Theorem neibl 22306

Description: The neighborhoods around a point P of a metric space are those subsets containing a ball around P. Definition of neighborhood in [Kreyszig] p. 19. (Contributed by NM, 8-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mopni.1	|- J = ( MetOpen ` D )

Assertion

Ref	Expression
neibl	|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) <-> ( N C_ X /\ E. r e. RR+ ( P ( ball ` D ) r ) C_ N ) ) )

Distinct variable groups:   D, r   J, r   N, r   P, r   X, r

Proof of Theorem neibl

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mopni.1	. . . . 5 |- J = ( MetOpen ` D )
2	1	mopntop 22245	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> J e. Top )
3	2	adantr 481	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) -> J e. Top )
4	1	mopnuni 22246	. . . . 5 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> X = U. J )
5	4	eleq2d 2687	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( P e. X <-> P e. U. J ) )
6	5	biimpa 501	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) -> P e. U. J )
7		eqid 2622	. . . 4 |- U. J = U. J
8	7	isneip 20909	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ P e. U. J ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) <-> ( N C_ U. J /\ E. y e. J ( P e. y /\ y C_ N ) ) ) )
9	3, 6, 8	syl2anc 693	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) <-> ( N C_ U. J /\ E. y e. J ( P e. y /\ y C_ N ) ) ) )
10	4	sseq2d 3633	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( N C_ X <-> N C_ U. J ) )
11	10	adantr 481	. . 3 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) -> ( N C_ X <-> N C_ U. J ) )
12	11	anbi1d 741	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) -> ( ( N C_ X /\ E. y e. J ( P e. y /\ y C_ N ) ) <-> ( N C_ U. J /\ E. y e. J ( P e. y /\ y C_ N ) ) ) )
13	1	mopni2 22298	. . . . . . . . 9 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. J /\ P e. y ) -> E. r e. RR+ ( P ( ball ` D ) r ) C_ y )
14		sstr2 3610	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P ( ball ` D ) r ) C_ y -> ( y C_ N -> ( P ( ball ` D ) r ) C_ N ) )
15	14	com12 32	. . . . . . . . . 10 |- ( y C_ N -> ( ( P ( ball ` D ) r ) C_ y -> ( P ( ball ` D ) r ) C_ N ) )
16	15	reximdv 3016	. . . . . . . . 9 |- ( y C_ N -> ( E. r e. RR+ ( P ( ball ` D ) r ) C_ y -> E. r e. RR+ ( P ( ball ` D ) r ) C_ N ) )
17	13, 16	syl5com 31	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ y e. J /\ P e. y ) -> ( y C_ N -> E. r e. RR+ ( P ( ball ` D ) r ) C_ N ) )
18	17	3exp 1264	. . . . . . 7 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( y e. J -> ( P e. y -> ( y C_ N -> E. r e. RR+ ( P ( ball ` D ) r ) C_ N ) ) ) )
19	18	imp4a 614	. . . . . 6 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( y e. J -> ( ( P e. y /\ y C_ N ) -> E. r e. RR+ ( P ( ball ` D ) r ) C_ N ) ) )
20	19	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) /\ N C_ X ) -> ( y e. J -> ( ( P e. y /\ y C_ N ) -> E. r e. RR+ ( P ( ball ` D ) r ) C_ N ) ) )
21	20	rexlimdv 3030	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) /\ N C_ X ) -> ( E. y e. J ( P e. y /\ y C_ N ) -> E. r e. RR+ ( P ( ball ` D ) r ) C_ N ) )
22		rpxr 11840	. . . . . . . . 9 |- ( r e. RR+ -> r e. RR* )
23	1	blopn 22305	. . . . . . . . 9 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ r e. RR* ) -> ( P ( ball ` D ) r ) e. J )
24	22, 23	syl3an3 1361	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ r e. RR+ ) -> ( P ( ball ` D ) r ) e. J )
25		blcntr 22218	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ r e. RR+ ) -> P e. ( P ( ball ` D ) r ) )
26		eleq2 2690	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( P ( ball ` D ) r ) -> ( P e. y <-> P e. ( P ( ball ` D ) r ) ) )
27		sseq1 3626	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( P ( ball ` D ) r ) -> ( y C_ N <-> ( P ( ball ` D ) r ) C_ N ) )
28	26, 27	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( P ( ball ` D ) r ) -> ( ( P e. y /\ y C_ N ) <-> ( P e. ( P ( ball ` D ) r ) /\ ( P ( ball ` D ) r ) C_ N ) ) )
29	28	rspcev 3309	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( P ( ball ` D ) r ) e. J /\ ( P e. ( P ( ball ` D ) r ) /\ ( P ( ball ` D ) r ) C_ N ) ) -> E. y e. J ( P e. y /\ y C_ N ) )
30	29	expr 643	. . . . . . . 8 |- ( ( ( P ( ball ` D ) r ) e. J /\ P e. ( P ( ball ` D ) r ) ) -> ( ( P ( ball ` D ) r ) C_ N -> E. y e. J ( P e. y /\ y C_ N ) ) )
31	24, 25, 30	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ r e. RR+ ) -> ( ( P ( ball ` D ) r ) C_ N -> E. y e. J ( P e. y /\ y C_ N ) ) )
32	31	3expia 1267	. . . . . 6 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) -> ( r e. RR+ -> ( ( P ( ball ` D ) r ) C_ N -> E. y e. J ( P e. y /\ y C_ N ) ) ) )
33	32	rexlimdv 3030	. . . . 5 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) -> ( E. r e. RR+ ( P ( ball ` D ) r ) C_ N -> E. y e. J ( P e. y /\ y C_ N ) ) )
34	33	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) /\ N C_ X ) -> ( E. r e. RR+ ( P ( ball ` D ) r ) C_ N -> E. y e. J ( P e. y /\ y C_ N ) ) )
35	21, 34	impbid 202	. . 3 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) /\ N C_ X ) -> ( E. y e. J ( P e. y /\ y C_ N ) <-> E. r e. RR+ ( P ( ball ` D ) r ) C_ N ) )
36	35	pm5.32da 673	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) -> ( ( N C_ X /\ E. y e. J ( P e. y /\ y C_ N ) ) <-> ( N C_ X /\ E. r e. RR+ ( P ( ball ` D ) r ) C_ N ) ) )
37	9, 12, 36	3bitr2d 296	1 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) <-> ( N C_ X /\ E. r e. RR+ ( P ( ball ` D ) r ) C_ N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   C_ wss 3574   {csn 4177   U.cuni 4436   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RR*cxr 10073   RR+crp 11832   *Metcxmt 19731   ballcbl 19733   MetOpencmopn 19736   Topctop 20698   neicnei 20901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-nei 20902

This theorem is referenced by:  reperflem  22621  islpcn  39871