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Theorem mulgdirlem 17572
Description: Lemma for mulgdir 17573. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnndir.b |- B = ( Base ` G )
mulgnndir.t |- .x. = (.g ` G )
mulgnndir.p |- .+ = ( +g ` G )
Assertion
Ref Expression
mulgdirlem |- ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) )
Proof of Theorem mulgdirlem
StepHypRef Expression
1 simpl1 1064 . . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) -> G e. Grp )
2 grpmnd 17429 . . . . . 6 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
31, 2syl 17 . . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) -> G e. Mnd )
4 simprl 794 . . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) -> M e. NN0 )
5 simprr 796 . . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) -> N e. NN0 )
6 simpl23 1141 . . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) -> X e. B )
7 mulgnndir.b . . . . . 6 |- B = ( Base ` G )
8 mulgnndir.t . . . . . 6 |- .x. = (.g ` G )
9 mulgnndir.p . . . . . 6 |- .+ = ( +g ` G )
107, 8, 9mulgnn0dir 17571 . . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) )
113, 4, 5, 6, 10syl13anc 1328 . . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) )
1211anassrs 680 . . 3 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ M e. NN0 ) /\ N e. NN0 ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) )
13 simpl1 1064 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> G e. Grp )
14 simp22 1095 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) -> N e. ZZ )
1514adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> N e. ZZ )
16 simpl23 1141 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> X e. B )
17 eqid 2622 . . . . . . . . . . 11 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
187, 8, 17mulgneg 17560 . . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ /\ X e. B ) -> ( -u N .x. X ) = ( ( invg ` G ) ` ( N .x. X ) ) )
1913, 15, 16, 18syl3anc 1326 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> ( -u N .x. X ) = ( ( invg ` G ) ` ( N .x. X ) ) )
2019oveq1d 6665 . . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> ( ( -u N .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` ( N .x. X ) ) .+ ( N .x. X ) ) )
217, 8mulgcl 17559 . . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ /\ X e. B ) -> ( N .x. X ) e. B )
2213, 15, 16, 21syl3anc 1326 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> ( N .x. X ) e. B )
23 eqid 2622 . . . . . . . . . 10 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
247, 9, 23, 17grplinv 17468 . . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ ( N .x. X ) e. B ) -> ( ( ( invg ` G ) ` ( N .x. X ) ) .+ ( N .x. X ) ) = ( 0g ` G ) )
2513, 22, 24syl2anc 693 . . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` ( N .x. X ) ) .+ ( N .x. X ) ) = ( 0g ` G ) )
2620, 25eqtrd 2656 . . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> ( ( -u N .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) = ( 0g ` G ) )
2726oveq2d 6666 . . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> ( ( ( M + N ) .x. X ) .+ ( ( -u N .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) ) = ( ( ( M + N ) .x. X ) .+ ( 0g ` G ) ) )
28 simpl3 1066 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> ( M + N ) e. NN0 )
29 nn0z 11400 . . . . . . . . 9 |- ( ( M + N ) e. NN0 -> ( M + N ) e. ZZ )
3028, 29syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> ( M + N ) e. ZZ )
317, 8mulgcl 17559 . . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ ( M + N ) e. ZZ /\ X e. B ) -> ( ( M + N ) .x. X ) e. B )
3213, 30, 16, 31syl3anc 1326 . . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> ( ( M + N ) .x. X ) e. B )
337, 9, 23grprid 17453 . . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( M + N ) .x. X ) e. B ) -> ( ( ( M + N ) .x. X ) .+ ( 0g ` G ) ) = ( ( M + N ) .x. X ) )
3413, 32, 33syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> ( ( ( M + N ) .x. X ) .+ ( 0g ` G ) ) = ( ( M + N ) .x. X ) )
3527, 34eqtrd 2656 . . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> ( ( ( M + N ) .x. X ) .+ ( ( -u N .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) ) = ( ( M + N ) .x. X ) )
36 nn0z 11400 . . . . . . . . 9 |- ( -u N e. NN0 -> -u N e. ZZ )
3736ad2antll 765 . . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> -u N e. ZZ )
387, 8mulgcl 17559 . . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ -u N e. ZZ /\ X e. B ) -> ( -u N .x. X ) e. B )
3913, 37, 16, 38syl3anc 1326 . . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> ( -u N .x. X ) e. B )
407, 9grpass 17431 . . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( ( M + N ) .x. X ) e. B /\ ( -u N .x. X ) e. B /\ ( N .x. X ) e. B ) ) -> ( ( ( ( M + N ) .x. X ) .+ ( -u N .x. X ) ) .+ ( N .x. X ) ) = ( ( ( M + N ) .x. X ) .+ ( ( -u N .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) ) )
4113, 32, 39, 22, 40syl13anc 1328 . . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> ( ( ( ( M + N ) .x. X ) .+ ( -u N .x. X ) ) .+ ( N .x. X ) ) = ( ( ( M + N ) .x. X ) .+ ( ( -u N .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) ) )
4213, 2syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> G e. Mnd )
43 simprr 796 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> -u N e. NN0 )
447, 8, 9mulgnn0dir 17571 . . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Mnd /\ ( ( M + N ) e. NN0 /\ -u N e. NN0 /\ X e. B ) ) -> ( ( ( M + N ) + -u N ) .x. X ) = ( ( ( M + N ) .x. X ) .+ ( -u N .x. X ) ) )
4542, 28, 43, 16, 44syl13anc 1328 . . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> ( ( ( M + N ) + -u N ) .x. X ) = ( ( ( M + N ) .x. X ) .+ ( -u N .x. X ) ) )
46 simp21 1094 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) -> M e. ZZ )
4746zcnd 11483 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) -> M e. CC )
4814zcnd 11483 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) -> N e. CC )
4947, 48addcld 10059 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) -> ( M + N ) e. CC )
5049adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> ( M + N ) e. CC )
5148adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> N e. CC )
5250, 51negsubd 10398 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> ( ( M + N ) + -u N ) = ( ( M + N ) - N ) )
5347adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> M e. CC )
5453, 51pncand 10393 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> ( ( M + N ) - N ) = M )
5552, 54eqtrd 2656 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> ( ( M + N ) + -u N ) = M )
5655oveq1d 6665 . . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> ( ( ( M + N ) + -u N ) .x. X ) = ( M .x. X ) )
5745, 56eqtr3d 2658 . . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> ( ( ( M + N ) .x. X ) .+ ( -u N .x. X ) ) = ( M .x. X ) )
5857oveq1d 6665 . . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> ( ( ( ( M + N ) .x. X ) .+ ( -u N .x. X ) ) .+ ( N .x. X ) ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) )
5941, 58eqtr3d 2658 . . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> ( ( ( M + N ) .x. X ) .+ ( ( -u N .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) )
6035, 59eqtr3d 2658 . . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ -u N e. NN0 ) ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) )
6160anassrs 680 . . 3 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ M e. NN0 ) /\ -u N e. NN0 ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) )
62 elznn0 11392 . . . . . 6 |- ( N e. ZZ <-> ( N e. RR /\ ( N e. NN0 \/ -u N e. NN0 ) ) )
6362simprbi 480 . . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( N e. NN0 \/ -u N e. NN0 ) )
6414, 63syl 17 . . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) -> ( N e. NN0 \/ -u N e. NN0 ) )
6564adantr 481 . . 3 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ M e. NN0 ) -> ( N e. NN0 \/ -u N e. NN0 ) )
6612, 61, 65mpjaodan 827 . 2 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ M e. NN0 ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) )
67 simpl1 1064 . . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> G e. Grp )
6846adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> M e. ZZ )
69 simpl23 1141 . . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> X e. B )
707, 8mulgcl 17559 . . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ M e. ZZ /\ X e. B ) -> ( M .x. X ) e. B )
7167, 68, 69, 70syl3anc 1326 . . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> ( M .x. X ) e. B )
7268znegcld 11484 . . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> -u M e. ZZ )
737, 8mulgcl 17559 . . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ -u M e. ZZ /\ X e. B ) -> ( -u M .x. X ) e. B )
7467, 72, 69, 73syl3anc 1326 . . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> ( -u M .x. X ) e. B )
75293ad2ant3 1084 . . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) -> ( M + N ) e. ZZ )
7675adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> ( M + N ) e. ZZ )
7767, 76, 69, 31syl3anc 1326 . . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> ( ( M + N ) .x. X ) e. B )
787, 9grpass 17431 . . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( M .x. X ) e. B /\ ( -u M .x. X ) e. B /\ ( ( M + N ) .x. X ) e. B ) ) -> ( ( ( M .x. X ) .+ ( -u M .x. X ) ) .+ ( ( M + N ) .x. X ) ) = ( ( M .x. X ) .+ ( ( -u M .x. X ) .+ ( ( M + N ) .x. X ) ) ) )
7967, 71, 74, 77, 78syl13anc 1328 . . 3 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> ( ( ( M .x. X ) .+ ( -u M .x. X ) ) .+ ( ( M + N ) .x. X ) ) = ( ( M .x. X ) .+ ( ( -u M .x. X ) .+ ( ( M + N ) .x. X ) ) ) )
807, 8, 17mulgneg 17560 . . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ M e. ZZ /\ X e. B ) -> ( -u M .x. X ) = ( ( invg ` G ) ` ( M .x. X ) ) )
8167, 68, 69, 80syl3anc 1326 . . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> ( -u M .x. X ) = ( ( invg ` G ) ` ( M .x. X ) ) )
8281oveq2d 6666 . . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> ( ( M .x. X ) .+ ( -u M .x. X ) ) = ( ( M .x. X ) .+ ( ( invg ` G ) ` ( M .x. X ) ) ) )
837, 9, 23, 17grprinv 17469 . . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( M .x. X ) e. B ) -> ( ( M .x. X ) .+ ( ( invg ` G ) ` ( M .x. X ) ) ) = ( 0g ` G ) )
8467, 71, 83syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> ( ( M .x. X ) .+ ( ( invg ` G ) ` ( M .x. X ) ) ) = ( 0g ` G ) )
8582, 84eqtrd 2656 . . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> ( ( M .x. X ) .+ ( -u M .x. X ) ) = ( 0g ` G ) )
8685oveq1d 6665 . . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> ( ( ( M .x. X ) .+ ( -u M .x. X ) ) .+ ( ( M + N ) .x. X ) ) = ( ( 0g ` G ) .+ ( ( M + N ) .x. X ) ) )
877, 9, 23grplid 17452 . . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( M + N ) .x. X ) e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .+ ( ( M + N ) .x. X ) ) = ( ( M + N ) .x. X ) )
8867, 77, 87syl2anc 693 . . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> ( ( 0g ` G ) .+ ( ( M + N ) .x. X ) ) = ( ( M + N ) .x. X ) )
8986, 88eqtrd 2656 . . 3 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> ( ( ( M .x. X ) .+ ( -u M .x. X ) ) .+ ( ( M + N ) .x. X ) ) = ( ( M + N ) .x. X ) )
9067, 2syl 17 . . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> G e. Mnd )
91 simpr 477 . . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> -u M e. NN0 )
92 simpl3 1066 . . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> ( M + N ) e. NN0 )
937, 8, 9mulgnn0dir 17571 . . . . . 6 |- ( ( G e. Mnd /\ ( -u M e. NN0 /\ ( M + N ) e. NN0 /\ X e. B ) ) -> ( ( -u M + ( M + N ) ) .x. X ) = ( ( -u M .x. X ) .+ ( ( M + N ) .x. X ) ) )
9490, 91, 92, 69, 93syl13anc 1328 . . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> ( ( -u M + ( M + N ) ) .x. X ) = ( ( -u M .x. X ) .+ ( ( M + N ) .x. X ) ) )
9547adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> M e. CC )
9695negcld 10379 . . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> -u M e. CC )
9749adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> ( M + N ) e. CC )
9896, 97addcomd 10238 . . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> ( -u M + ( M + N ) ) = ( ( M + N ) + -u M ) )
9997, 95negsubd 10398 . . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> ( ( M + N ) + -u M ) = ( ( M + N ) - M ) )
10048adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> N e. CC )
10195, 100pncan2d 10394 . . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> ( ( M + N ) - M ) = N )
10298, 99, 1013eqtrd 2660 . . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> ( -u M + ( M + N ) ) = N )
103102oveq1d 6665 . . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> ( ( -u M + ( M + N ) ) .x. X ) = ( N .x. X ) )
10494, 103eqtr3d 2658 . . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> ( ( -u M .x. X ) .+ ( ( M + N ) .x. X ) ) = ( N .x. X ) )
105104oveq2d 6666 . . 3 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> ( ( M .x. X ) .+ ( ( -u M .x. X ) .+ ( ( M + N ) .x. X ) ) ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) )
10679, 89, 1053eqtr3d 2664 . 2 |- ( ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) /\ -u M e. NN0 ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) )
107 elznn0 11392 . . . 4 |- ( M e. ZZ <-> ( M e. RR /\ ( M e. NN0 \/ -u M e. NN0 ) ) )
108107simprbi 480 . . 3 |- ( M e. ZZ -> ( M e. NN0 \/ -u M e. NN0 ) )
10946, 108syl 17 . 2 |- ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) -> ( M e. NN0 \/ -u M e. NN0 ) )
11066, 106, 109mpjaodan 827 1 |- ( ( G e. Grp /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ X e. B ) /\ ( M + N ) e. NN0 ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   + caddc 9939   - cmin 10266   -ucneg 10267   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   0gc0g 16100   Mndcmnd 17294   Grpcgrp 17422   invgcminusg 17423  .gcmg 17540
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541
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