Theorem mzpexpmpt 37308

Description: Raise a polynomial function to a (fixed) exponent. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mzpexpmpt	|- ( ( ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) e. (mzPoly ` V ) /\ D e. NN0 ) -> ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( A ^ D ) ) e. (mzPoly ` V ) )

Distinct variable groups:   x, V   x, D

Allowed substitution hint:   A( x)

Proof of Theorem mzpexpmpt

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( a = 0 -> ( A ^ a ) = ( A ^ 0 ) )
2	1	mpteq2dv 4745	. . . . 5 |- ( a = 0 -> ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( A ^ a ) ) = ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( A ^ 0 ) ) )
3	2	eleq1d 2686	. . . 4 |- ( a = 0 -> ( ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( A ^ a ) ) e. (mzPoly ` V ) <-> ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( A ^ 0 ) ) e. (mzPoly ` V ) ) )
4	3	imbi2d 330	. . 3 |- ( a = 0 -> ( ( ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) e. (mzPoly ` V ) -> ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( A ^ a ) ) e. (mzPoly ` V ) ) <-> ( ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) e. (mzPoly ` V ) -> ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( A ^ 0 ) ) e. (mzPoly ` V ) ) ) )
5		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( a = b -> ( A ^ a ) = ( A ^ b ) )
6	5	mpteq2dv 4745	. . . . 5 |- ( a = b -> ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( A ^ a ) ) = ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( A ^ b ) ) )
7	6	eleq1d 2686	. . . 4 |- ( a = b -> ( ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( A ^ a ) ) e. (mzPoly ` V ) <-> ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( A ^ b ) ) e. (mzPoly ` V ) ) )
8	7	imbi2d 330	. . 3 |- ( a = b -> ( ( ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) e. (mzPoly ` V ) -> ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( A ^ a ) ) e. (mzPoly ` V ) ) <-> ( ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) e. (mzPoly ` V ) -> ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( A ^ b ) ) e. (mzPoly ` V ) ) ) )
9		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( a = ( b + 1 ) -> ( A ^ a ) = ( A ^ ( b + 1 ) ) )
10	9	mpteq2dv 4745	. . . . 5 |- ( a = ( b + 1 ) -> ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( A ^ a ) ) = ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( A ^ ( b + 1 ) ) ) )
11	10	eleq1d 2686	. . . 4 |- ( a = ( b + 1 ) -> ( ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( A ^ a ) ) e. (mzPoly ` V ) <-> ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( A ^ ( b + 1 ) ) ) e. (mzPoly ` V ) ) )
12	11	imbi2d 330	. . 3 |- ( a = ( b + 1 ) -> ( ( ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) e. (mzPoly ` V ) -> ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( A ^ a ) ) e. (mzPoly ` V ) ) <-> ( ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) e. (mzPoly ` V ) -> ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( A ^ ( b + 1 ) ) ) e. (mzPoly ` V ) ) ) )
13		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( a = D -> ( A ^ a ) = ( A ^ D ) )
14	13	mpteq2dv 4745	. . . . 5 |- ( a = D -> ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( A ^ a ) ) = ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( A ^ D ) ) )
15	14	eleq1d 2686	. . . 4 |- ( a = D -> ( ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( A ^ a ) ) e. (mzPoly ` V ) <-> ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( A ^ D ) ) e. (mzPoly ` V ) ) )
16	15	imbi2d 330	. . 3 |- ( a = D -> ( ( ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) e. (mzPoly ` V ) -> ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( A ^ a ) ) e. (mzPoly ` V ) ) <-> ( ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) e. (mzPoly ` V ) -> ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( A ^ D ) ) e. (mzPoly ` V ) ) ) )
17		mzpf 37299	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) e. (mzPoly ` V ) -> ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) : ( ZZ ^m V ) --> ZZ )
18		zsscn 11385	. . . . . . 7 |- ZZ C_ CC
19		fss 6056	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ ZZ C_ CC ) -> ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) : ( ZZ ^m V ) --> CC )
20	17, 18, 19	sylancl 694	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) e. (mzPoly ` V ) -> ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) : ( ZZ ^m V ) --> CC )
21		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) = ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A )
22	21	fmpt 6381	. . . . . 6 |- ( A. x e. ( ZZ ^m V ) A e. CC <-> ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) : ( ZZ ^m V ) --> CC )
23	20, 22	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) e. (mzPoly ` V ) -> A. x e. ( ZZ ^m V ) A e. CC )
24		nfra1 2941	. . . . . 6 |- F/ x A. x e. ( ZZ ^m V ) A e. CC
25		rspa 2930	. . . . . . 7 |- ( ( A. x e. ( ZZ ^m V ) A e. CC /\ x e. ( ZZ ^m V ) ) -> A e. CC )
26	25	exp0d 13002	. . . . . 6 |- ( ( A. x e. ( ZZ ^m V ) A e. CC /\ x e. ( ZZ ^m V ) ) -> ( A ^ 0 ) = 1 )
27	24, 26	mpteq2da 4743	. . . . 5 |- ( A. x e. ( ZZ ^m V ) A e. CC -> ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( A ^ 0 ) ) = ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> 1 ) )
28	23, 27	syl 17	. . . 4 |- ( ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) e. (mzPoly ` V ) -> ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( A ^ 0 ) ) = ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> 1 ) )
29		elfvex 6221	. . . . 5 |- ( ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) e. (mzPoly ` V ) -> V e. _V )
30		1z 11407	. . . . 5 |- 1 e. ZZ
31		mzpconstmpt 37303	. . . . 5 |- ( ( V e. _V /\ 1 e. ZZ ) -> ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> 1 ) e. (mzPoly ` V ) )
32	29, 30, 31	sylancl 694	. . . 4 |- ( ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) e. (mzPoly ` V ) -> ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> 1 ) e. (mzPoly ` V ) )
33	28, 32	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) e. (mzPoly ` V ) -> ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( A ^ 0 ) ) e. (mzPoly ` V ) )
34	23	3ad2ant2 1083	. . . . . . 7 |- ( ( b e. NN0 /\ ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) e. (mzPoly ` V ) /\ ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( A ^ b ) ) e. (mzPoly ` V ) ) -> A. x e. ( ZZ ^m V ) A e. CC )
35		simp1 1061	. . . . . . 7 |- ( ( b e. NN0 /\ ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) e. (mzPoly ` V ) /\ ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( A ^ b ) ) e. (mzPoly ` V ) ) -> b e. NN0 )
36		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ x b e. NN0
37	24, 36	nfan 1828	. . . . . . . 8 |- F/ x ( A. x e. ( ZZ ^m V ) A e. CC /\ b e. NN0 )
38	25	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. x e. ( ZZ ^m V ) A e. CC /\ b e. NN0 ) /\ x e. ( ZZ ^m V ) ) -> A e. CC )
39		simplr 792	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. x e. ( ZZ ^m V ) A e. CC /\ b e. NN0 ) /\ x e. ( ZZ ^m V ) ) -> b e. NN0 )
40	38, 39	expp1d 13009	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. x e. ( ZZ ^m V ) A e. CC /\ b e. NN0 ) /\ x e. ( ZZ ^m V ) ) -> ( A ^ ( b + 1 ) ) = ( ( A ^ b ) x. A ) )
41	37, 40	mpteq2da 4743	. . . . . . 7 |- ( ( A. x e. ( ZZ ^m V ) A e. CC /\ b e. NN0 ) -> ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( A ^ ( b + 1 ) ) ) = ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( ( A ^ b ) x. A ) ) )
42	34, 35, 41	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( b e. NN0 /\ ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) e. (mzPoly ` V ) /\ ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( A ^ b ) ) e. (mzPoly ` V ) ) -> ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( A ^ ( b + 1 ) ) ) = ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( ( A ^ b ) x. A ) ) )
43		simp3 1063	. . . . . . 7 |- ( ( b e. NN0 /\ ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) e. (mzPoly ` V ) /\ ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( A ^ b ) ) e. (mzPoly ` V ) ) -> ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( A ^ b ) ) e. (mzPoly ` V ) )
44		simp2 1062	. . . . . . 7 |- ( ( b e. NN0 /\ ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) e. (mzPoly ` V ) /\ ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( A ^ b ) ) e. (mzPoly ` V ) ) -> ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) e. (mzPoly ` V ) )
45		mzpmulmpt 37305	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( A ^ b ) ) e. (mzPoly ` V ) /\ ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) e. (mzPoly ` V ) ) -> ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( ( A ^ b ) x. A ) ) e. (mzPoly ` V ) )
46	43, 44, 45	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( b e. NN0 /\ ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) e. (mzPoly ` V ) /\ ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( A ^ b ) ) e. (mzPoly ` V ) ) -> ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( ( A ^ b ) x. A ) ) e. (mzPoly ` V ) )
47	42, 46	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ( b e. NN0 /\ ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) e. (mzPoly ` V ) /\ ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( A ^ b ) ) e. (mzPoly ` V ) ) -> ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( A ^ ( b + 1 ) ) ) e. (mzPoly ` V ) )
48	47	3exp 1264	. . . 4 |- ( b e. NN0 -> ( ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) e. (mzPoly ` V ) -> ( ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( A ^ b ) ) e. (mzPoly ` V ) -> ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( A ^ ( b + 1 ) ) ) e. (mzPoly ` V ) ) ) )
49	48	a2d 29	. . 3 |- ( b e. NN0 -> ( ( ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) e. (mzPoly ` V ) -> ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( A ^ b ) ) e. (mzPoly ` V ) ) -> ( ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) e. (mzPoly ` V ) -> ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( A ^ ( b + 1 ) ) ) e. (mzPoly ` V ) ) ) )
50	4, 8, 12, 16, 33, 49	nn0ind 11472	. 2 |- ( D e. NN0 -> ( ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) e. (mzPoly ` V ) -> ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( A ^ D ) ) e. (mzPoly ` V ) ) )
51	50	impcom 446	1 |- ( ( ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> A ) e. (mzPoly ` V ) /\ D e. NN0 ) -> ( x e. ( ZZ ^m V ) |-> ( A ^ D ) ) e. (mzPoly ` V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ^cexp 12860  mzPolycmzp 37285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-seq 12802  df-exp 12861  df-mzpcl 37286  df-mzp 37287

This theorem is referenced by:  diophin  37336  rmydioph  37581  rmxdioph  37583  expdiophlem2  37589