Theorem nbumgrvtx 26242

Description: The set of neighbors of a vertex in a multigraph. (Contributed by AV, 27-Nov-2020.) (Proof shortened by AV, 30-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
nbgrel.v	|- V = (Vtx ` G )
nbgrel.e	|- E = (Edg ` G )

Assertion

Ref	Expression
nbumgrvtx	|- ( ( G e. UMGraph /\ N e. V ) -> ( G NeighbVtx N ) = { n e. V | { N , n } e. E } )

Distinct variable groups:   n, G   n, N   n, V   n, E

Proof of Theorem nbumgrvtx

Dummy variables e v x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nbgrel.v	. . . 4 |- V = (Vtx ` G )
2		nbgrel.e	. . . 4 |- E = (Edg ` G )
3	1, 2	nbgrval 26234	. . 3 |- ( N e. V -> ( G NeighbVtx N ) = { v e. ( V \ { N } ) | E. e e. E { N , v } C_ e } )
4	3	adantl 482	. 2 |- ( ( G e. UMGraph /\ N e. V ) -> ( G NeighbVtx N ) = { v e. ( V \ { N } ) | E. e e. E { N , v } C_ e } )
5		eldifi 3732	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( V \ { N } ) -> x e. V )
6	5	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ N e. V ) /\ x e. ( V \ { N } ) ) -> x e. V )
7	6	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. UMGraph /\ N e. V ) /\ x e. ( V \ { N } ) ) /\ ( e e. E /\ { N , x } C_ e ) ) -> x e. V )
8		umgrupgr 25998	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G e. UMGraph -> G e. UPGraph )
9	8	ad4antr 768	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( G e. UMGraph /\ N e. V ) /\ x e. ( V \ { N } ) ) /\ e e. E ) /\ { N , x } C_ e ) -> G e. UPGraph )
10		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( G e. UMGraph /\ N e. V ) /\ x e. ( V \ { N } ) ) /\ e e. E ) -> e e. E )
11	10	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( G e. UMGraph /\ N e. V ) /\ x e. ( V \ { N } ) ) /\ e e. E ) /\ { N , x } C_ e ) -> e e. E )
12		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( G e. UMGraph /\ N e. V ) /\ x e. ( V \ { N } ) ) /\ e e. E ) /\ { N , x } C_ e ) -> { N , x } C_ e )
13		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( G e. UMGraph /\ N e. V ) -> N e. V )
14	13	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ N e. V ) /\ x e. ( V \ { N } ) ) -> N e. V )
15		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- x e. _V
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ N e. V ) /\ x e. ( V \ { N } ) ) -> x e. _V )
17		eldifsn 4317	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ( V \ { N } ) <-> ( x e. V /\ x =/= N ) )
18		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. V /\ x =/= N ) -> x =/= N )
19	18	necomd 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. V /\ x =/= N ) -> N =/= x )
20	17, 19	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( V \ { N } ) -> N =/= x )
21	20	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ N e. V ) /\ x e. ( V \ { N } ) ) -> N =/= x )
22	14, 16, 21	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ N e. V ) /\ x e. ( V \ { N } ) ) -> ( N e. V /\ x e. _V /\ N =/= x ) )
23	22	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( G e. UMGraph /\ N e. V ) /\ x e. ( V \ { N } ) ) /\ e e. E ) -> ( N e. V /\ x e. _V /\ N =/= x ) )
24	23	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( G e. UMGraph /\ N e. V ) /\ x e. ( V \ { N } ) ) /\ e e. E ) /\ { N , x } C_ e ) -> ( N e. V /\ x e. _V /\ N =/= x ) )
25	1, 2	upgredgpr 26037	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. UPGraph /\ e e. E /\ { N , x } C_ e ) /\ ( N e. V /\ x e. _V /\ N =/= x ) ) -> { N , x } = e )
26	9, 11, 12, 24, 25	syl31anc 1329	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( G e. UMGraph /\ N e. V ) /\ x e. ( V \ { N } ) ) /\ e e. E ) /\ { N , x } C_ e ) -> { N , x } = e )
27	26	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( G e. UMGraph /\ N e. V ) /\ x e. ( V \ { N } ) ) /\ e e. E ) -> ( { N , x } C_ e -> { N , x } = e ) )
28		eleq1 2689	. . . . . . . . . . 11 |- ( { N , x } = e -> ( { N , x } e. E <-> e e. E ) )
29	28	biimprd 238	. . . . . . . . . 10 |- ( { N , x } = e -> ( e e. E -> { N , x } e. E ) )
30	27, 10, 29	syl6ci 71	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. UMGraph /\ N e. V ) /\ x e. ( V \ { N } ) ) /\ e e. E ) -> ( { N , x } C_ e -> { N , x } e. E ) )
31	30	impr 649	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. UMGraph /\ N e. V ) /\ x e. ( V \ { N } ) ) /\ ( e e. E /\ { N , x } C_ e ) ) -> { N , x } e. E )
32	7, 31	jca 554	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. UMGraph /\ N e. V ) /\ x e. ( V \ { N } ) ) /\ ( e e. E /\ { N , x } C_ e ) ) -> ( x e. V /\ { N , x } e. E ) )
33	32	rexlimdvaa 3032	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ N e. V ) /\ x e. ( V \ { N } ) ) -> ( E. e e. E { N , x } C_ e -> ( x e. V /\ { N , x } e. E ) ) )
34	33	expimpd 629	. . . . 5 |- ( ( G e. UMGraph /\ N e. V ) -> ( ( x e. ( V \ { N } ) /\ E. e e. E { N , x } C_ e ) -> ( x e. V /\ { N , x } e. E ) ) )
35		simprl 794	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ N e. V ) /\ ( x e. V /\ { N , x } e. E ) ) -> x e. V )
36	2	umgredgne 26040	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. UMGraph /\ { N , x } e. E ) -> N =/= x )
37	36	ad2ant2rl 785	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ N e. V ) /\ ( x e. V /\ { N , x } e. E ) ) -> N =/= x )
38	37	necomd 2849	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ N e. V ) /\ ( x e. V /\ { N , x } e. E ) ) -> x =/= N )
39	35, 38, 17	sylanbrc 698	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ N e. V ) /\ ( x e. V /\ { N , x } e. E ) ) -> x e. ( V \ { N } ) )
40		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. V /\ { N , x } e. E ) -> { N , x } e. E )
41	40	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ N e. V ) /\ ( x e. V /\ { N , x } e. E ) ) -> { N , x } e. E )
42		sseq2 3627	. . . . . . . . 9 |- ( e = { N , x } -> ( { N , x } C_ e <-> { N , x } C_ { N , x } ) )
43	42	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. UMGraph /\ N e. V ) /\ ( x e. V /\ { N , x } e. E ) ) /\ e = { N , x } ) -> ( { N , x } C_ e <-> { N , x } C_ { N , x } ) )
44		ssid 3624	. . . . . . . . 9 |- { N , x } C_ { N , x }
45	44	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ N e. V ) /\ ( x e. V /\ { N , x } e. E ) ) -> { N , x } C_ { N , x } )
46	41, 43, 45	rspcedvd 3317	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ N e. V ) /\ ( x e. V /\ { N , x } e. E ) ) -> E. e e. E { N , x } C_ e )
47	39, 46	jca 554	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ N e. V ) /\ ( x e. V /\ { N , x } e. E ) ) -> ( x e. ( V \ { N } ) /\ E. e e. E { N , x } C_ e ) )
48	47	ex 450	. . . . 5 |- ( ( G e. UMGraph /\ N e. V ) -> ( ( x e. V /\ { N , x } e. E ) -> ( x e. ( V \ { N } ) /\ E. e e. E { N , x } C_ e ) ) )
49	34, 48	impbid 202	. . . 4 |- ( ( G e. UMGraph /\ N e. V ) -> ( ( x e. ( V \ { N } ) /\ E. e e. E { N , x } C_ e ) <-> ( x e. V /\ { N , x } e. E ) ) )
50		preq2 4269	. . . . . . 7 |- ( v = x -> { N , v } = { N , x } )
51	50	sseq1d 3632	. . . . . 6 |- ( v = x -> ( { N , v } C_ e <-> { N , x } C_ e ) )
52	51	rexbidv 3052	. . . . 5 |- ( v = x -> ( E. e e. E { N , v } C_ e <-> E. e e. E { N , x } C_ e ) )
53	52	elrab 3363	. . . 4 |- ( x e. { v e. ( V \ { N } ) | E. e e. E { N , v } C_ e } <-> ( x e. ( V \ { N } ) /\ E. e e. E { N , x } C_ e ) )
54		preq2 4269	. . . . . 6 |- ( n = x -> { N , n } = { N , x } )
55	54	eleq1d 2686	. . . . 5 |- ( n = x -> ( { N , n } e. E <-> { N , x } e. E ) )
56	55	elrab 3363	. . . 4 |- ( x e. { n e. V | { N , n } e. E } <-> ( x e. V /\ { N , x } e. E ) )
57	49, 53, 56	3bitr4g 303	. . 3 |- ( ( G e. UMGraph /\ N e. V ) -> ( x e. { v e. ( V \ { N } ) | E. e e. E { N , v } C_ e } <-> x e. { n e. V | { N , n } e. E } ) )
58	57	eqrdv 2620	. 2 |- ( ( G e. UMGraph /\ N e. V ) -> { v e. ( V \ { N } ) | E. e e. E { N , v } C_ e } = { n e. V | { N , n } e. E } )
59	4, 58	eqtrd 2656	1 |- ( ( G e. UMGraph /\ N e. V ) -> ( G NeighbVtx N ) = { n e. V | { N , n } e. E } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   {csn 4177   {cpr 4179   ` cfv 5888  (class class class)co 6650  Vtxcvtx 25874  Edgcedg 25939   UPGraph cupgr 25975   UMGraph cumgr 25976   NeighbVtx cnbgr 26224

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118  df-edg 25940  df-upgr 25977  df-umgr 25978  df-nbgr 26228

This theorem is referenced by:  nbumgr  26243  nbusgrvtx  26244  umgr2v2enb1  26422