Theorem mulmarep1el 20378

Description: Element by element multiplication of a matrix with an identity matrix with a column replaced by a vector. (Contributed by AV, 16-Feb-2019.) (Revised by AV, 26-Feb-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
marepvcl.a	|- A = ( N Mat R )
marepvcl.b	|- B = ( Base ` A )
marepvcl.v	|- V = ( ( Base ` R ) ^m N )
ma1repvcl.1	|- .1. = ( 1r ` A )
mulmarep1el.0	|- .0. = ( 0g ` R )
mulmarep1el.e	|- E = ( ( .1. ( N matRepV R ) C ) ` K )

Assertion

Ref	Expression
mulmarep1el	|- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ C e. V /\ K e. N ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ L e. N ) ) -> ( ( I X L ) ( .r ` R ) ( L E J ) ) = if ( J = K , ( ( I X L ) ( .r ` R ) ( C ` L ) ) , if ( J = L , ( I X L ) , .0. ) ) )

Proof of Theorem mulmarep1el

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1063	. . . . 5 |- ( ( I e. N /\ J e. N /\ L e. N ) -> L e. N )
2		simp2 1062	. . . . 5 |- ( ( I e. N /\ J e. N /\ L e. N ) -> J e. N )
3	1, 2	jca 554	. . . 4 |- ( ( I e. N /\ J e. N /\ L e. N ) -> ( L e. N /\ J e. N ) )
4		marepvcl.a	. . . . 5 |- A = ( N Mat R )
5		marepvcl.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` A )
6		marepvcl.v	. . . . 5 |- V = ( ( Base ` R ) ^m N )
7		ma1repvcl.1	. . . . 5 |- .1. = ( 1r ` A )
8		mulmarep1el.0	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` R )
9		mulmarep1el.e	. . . . 5 |- E = ( ( .1. ( N matRepV R ) C ) ` K )
10	4, 5, 6, 7, 8, 9	ma1repveval 20377	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ C e. V /\ K e. N ) /\ ( L e. N /\ J e. N ) ) -> ( L E J ) = if ( J = K , ( C ` L ) , if ( J = L , ( 1r ` R ) , .0. ) ) )
11	3, 10	syl3an3 1361	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ C e. V /\ K e. N ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ L e. N ) ) -> ( L E J ) = if ( J = K , ( C ` L ) , if ( J = L , ( 1r ` R ) , .0. ) ) )
12	11	oveq2d 6666	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ C e. V /\ K e. N ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ L e. N ) ) -> ( ( I X L ) ( .r ` R ) ( L E J ) ) = ( ( I X L ) ( .r ` R ) if ( J = K , ( C ` L ) , if ( J = L , ( 1r ` R ) , .0. ) ) ) )
13		ovif2 6738	. . 3 |- ( ( I X L ) ( .r ` R ) if ( J = K , ( C ` L ) , if ( J = L , ( 1r ` R ) , .0. ) ) ) = if ( J = K , ( ( I X L ) ( .r ` R ) ( C ` L ) ) , ( ( I X L ) ( .r ` R ) if ( J = L , ( 1r ` R ) , .0. ) ) )
14	13	a1i 11	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ C e. V /\ K e. N ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ L e. N ) ) -> ( ( I X L ) ( .r ` R ) if ( J = K , ( C ` L ) , if ( J = L , ( 1r ` R ) , .0. ) ) ) = if ( J = K , ( ( I X L ) ( .r ` R ) ( C ` L ) ) , ( ( I X L ) ( .r ` R ) if ( J = L , ( 1r ` R ) , .0. ) ) ) )
15		ovif2 6738	. . . 4 |- ( ( I X L ) ( .r ` R ) if ( J = L , ( 1r ` R ) , .0. ) ) = if ( J = L , ( ( I X L ) ( .r ` R ) ( 1r ` R ) ) , ( ( I X L ) ( .r ` R ) .0. ) )
16		simp1 1061	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ C e. V /\ K e. N ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ L e. N ) ) -> R e. Ring )
17		simp1 1061	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. N /\ J e. N /\ L e. N ) -> I e. N )
18	17	3ad2ant3 1084	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ C e. V /\ K e. N ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ L e. N ) ) -> I e. N )
19	1	3ad2ant3 1084	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ C e. V /\ K e. N ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ L e. N ) ) -> L e. N )
20	5	eleq2i 2693	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. B <-> X e. ( Base ` A ) )
21	20	biimpi 206	. . . . . . . . 9 |- ( X e. B -> X e. ( Base ` A ) )
22	21	3ad2ant1 1082	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. B /\ C e. V /\ K e. N ) -> X e. ( Base ` A ) )
23	22	3ad2ant2 1083	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ C e. V /\ K e. N ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ L e. N ) ) -> X e. ( Base ` A ) )
24		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
25	4, 24	matecl 20231	. . . . . . 7 |- ( ( I e. N /\ L e. N /\ X e. ( Base ` A ) ) -> ( I X L ) e. ( Base ` R ) )
26	18, 19, 23, 25	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ C e. V /\ K e. N ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ L e. N ) ) -> ( I X L ) e. ( Base ` R ) )
27		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
28		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
29	24, 27, 28	ringridm 18572	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ ( I X L ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( I X L ) ( .r ` R ) ( 1r ` R ) ) = ( I X L ) )
30	16, 26, 29	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ C e. V /\ K e. N ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ L e. N ) ) -> ( ( I X L ) ( .r ` R ) ( 1r ` R ) ) = ( I X L ) )
31	24, 27, 8	ringrz 18588	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ ( I X L ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( I X L ) ( .r ` R ) .0. ) = .0. )
32	16, 26, 31	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ C e. V /\ K e. N ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ L e. N ) ) -> ( ( I X L ) ( .r ` R ) .0. ) = .0. )
33	30, 32	ifeq12d 4106	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ C e. V /\ K e. N ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ L e. N ) ) -> if ( J = L , ( ( I X L ) ( .r ` R ) ( 1r ` R ) ) , ( ( I X L ) ( .r ` R ) .0. ) ) = if ( J = L , ( I X L ) , .0. ) )
34	15, 33	syl5eq 2668	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ C e. V /\ K e. N ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ L e. N ) ) -> ( ( I X L ) ( .r ` R ) if ( J = L , ( 1r ` R ) , .0. ) ) = if ( J = L , ( I X L ) , .0. ) )
35	34	ifeq2d 4105	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ C e. V /\ K e. N ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ L e. N ) ) -> if ( J = K , ( ( I X L ) ( .r ` R ) ( C ` L ) ) , ( ( I X L ) ( .r ` R ) if ( J = L , ( 1r ` R ) , .0. ) ) ) = if ( J = K , ( ( I X L ) ( .r ` R ) ( C ` L ) ) , if ( J = L , ( I X L ) , .0. ) ) )
36	12, 14, 35	3eqtrd 2660	1 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ C e. V /\ K e. N ) /\ ( I e. N /\ J e. N /\ L e. N ) ) -> ( ( I X L ) ( .r ` R ) ( L E J ) ) = if ( J = K , ( ( I X L ) ( .r ` R ) ( C ` L ) ) , if ( J = L , ( I X L ) , .0. ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   ifcif 4086   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Basecbs 15857   .rcmulr 15942   0gc0g 16100   1rcur 18501   Ringcrg 18547   Mat cmat 20213   matRepV cmatrepV 20363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-mamu 20190  df-mat 20214  df-marepv 20365

This theorem is referenced by:  mulmarep1gsum1  20379  mulmarep1gsum2  20380