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> ( ( ( invg ` S ) ` u ) supp .0. ) e. _V )
141	69	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> A. x e. A A. y ( y C_ x -> y e. A ) )
142		sseq2 3627	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( u supp .0. ) -> ( y C_ x <-> y C_ ( u supp .0. ) ) )
143	142	imbi1d 331	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( u supp .0. ) -> ( ( y C_ x -> y e. A ) <-> ( y C_ ( u supp .0. ) -> y e. A ) ) )
144	143	albidv 1849	. . . . . . . 8 |- ( x = ( u supp .0. ) -> ( A. y ( y C_ x -> y e. A ) <-> A. y ( y C_ ( u supp .0. ) -> y e. A ) ) )
145	144	rspcv 3305	. . . . . . 7 |- ( ( u supp .0. ) e. A -> ( A. x e. A A. y ( y C_ x -> y e. A ) -> A. y ( y C_ ( u supp .0. ) -> y e. A ) ) )
146	54, 141, 145	sylc 65	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> A. y ( y C_ ( u supp .0. ) -> y e. A ) )
147	4, 11, 7, 9, 139	psrelbas 19379	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> ( ( invg ` S ) ` u ) : D --> ( Base ` R ) )
148	5	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> I e. W )
149	6	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> R e. Grp )
150		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( invg ` R ) = ( invg ` R )
151	4, 148, 149, 7, 150, 9, 137, 42	psrneg 19400	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> ( ( invg ` S ) ` u ) = ( ( invg ` R ) o. u ) )
152	151	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ k e. ( D \ ( u supp .0. ) ) ) -> ( ( invg ` S ) ` u ) = ( ( invg ` R ) o. u ) )
153	152	fveq1d 6193	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ k e. ( D \ ( u supp .0. ) ) ) -> ( ( ( invg ` S ) ` u ) ` k ) = ( ( ( invg ` R ) o. u ) ` k ) )
154		eldifi 3732	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( D \ ( u supp .0. ) ) -> k e. D )
155		fvco3 6275	. . . . . . . . 9 |- ( ( u : D --> ( Base ` R ) /\ k e. D ) -> ( ( ( invg ` R ) o. u ) ` k ) = ( ( invg ` R ) ` ( u ` k ) ) )
156	82, 154, 155	syl2an 494	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ k e. ( D \ ( u supp .0. ) ) ) -> ( ( ( invg ` R ) o. u ) ` k ) = ( ( invg ` R ) ` ( u ` k ) ) )
157	103	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ k e. ( D \ ( u supp .0. ) ) ) -> ( ( invg ` R ) ` ( u ` k ) ) = ( ( invg ` R ) ` .0. ) )
158	8, 150	grpinvid 17476	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. Grp -> ( ( invg ` R ) ` .0. ) = .0. )
159	149, 158	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> ( ( invg ` R ) ` .0. ) = .0. )
160	159	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ k e. ( D \ ( u supp .0. ) ) ) -> ( ( invg ` R ) ` .0. ) = .0. )
161	157, 160	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ k e. ( D \ ( u supp .0. ) ) ) -> ( ( invg ` R ) ` ( u ` k ) ) = .0. )
162	153, 156, 161	3eqtrd 2660	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ u e. U ) /\ k e. ( D \ ( u supp .0. ) ) ) -> ( ( ( invg ` S ) ` u ) ` k ) = .0. )
163	147, 162	suppss 7325	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> ( ( ( invg ` S ) ` u ) supp .0. ) C_ ( u supp .0. ) )
164		sseq1 3626	. . . . . . . 8 |- ( y = ( ( ( invg ` S ) ` u ) supp .0. ) -> ( y C_ ( u supp .0. ) <-> ( ( ( invg ` S ) ` u ) supp .0. ) C_ ( u supp .0. ) ) )
165		eleq1 2689	. . . . . . . 8 |- ( y = ( ( ( invg ` S ) ` u ) supp .0. ) -> ( y e. A <-> ( ( ( invg ` S ) ` u ) supp .0. ) e. A ) )
166	164, 165	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( y = ( ( ( invg ` S ) ` u ) supp .0. ) -> ( ( y C_ ( u supp .0. ) -> y e. A ) <-> ( ( ( ( invg ` S ) ` u ) supp .0. ) C_ ( u supp .0. ) -> ( ( ( invg ` S ) ` u ) supp .0. ) e. A ) ) )
167	166	spcgv 3293	. . . . . 6 |- ( ( ( ( invg ` S ) ` u ) supp .0. ) e. _V -> ( A. y ( y C_ ( u supp .0. ) -> y e. A ) -> ( ( ( ( invg ` S ) ` u ) supp .0. ) C_ ( u supp .0. ) -> ( ( ( invg ` S ) ` u ) supp .0. ) e. A ) ) )
168	140, 146, 163, 167	syl3c 66	. . . . 5 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> ( ( ( invg ` S ) ` u ) supp .0. ) e. A )
169	44	eleq2d 2687	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> ( ( ( invg ` S ) ` u ) e. U <-> ( ( invg ` S ) ` u ) e. { g e. B | ( g supp .0. ) e. A } ) )
170		oveq1 6657	. . . . . . . 8 |- ( g = ( ( invg ` S ) ` u ) -> ( g supp .0. ) = ( ( ( invg ` S ) ` u ) supp .0. ) )
171	170	eleq1d 2686	. . . . . . 7 |- ( g = ( ( invg ` S ) ` u ) -> ( ( g supp .0. ) e. A <-> ( ( ( invg ` S ) ` u ) supp .0. ) e. A ) )
172	171	elrab 3363	. . . . . 6 |- ( ( ( invg ` S ) ` u ) e. { g e. B | ( g supp .0. ) e. A } <-> ( ( ( invg ` S ) ` u ) e. B /\ ( ( ( invg ` S ) ` u ) supp .0. ) e. A ) )
173	169, 172	syl6bb 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> ( ( ( invg ` S ) ` u ) e. U <-> ( ( ( invg ` S ) ` u ) e. B /\ ( ( ( invg ` S ) ` u ) supp .0. ) e. A ) ) )
174	139, 168, 173	mpbir2and 957	. . . 4 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> ( ( invg ` S ) ` u ) e. U )
175	135, 174	jca 554	. . 3 |- ( ( ph /\ u e. U ) -> ( A. v e. U ( u ( +g ` S ) v ) e. U /\ ( ( invg ` S ) ` u ) e. U ) )
176	175	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ph -> A. u e. U ( A. v e. U ( u ( +g ` S ) v ) e. U /\ ( ( invg ` S ) ` u ) e. U ) )
177	9, 34, 137	issubg2 17609	. . 3 |- ( S e. Grp -> ( U e. (SubGrp ` S ) <-> ( U C_ B /\ U =/= (/) /\ A. u e. U ( A. v e. U ( u ( +g ` S ) v ) e. U /\ ( ( invg ` S ) ` u ) e. U ) ) ) )
178	136, 177	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( U e. (SubGrp ` S ) <-> ( U C_ B /\ U =/= (/) /\ A. u e. U ( A. v e. U ( u ( +g ` S ) v ) e. U /\ ( ( invg ` S ) ` u ) e. U ) ) ) )
179	3, 33, 176, 178	mpbir3and 1245	1 |- ( ph -> U e. (SubGrp ` S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   "cima 5117   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   supp csupp 7295   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   NNcn 11020   NN0cn0 11292   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   0gc0g 16100   Grpcgrp 17422   invgcminusg 17423  SubGrpcsubg 17588   mPwSer cmps 19351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-tset 15960  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-subg 17591  df-psr 19356

This theorem is referenced by:  mpllsslem  19435  mplsubg  19437