Theorem islpcn 39871

Description: A characterization for a limit point for the standard topology on the complex numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
islpcn.s	|- ( ph -> S C_ CC )
islpcn.p	|- ( ph -> P e. CC )

Assertion

Ref	Expression
islpcn	|- ( ph -> ( P e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` S ) <-> A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) )

Distinct variable groups:   P, e, x   S, e, x   ph, e, x

Proof of Theorem islpcn

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . . 5 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
2	1	cnfldtop 22587	. . . 4 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top
3	2	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top )
4		islpcn.s	. . 3 |- ( ph -> S C_ CC )
5		islpcn.p	. . 3 |- ( ph -> P e. CC )
6		unicntop 22589	. . . 4 |- CC = U. ( TopOpen ` ℂfld )
7	6	islp2 20949	. . 3 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top /\ S C_ CC /\ P e. CC ) -> ( P e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` S ) <-> A. n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) )
8	3, 4, 5, 7	syl3anc 1326	. 2 |- ( ph -> ( P e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` S ) <-> A. n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) )
9		cnxmet 22576	. . . . . . . . . . 11 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
11	5	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> P e. CC )
12		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> e e. RR+ )
13	1	cnfldtopn 22585	. . . . . . . . . . 11 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
14	13	blnei 22307	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ P e. CC /\ e e. RR+ ) -> ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) )
15	10, 11, 12, 14	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) )
16	15	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) /\ e e. RR+ ) -> ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) )
17		simplr 792	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) /\ e e. RR+ ) -> A. n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) )
18		ineq1 3807	. . . . . . . . . 10 |- ( n = ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) -> ( n i^i ( S \ { P } ) ) = ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) )
19	18	neeq1d 2853	. . . . . . . . 9 |- ( n = ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) -> ( ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) <-> ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) )
20	19	rspcva 3307	. . . . . . . 8 |- ( ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) /\ A. n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) -> ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) )
21	16, 17, 20	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) /\ e e. RR+ ) -> ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) )
22		n0 3931	. . . . . . 7 |- ( ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) <-> E. x x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) )
23	21, 22	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) /\ e e. RR+ ) -> E. x x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) )
24		elinel2 3800	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) -> x e. ( S \ { P } ) )
25	24	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> x e. ( S \ { P } ) )
26	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> S C_ CC )
27	24	eldifad 3586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) -> x e. S )
28	27	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> x e. S )
29	26, 28	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> x e. CC )
30	5	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> P e. CC )
31	29, 30	abssubd 14192	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> ( abs ` ( x - P ) ) = ( abs ` ( P - x ) ) )
32		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
33	32	cnmetdval 22574	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P e. CC /\ x e. CC ) -> ( P ( abs o. - ) x ) = ( abs ` ( P - x ) ) )
34	30, 29, 33	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> ( P ( abs o. - ) x ) = ( abs ` ( P - x ) ) )
35	31, 34	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> ( abs ` ( x - P ) ) = ( P ( abs o. - ) x ) )
36	35	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> ( abs ` ( x - P ) ) = ( P ( abs o. - ) x ) )
37		elinel1 3799	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) -> x e. ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) )
38	37	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> x e. ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) )
39	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
40	11	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> P e. CC )
41		rpxr 11840	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( e e. RR+ -> e e. RR* )
42	41	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> e e. RR* )
43		elbl 22193	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ P e. CC /\ e e. RR* ) -> ( x e. ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) <-> ( x e. CC /\ ( P ( abs o. - ) x ) < e ) ) )
44	39, 40, 42, 43	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> ( x e. ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) <-> ( x e. CC /\ ( P ( abs o. - ) x ) < e ) ) )
45	38, 44	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> ( x e. CC /\ ( P ( abs o. - ) x ) < e ) )
46	45	simprd 479	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> ( P ( abs o. - ) x ) < e )
47	36, 46	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> ( abs ` ( x - P ) ) < e )
48	25, 47	jca 554	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) ) -> ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) )
49	48	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) -> ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) )
50	49	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) /\ e e. RR+ ) -> ( x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) -> ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) )
51	50	eximdv 1846	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) /\ e e. RR+ ) -> ( E. x x e. ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) i^i ( S \ { P } ) ) -> E. x ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) )
52	23, 51	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A. n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) /\ e e. RR+ ) -> E. x ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) )
53		df-rex 2918	. . . . 5 |- ( E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e <-> E. x ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) )
54	52, 53	sylibr 224	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A. n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) /\ e e. RR+ ) -> E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e )
55	54	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ( ph /\ A. n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) -> A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e )
56	9	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
57	13	neibl 22306	. . . . . . . 8 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ P e. CC ) -> ( n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) <-> ( n C_ CC /\ E. e e. RR+ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) ) )
58	56, 5, 57	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) <-> ( n C_ CC /\ E. e e. RR+ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) ) )
59	58	simplbda 654	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ) -> E. e e. RR+ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n )
60	59	adantlr 751	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ) -> E. e e. RR+ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n )
61		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ e ph
62		nfra1 2941	. . . . . . . 8 |- F/ e A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e
63	61, 62	nfan 1828	. . . . . . 7 |- F/ e ( ph /\ A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e )
64		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ e n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } )
65	63, 64	nfan 1828	. . . . . 6 |- F/ e ( ( ph /\ A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) )
66		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ e ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/)
67		simp1l 1085	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ e e. RR+ /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) -> ph )
68		simp2 1062	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ e e. RR+ /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) -> e e. RR+ )
69	67, 68	jca 554	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ e e. RR+ /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) -> ( ph /\ e e. RR+ ) )
70		rspa 2930	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e /\ e e. RR+ ) -> E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e )
71	70	adantll 750	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ e e. RR+ ) -> E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e )
72	71	3adant3 1081	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ e e. RR+ /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) -> E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e )
73		simp3 1063	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ e e. RR+ /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) -> ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n )
74	53	biimpi 206	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e -> E. x ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) )
75	74	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) -> E. x ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) )
76		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ x ( ph /\ e e. RR+ )
77		nfre1 3005	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ x E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e
78	76, 77	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ x ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e )
79		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ x ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n
80	78, 79	nfan 1828	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n )
81		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n )
82	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ x e. ( S \ { P } ) ) -> S C_ CC )
83		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x e. ( S \ { P } ) -> x e. S )
84	83	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ x e. ( S \ { P } ) ) -> x e. S )
85	82, 84	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. ( S \ { P } ) ) -> x e. CC )
86	85	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> x e. CC )
87	5	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ x e. ( S \ { P } ) ) -> P e. CC )
88	87, 85, 33	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ x e. ( S \ { P } ) ) -> ( P ( abs o. - ) x ) = ( abs ` ( P - x ) ) )
89	87, 85	abssubd 14192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ x e. ( S \ { P } ) ) -> ( abs ` ( P - x ) ) = ( abs ` ( x - P ) ) )
90	88, 89	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ x e. ( S \ { P } ) ) -> ( P ( abs o. - ) x ) = ( abs ` ( x - P ) ) )
91	90	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> ( P ( abs o. - ) x ) = ( abs ` ( x - P ) ) )
92		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> ( abs ` ( x - P ) ) < e )
93	91, 92	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> ( P ( abs o. - ) x ) < e )
94	86, 93	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> ( x e. CC /\ ( P ( abs o. - ) x ) < e ) )
95	94	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> ( x e. CC /\ ( P ( abs o. - ) x ) < e ) )
96	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
97	11	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> P e. CC )
98	41	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> e e. RR* )
99	96, 97, 98, 43	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> ( x e. ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) <-> ( x e. CC /\ ( P ( abs o. - ) x ) < e ) ) )
100	95, 99	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> x e. ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) )
101	100	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> x e. ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) )
102	81, 101	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> x e. n )
103		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> x e. ( S \ { P } ) )
104	102, 103	elind 3798	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) /\ ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) ) -> x e. ( n i^i ( S \ { P } ) ) )
105	104	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) -> ( ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) -> x e. ( n i^i ( S \ { P } ) ) ) )
106	105	adantlr 751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) -> ( ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) -> x e. ( n i^i ( S \ { P } ) ) ) )
107	80, 106	eximd 2085	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) -> ( E. x ( x e. ( S \ { P } ) /\ ( abs ` ( x - P ) ) < e ) -> E. x x e. ( n i^i ( S \ { P } ) ) ) )
108	75, 107	mpd 15	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) -> E. x x e. ( n i^i ( S \ { P } ) ) )
109		n0 3931	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) <-> E. x x e. ( n i^i ( S \ { P } ) ) )
110	108, 109	sylibr 224	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) -> ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) )
111	69, 72, 73, 110	syl21anc 1325	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ e e. RR+ /\ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n ) -> ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) )
112	111	3exp 1264	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) -> ( e e. RR+ -> ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n -> ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) ) )
113	112	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ) -> ( e e. RR+ -> ( ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n -> ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) ) )
114	65, 66, 113	rexlimd 3026	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ) -> ( E. e e. RR+ ( P ( ball ` ( abs o. - ) ) e ) C_ n -> ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) ) )
115	60, 114	mpd 15	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) /\ n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ) -> ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) )
116	115	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ( ph /\ A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) -> A. n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) )
117	55, 116	impbida 877	. 2 |- ( ph -> ( A. n e. ( ( nei ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` { P } ) ( n i^i ( S \ { P } ) ) =/= (/) <-> A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) )
118	8, 117	bitrd 268	1 |- ( ph -> ( P e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` S ) <-> A. e e. RR+ E. x e. ( S \ { P } ) ( abs ` ( x - P ) ) < e ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   class class class wbr 4653   o. ccom 5118   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RR*cxr 10073   < clt 10074   - cmin 10266   RR+crp 11832   abscabs 13974   TopOpenctopn 16082   *Metcxmt 19731   ballcbl 19733  ℂ_fldccnfld 19746   Topctop 20698   neicnei 20901   limPtclp 20938

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-rest 16083  df-topn 16084  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-xms 22125  df-ms 22126

This theorem is referenced by:  limclner  39883