Theorem nb3grpr2 26285

Description: The neighbors of a vertex in a simple graph with three elements are an unordered pair of the other vertices iff all vertices are connected with each other. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Oct-2017.) (Revised by AV, 28-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
nb3grpr.v	|- V = (Vtx ` G )
nb3grpr.e	|- E = (Edg ` G )
nb3grpr.g	|- ( ph -> G e. USGraph )
nb3grpr.t	|- ( ph -> V = { A , B , C } )
nb3grpr.s	|- ( ph -> ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) )
nb3grpr.n	|- ( ph -> ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) )

Assertion

Ref	Expression
nb3grpr2	|- ( ph -> ( ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) <-> ( ( G NeighbVtx A ) = { B , C } /\ ( G NeighbVtx B ) = { A , C } /\ ( G NeighbVtx C ) = { A , B } ) ) )

Proof of Theorem nb3grpr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3anan32 1050	. . . . 5 |- ( ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) <-> ( ( { A , B } e. E /\ { C , A } e. E ) /\ { B , C } e. E ) )
2	1	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) <-> ( ( { A , B } e. E /\ { C , A } e. E ) /\ { B , C } e. E ) ) )
3		prcom 4267	. . . . . . . . . . 11 |- { C , A } = { A , C }
4	3	eleq1i 2692	. . . . . . . . . 10 |- ( { C , A } e. E <-> { A , C } e. E )
5	4	biimpi 206	. . . . . . . . 9 |- ( { C , A } e. E -> { A , C } e. E )
6	5	pm4.71i 664	. . . . . . . 8 |- ( { C , A } e. E <-> ( { C , A } e. E /\ { A , C } e. E ) )
7	6	anbi2i 730	. . . . . . 7 |- ( ( { A , B } e. E /\ { C , A } e. E ) <-> ( { A , B } e. E /\ ( { C , A } e. E /\ { A , C } e. E ) ) )
8		anass 681	. . . . . . 7 |- ( ( ( { A , B } e. E /\ { C , A } e. E ) /\ { A , C } e. E ) <-> ( { A , B } e. E /\ ( { C , A } e. E /\ { A , C } e. E ) ) )
9	7, 8	bitr4i 267	. . . . . 6 |- ( ( { A , B } e. E /\ { C , A } e. E ) <-> ( ( { A , B } e. E /\ { C , A } e. E ) /\ { A , C } e. E ) )
10	9	anbi1i 731	. . . . 5 |- ( ( ( { A , B } e. E /\ { C , A } e. E ) /\ { B , C } e. E ) <-> ( ( ( { A , B } e. E /\ { C , A } e. E ) /\ { A , C } e. E ) /\ { B , C } e. E ) )
11		anass 681	. . . . 5 |- ( ( ( ( { A , B } e. E /\ { C , A } e. E ) /\ { A , C } e. E ) /\ { B , C } e. E ) <-> ( ( { A , B } e. E /\ { C , A } e. E ) /\ ( { A , C } e. E /\ { B , C } e. E ) ) )
12	10, 11	bitri 264	. . . 4 |- ( ( ( { A , B } e. E /\ { C , A } e. E ) /\ { B , C } e. E ) <-> ( ( { A , B } e. E /\ { C , A } e. E ) /\ ( { A , C } e. E /\ { B , C } e. E ) ) )
13	2, 12	syl6bb 276	. . 3 |- ( ph -> ( ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) <-> ( ( { A , B } e. E /\ { C , A } e. E ) /\ ( { A , C } e. E /\ { B , C } e. E ) ) ) )
14		prcom 4267	. . . . . . . . . 10 |- { A , B } = { B , A }
15	14	eleq1i 2692	. . . . . . . . 9 |- ( { A , B } e. E <-> { B , A } e. E )
16	15	biimpi 206	. . . . . . . 8 |- ( { A , B } e. E -> { B , A } e. E )
17	16	pm4.71i 664	. . . . . . 7 |- ( { A , B } e. E <-> ( { A , B } e. E /\ { B , A } e. E ) )
18	17	anbi1i 731	. . . . . 6 |- ( ( { A , B } e. E /\ { C , A } e. E ) <-> ( ( { A , B } e. E /\ { B , A } e. E ) /\ { C , A } e. E ) )
19		df-3an 1039	. . . . . 6 |- ( ( { A , B } e. E /\ { B , A } e. E /\ { C , A } e. E ) <-> ( ( { A , B } e. E /\ { B , A } e. E ) /\ { C , A } e. E ) )
20	18, 19	bitr4i 267	. . . . 5 |- ( ( { A , B } e. E /\ { C , A } e. E ) <-> ( { A , B } e. E /\ { B , A } e. E /\ { C , A } e. E ) )
21		prcom 4267	. . . . . . . . . 10 |- { B , C } = { C , B }
22	21	eleq1i 2692	. . . . . . . . 9 |- ( { B , C } e. E <-> { C , B } e. E )
23	22	biimpi 206	. . . . . . . 8 |- ( { B , C } e. E -> { C , B } e. E )
24	23	pm4.71i 664	. . . . . . 7 |- ( { B , C } e. E <-> ( { B , C } e. E /\ { C , B } e. E ) )
25	24	anbi2i 730	. . . . . 6 |- ( ( { A , C } e. E /\ { B , C } e. E ) <-> ( { A , C } e. E /\ ( { B , C } e. E /\ { C , B } e. E ) ) )
26		3anass 1042	. . . . . 6 |- ( ( { A , C } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , B } e. E ) <-> ( { A , C } e. E /\ ( { B , C } e. E /\ { C , B } e. E ) ) )
27	25, 26	bitr4i 267	. . . . 5 |- ( ( { A , C } e. E /\ { B , C } e. E ) <-> ( { A , C } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , B } e. E ) )
28	20, 27	anbi12i 733	. . . 4 |- ( ( ( { A , B } e. E /\ { C , A } e. E ) /\ ( { A , C } e. E /\ { B , C } e. E ) ) <-> ( ( { A , B } e. E /\ { B , A } e. E /\ { C , A } e. E ) /\ ( { A , C } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , B } e. E ) ) )
29		an6 1408	. . . 4 |- ( ( ( { A , B } e. E /\ { B , A } e. E /\ { C , A } e. E ) /\ ( { A , C } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , B } e. E ) ) <-> ( ( { A , B } e. E /\ { A , C } e. E ) /\ ( { B , A } e. E /\ { B , C } e. E ) /\ ( { C , A } e. E /\ { C , B } e. E ) ) )
30	28, 29	bitri 264	. . 3 |- ( ( ( { A , B } e. E /\ { C , A } e. E ) /\ ( { A , C } e. E /\ { B , C } e. E ) ) <-> ( ( { A , B } e. E /\ { A , C } e. E ) /\ ( { B , A } e. E /\ { B , C } e. E ) /\ ( { C , A } e. E /\ { C , B } e. E ) ) )
31	13, 30	syl6bb 276	. 2 |- ( ph -> ( ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) <-> ( ( { A , B } e. E /\ { A , C } e. E ) /\ ( { B , A } e. E /\ { B , C } e. E ) /\ ( { C , A } e. E /\ { C , B } e. E ) ) ) )
32		nb3grpr.v	. . . 4 |- V = (Vtx ` G )
33		nb3grpr.e	. . . 4 |- E = (Edg ` G )
34		nb3grpr.g	. . . 4 |- ( ph -> G e. USGraph )
35		nb3grpr.t	. . . 4 |- ( ph -> V = { A , B , C } )
36		nb3grpr.s	. . . 4 |- ( ph -> ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) )
37	32, 33, 34, 35, 36	nb3grprlem1 26282	. . 3 |- ( ph -> ( ( G NeighbVtx A ) = { B , C } <-> ( { A , B } e. E /\ { A , C } e. E ) ) )
38		tpcoma 4285	. . . . 5 |- { A , B , C } = { B , A , C }
39	35, 38	syl6eq 2672	. . . 4 |- ( ph -> V = { B , A , C } )
40		3ancoma 1045	. . . . 5 |- ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) <-> ( B e. Y /\ A e. X /\ C e. Z ) )
41	36, 40	sylib 208	. . . 4 |- ( ph -> ( B e. Y /\ A e. X /\ C e. Z ) )
42	32, 33, 34, 39, 41	nb3grprlem1 26282	. . 3 |- ( ph -> ( ( G NeighbVtx B ) = { A , C } <-> ( { B , A } e. E /\ { B , C } e. E ) ) )
43		tprot 4284	. . . . 5 |- { C , A , B } = { A , B , C }
44	35, 43	syl6eqr 2674	. . . 4 |- ( ph -> V = { C , A , B } )
45		3anrot 1043	. . . . 5 |- ( ( C e. Z /\ A e. X /\ B e. Y ) <-> ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) )
46	36, 45	sylibr 224	. . . 4 |- ( ph -> ( C e. Z /\ A e. X /\ B e. Y ) )
47	32, 33, 34, 44, 46	nb3grprlem1 26282	. . 3 |- ( ph -> ( ( G NeighbVtx C ) = { A , B } <-> ( { C , A } e. E /\ { C , B } e. E ) ) )
48	37, 42, 47	3anbi123d 1399	. 2 |- ( ph -> ( ( ( G NeighbVtx A ) = { B , C } /\ ( G NeighbVtx B ) = { A , C } /\ ( G NeighbVtx C ) = { A , B } ) <-> ( ( { A , B } e. E /\ { A , C } e. E ) /\ ( { B , A } e. E /\ { B , C } e. E ) /\ ( { C , A } e. E /\ { C , B } e. E ) ) ) )
49	31, 48	bitr4d 271	1 |- ( ph -> ( ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E /\ { C , A } e. E ) <-> ( ( G NeighbVtx A ) = { B , C } /\ ( G NeighbVtx B ) = { A , C } /\ ( G NeighbVtx C ) = { A , B } ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   {cpr 4179   {ctp 4181   ` cfv 5888  (class class class)co 6650  Vtxcvtx 25874  Edgcedg 25939   USGraph cusgr 26044   NeighbVtx cnbgr 26224

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118  df-edg 25940  df-upgr 25977  df-umgr 25978  df-usgr 26046  df-nbgr 26228

This theorem is referenced by: (None)