Theorem nbgr2vtx1edg 26246

Description: If a graph has two vertices, and there is an edge between the vertices, then each vertex is the neighbor of the other vertex. (Contributed by AV, 2-Nov-2020.) (Revised by AV, 25-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
nbgr2vtx1edg.v	|- V = (Vtx ` G )
nbgr2vtx1edg.e	|- E = (Edg ` G )

Assertion

Ref	Expression
nbgr2vtx1edg	|- ( ( ( # ` V ) = 2 /\ V e. E ) -> A. v e. V A. n e. ( V \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) )

Distinct variable groups:   n, E   n, G, v   n, V, v

Allowed substitution hint:   E( v)

Proof of Theorem nbgr2vtx1edg

Dummy variables a b e are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nbgr2vtx1edg.v	. . . . 5 |- V = (Vtx ` G )
2		fvex 6201	. . . . 5 |- (Vtx ` G ) e. _V
3	1, 2	eqeltri 2697	. . . 4 |- V e. _V
4		hash2prb 13254	. . . 4 |- ( V e. _V -> ( ( # ` V ) = 2 <-> E. a e. V E. b e. V ( a =/= b /\ V = { a , b } ) ) )
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 |- ( ( # ` V ) = 2 <-> E. a e. V E. b e. V ( a =/= b /\ V = { a , b } ) )
6		simpll 790	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( a =/= b /\ V = { a , b } ) ) /\ { a , b } e. E ) -> ( a e. V /\ b e. V ) )
7	6	ancomd 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( a =/= b /\ V = { a , b } ) ) /\ { a , b } e. E ) -> ( b e. V /\ a e. V ) )
8		simpl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a =/= b /\ V = { a , b } ) -> a =/= b )
9	8	necomd 2849	. . . . . . . . . 10 |- ( ( a =/= b /\ V = { a , b } ) -> b =/= a )
10	9	ad2antlr 763	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( a =/= b /\ V = { a , b } ) ) /\ { a , b } e. E ) -> b =/= a )
11		id 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( { a , b } e. E -> { a , b } e. E )
12		sseq2 3627	. . . . . . . . . . . 12 |- ( e = { a , b } -> ( { a , b } C_ e <-> { a , b } C_ { a , b } ) )
13	12	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( { a , b } e. E /\ e = { a , b } ) -> ( { a , b } C_ e <-> { a , b } C_ { a , b } ) )
14		ssid 3624	. . . . . . . . . . . 12 |- { a , b } C_ { a , b }
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( { a , b } e. E -> { a , b } C_ { a , b } )
16	11, 13, 15	rspcedvd 3317	. . . . . . . . . 10 |- ( { a , b } e. E -> E. e e. E { a , b } C_ e )
17	16	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( a =/= b /\ V = { a , b } ) ) /\ { a , b } e. E ) -> E. e e. E { a , b } C_ e )
18	1	1vgrex 25882	. . . . . . . . . . 11 |- ( a e. V -> G e. _V )
19		nbgr2vtx1edg.e	. . . . . . . . . . . 12 |- E = (Edg ` G )
20	1, 19	nbgrel 26238	. . . . . . . . . . 11 |- ( G e. _V -> ( b e. ( G NeighbVtx a ) <-> ( ( b e. V /\ a e. V ) /\ b =/= a /\ E. e e. E { a , b } C_ e ) ) )
21	18, 20	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( a e. V -> ( b e. ( G NeighbVtx a ) <-> ( ( b e. V /\ a e. V ) /\ b =/= a /\ E. e e. E { a , b } C_ e ) ) )
22	21	ad3antrrr 766	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( a =/= b /\ V = { a , b } ) ) /\ { a , b } e. E ) -> ( b e. ( G NeighbVtx a ) <-> ( ( b e. V /\ a e. V ) /\ b =/= a /\ E. e e. E { a , b } C_ e ) ) )
23	7, 10, 17, 22	mpbir3and 1245	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( a =/= b /\ V = { a , b } ) ) /\ { a , b } e. E ) -> b e. ( G NeighbVtx a ) )
24	8	ad2antlr 763	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( a =/= b /\ V = { a , b } ) ) /\ { a , b } e. E ) -> a =/= b )
25		sseq2 3627	. . . . . . . . . . . 12 |- ( e = { a , b } -> ( { b , a } C_ e <-> { b , a } C_ { a , b } ) )
26	25	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( { a , b } e. E /\ e = { a , b } ) -> ( { b , a } C_ e <-> { b , a } C_ { a , b } ) )
27		prcom 4267	. . . . . . . . . . . . 13 |- { b , a } = { a , b }
28	27	eqimssi 3659	. . . . . . . . . . . 12 |- { b , a } C_ { a , b }
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( { a , b } e. E -> { b , a } C_ { a , b } )
30	11, 26, 29	rspcedvd 3317	. . . . . . . . . 10 |- ( { a , b } e. E -> E. e e. E { b , a } C_ e )
31	30	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( a =/= b /\ V = { a , b } ) ) /\ { a , b } e. E ) -> E. e e. E { b , a } C_ e )
32	1, 19	nbgrel 26238	. . . . . . . . . . 11 |- ( G e. _V -> ( a e. ( G NeighbVtx b ) <-> ( ( a e. V /\ b e. V ) /\ a =/= b /\ E. e e. E { b , a } C_ e ) ) )
33	18, 32	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( a e. V -> ( a e. ( G NeighbVtx b ) <-> ( ( a e. V /\ b e. V ) /\ a =/= b /\ E. e e. E { b , a } C_ e ) ) )
34	33	ad3antrrr 766	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( a =/= b /\ V = { a , b } ) ) /\ { a , b } e. E ) -> ( a e. ( G NeighbVtx b ) <-> ( ( a e. V /\ b e. V ) /\ a =/= b /\ E. e e. E { b , a } C_ e ) ) )
35	6, 24, 31, 34	mpbir3and 1245	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( a =/= b /\ V = { a , b } ) ) /\ { a , b } e. E ) -> a e. ( G NeighbVtx b ) )
36		difprsn1 4330	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a =/= b -> ( { a , b } \ { a } ) = { b } )
37	36	raleqdv 3144	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a =/= b -> ( A. n e. ( { a , b } \ { a } ) n e. ( G NeighbVtx a ) <-> A. n e. { b } n e. ( G NeighbVtx a ) ) )
38		vex 3203	. . . . . . . . . . . . 13 |- b e. _V
39		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = b -> ( n e. ( G NeighbVtx a ) <-> b e. ( G NeighbVtx a ) ) )
40	38, 39	ralsn 4222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. n e. { b } n e. ( G NeighbVtx a ) <-> b e. ( G NeighbVtx a ) )
41	37, 40	syl6bb 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( a =/= b -> ( A. n e. ( { a , b } \ { a } ) n e. ( G NeighbVtx a ) <-> b e. ( G NeighbVtx a ) ) )
42		difprsn2 4331	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a =/= b -> ( { a , b } \ { b } ) = { a } )
43	42	raleqdv 3144	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a =/= b -> ( A. n e. ( { a , b } \ { b } ) n e. ( G NeighbVtx b ) <-> A. n e. { a } n e. ( G NeighbVtx b ) ) )
44		vex 3203	. . . . . . . . . . . . 13 |- a e. _V
45		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = a -> ( n e. ( G NeighbVtx b ) <-> a e. ( G NeighbVtx b ) ) )
46	44, 45	ralsn 4222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. n e. { a } n e. ( G NeighbVtx b ) <-> a e. ( G NeighbVtx b ) )
47	43, 46	syl6bb 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( a =/= b -> ( A. n e. ( { a , b } \ { b } ) n e. ( G NeighbVtx b ) <-> a e. ( G NeighbVtx b ) ) )
48	41, 47	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 |- ( a =/= b -> ( ( A. n e. ( { a , b } \ { a } ) n e. ( G NeighbVtx a ) /\ A. n e. ( { a , b } \ { b } ) n e. ( G NeighbVtx b ) ) <-> ( b e. ( G NeighbVtx a ) /\ a e. ( G NeighbVtx b ) ) ) )
49	48	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( a =/= b /\ V = { a , b } ) -> ( ( A. n e. ( { a , b } \ { a } ) n e. ( G NeighbVtx a ) /\ A. n e. ( { a , b } \ { b } ) n e. ( G NeighbVtx b ) ) <-> ( b e. ( G NeighbVtx a ) /\ a e. ( G NeighbVtx b ) ) ) )
50	49	ad2antlr 763	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( a =/= b /\ V = { a , b } ) ) /\ { a , b } e. E ) -> ( ( A. n e. ( { a , b } \ { a } ) n e. ( G NeighbVtx a ) /\ A. n e. ( { a , b } \ { b } ) n e. ( G NeighbVtx b ) ) <-> ( b e. ( G NeighbVtx a ) /\ a e. ( G NeighbVtx b ) ) ) )
51	23, 35, 50	mpbir2and 957	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( a =/= b /\ V = { a , b } ) ) /\ { a , b } e. E ) -> ( A. n e. ( { a , b } \ { a } ) n e. ( G NeighbVtx a ) /\ A. n e. ( { a , b } \ { b } ) n e. ( G NeighbVtx b ) ) )
52	51	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( a =/= b /\ V = { a , b } ) ) -> ( { a , b } e. E -> ( A. n e. ( { a , b } \ { a } ) n e. ( G NeighbVtx a ) /\ A. n e. ( { a , b } \ { b } ) n e. ( G NeighbVtx b ) ) ) )
53		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 |- ( V = { a , b } -> ( V e. E <-> { a , b } e. E ) )
54		id 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( V = { a , b } -> V = { a , b } )
55		difeq1 3721	. . . . . . . . . . . 12 |- ( V = { a , b } -> ( V \ { v } ) = ( { a , b } \ { v } ) )
56	55	raleqdv 3144	. . . . . . . . . . 11 |- ( V = { a , b } -> ( A. n e. ( V \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) <-> A. n e. ( { a , b } \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) ) )
57	54, 56	raleqbidv 3152	. . . . . . . . . 10 |- ( V = { a , b } -> ( A. v e. V A. n e. ( V \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) <-> A. v e. { a , b } A. n e. ( { a , b } \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) ) )
58		sneq 4187	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = a -> { v } = { a } )
59	58	difeq2d 3728	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = a -> ( { a , b } \ { v } ) = ( { a , b } \ { a } ) )
60		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = a -> ( G NeighbVtx v ) = ( G NeighbVtx a ) )
61	60	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = a -> ( n e. ( G NeighbVtx v ) <-> n e. ( G NeighbVtx a ) ) )
62	59, 61	raleqbidv 3152	. . . . . . . . . . 11 |- ( v = a -> ( A. n e. ( { a , b } \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) <-> A. n e. ( { a , b } \ { a } ) n e. ( G NeighbVtx a ) ) )
63		sneq 4187	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = b -> { v } = { b } )
64	63	difeq2d 3728	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = b -> ( { a , b } \ { v } ) = ( { a , b } \ { b } ) )
65		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = b -> ( G NeighbVtx v ) = ( G NeighbVtx b ) )
66	65	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = b -> ( n e. ( G NeighbVtx v ) <-> n e. ( G NeighbVtx b ) ) )
67	64, 66	raleqbidv 3152	. . . . . . . . . . 11 |- ( v = b -> ( A. n e. ( { a , b } \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) <-> A. n e. ( { a , b } \ { b } ) n e. ( G NeighbVtx b ) ) )
68	44, 38, 62, 67	ralpr 4238	. . . . . . . . . 10 |- ( A. v e. { a , b } A. n e. ( { a , b } \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) <-> ( A. n e. ( { a , b } \ { a } ) n e. ( G NeighbVtx a ) /\ A. n e. ( { a , b } \ { b } ) n e. ( G NeighbVtx b ) ) )
69	57, 68	syl6bb 276	. . . . . . . . 9 |- ( V = { a , b } -> ( A. v e. V A. n e. ( V \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) <-> ( A. n e. ( { a , b } \ { a } ) n e. ( G NeighbVtx a ) /\ A. n e. ( { a , b } \ { b } ) n e. ( G NeighbVtx b ) ) ) )
70	53, 69	imbi12d 334	. . . . . . . 8 |- ( V = { a , b } -> ( ( V e. E -> A. v e. V A. n e. ( V \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) ) <-> ( { a , b } e. E -> ( A. n e. ( { a , b } \ { a } ) n e. ( G NeighbVtx a ) /\ A. n e. ( { a , b } \ { b } ) n e. ( G NeighbVtx b ) ) ) ) )
71	70	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( a =/= b /\ V = { a , b } ) -> ( ( V e. E -> A. v e. V A. n e. ( V \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) ) <-> ( { a , b } e. E -> ( A. n e. ( { a , b } \ { a } ) n e. ( G NeighbVtx a ) /\ A. n e. ( { a , b } \ { b } ) n e. ( G NeighbVtx b ) ) ) ) )
72	71	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( a =/= b /\ V = { a , b } ) ) -> ( ( V e. E -> A. v e. V A. n e. ( V \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) ) <-> ( { a , b } e. E -> ( A. n e. ( { a , b } \ { a } ) n e. ( G NeighbVtx a ) /\ A. n e. ( { a , b } \ { b } ) n e. ( G NeighbVtx b ) ) ) ) )
73	52, 72	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( a =/= b /\ V = { a , b } ) ) -> ( V e. E -> A. v e. V A. n e. ( V \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) ) )
74	73	ex 450	. . . 4 |- ( ( a e. V /\ b e. V ) -> ( ( a =/= b /\ V = { a , b } ) -> ( V e. E -> A. v e. V A. n e. ( V \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) ) ) )
75	74	rexlimivv 3036	. . 3 |- ( E. a e. V E. b e. V ( a =/= b /\ V = { a , b } ) -> ( V e. E -> A. v e. V A. n e. ( V \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) ) )
76	5, 75	sylbi 207	. 2 |- ( ( # ` V ) = 2 -> ( V e. E -> A. v e. V A. n e. ( V \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) ) )
77	76	imp 445	1 |- ( ( ( # ` V ) = 2 /\ V e. E ) -> A. v e. V A. n e. ( V \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   {csn 4177   {cpr 4179   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   2c2 11070   #chash 13117  Vtxcvtx 25874  Edgcedg 25939   NeighbVtx cnbgr 26224

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118  df-nbgr 26228

This theorem is referenced by:  uvtx2vtx1edg  26299