Theorem znegcld 11484

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	|- ( ph -> A e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
znegcld	|- ( ph -> -u A e. ZZ )

Proof of Theorem znegcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 |- ( ph -> A e. ZZ )
2		znegcl 11412	. 2 |- ( A e. ZZ -> -u A e. ZZ )
3	1, 2	syl 17	1 |- ( ph -> -u A e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1990   -ucneg 10267   ZZcz 11377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-z 11378

This theorem is referenced by:  znnn0nn  11489  zriotaneg  11491  zsupss  11777  ceicl  12642  modnegd  12725  expaddzlem  12903  climshft2  14313  fsumshftm  14513  eftlub  14839  dvdsadd2b  15028  bitscmp  15160  bitsf1  15168  bitsres  15195  modgcd  15253  pcneg  15578  gznegcl  15639  gzcjcl  15640  4sqlem10  15651  mulgdirlem  17572  mulgdir  17573  mulgmodid  17581  subgmulg  17608  zringlpirlem3  19834  aannenlem1  24083  geolim3  24094  aaliou3lem1  24097  aaliou3lem2  24098  aaliou3lem3  24099  aaliou3lem5  24102  aaliou3lem6  24103  aaliou3lem7  24104  ulmshft  24144  sineq0  24273  wilthlem1  24794  lgseisenlem2  25101  2sqlem4  25146  padicabvcxp  25321  numdenneg  29563  archirngz  29743  archiabllem1b  29746  archiabllem2c  29749  mdetlap  29898  qqhval2lem  30025  breprexplemc  30710  knoppndvlem1  32503  knoppndvlem2  32504  knoppndvlem7  32509  knoppndvlem14  32516  knoppndvlem16  32518  knoppndvlem17  32519  knoppndvlem19  32521  knoppndvlem21  32523  ltflcei  33397  cntotbnd  33595  pellexlem5  37397  pell1234qrreccl  37418  pellfund14  37462  congsub  37537  acongeq  37550  dvdsacongtr  37551  jm2.19  37560  jm2.25  37566  jm2.26lem3  37568  dvradcnv2  38546  binomcxplemnotnn0  38555  sineq0ALT  39173  fourierdlem41  40365  fourierdlem48  40371  fourierdlem49  40372  fourierdlem64  40387  fourierdlem89  40412  fourierdlem91  40414  fourierdlem97  40420  fourierdlem103  40426  etransclem9  40460  etransclem35  40486  etransclem41  40492  etransclem47  40498