Theorem leadd2dd 10642

Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltnegd.2	|- ( ph -> B e. RR )
ltadd1d.3	|- ( ph -> C e. RR )
leadd1dd.4	|- ( ph -> A <_ B )

Assertion

Ref	Expression
leadd2dd	|- ( ph -> ( C + A ) <_ ( C + B ) )

Proof of Theorem leadd2dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 |- ( ph -> A <_ B )
2		leidd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
3		ltnegd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
4		ltadd1d.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
5	2, 3, 4	leadd2d 10622	. 2 |- ( ph -> ( A <_ B <-> ( C + A ) <_ ( C + B ) ) )
6	1, 5	mpbid 222	1 |- ( ph -> ( C + A ) <_ ( C + B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1990   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   RRcr 9935   + caddc 9939   <_ cle 10075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080

This theorem is referenced by:  difgtsumgt  11346  expmulnbnd  12996  discr1  13000  hashun2  13172  abstri  14070  iseraltlem2  14413  prmreclem4  15623  tchcphlem1  23034  trirn  23183  nulmbl2  23304  voliunlem1  23318  uniioombllem4  23354  itg2split  23516  ulmcn  24153  abslogle  24364  emcllem2  24723  lgambdd  24763  chtublem  24936  chtub  24937  logfaclbnd  24947  bcmax  25003  chebbnd1lem2  25159  rplogsumlem1  25173  selberglem2  25235  selbergb  25238  chpdifbndlem1  25242  pntpbnd1a  25274  pntpbnd2  25276  pntibndlem2  25280  pntibndlem3  25281  pntlemg  25287  pntlemr  25291  pntlemk  25295  pntlemo  25296  ostth2lem3  25324  smcnlem  27552  minvecolem3  27732  staddi  29105  stadd3i  29107  nexple  30071  fsum2dsub  30685  resconn  31228  itg2addnc  33464  ftc1anclem8  33492  pell1qrgaplem  37437  leadd12dd  39532  ioodvbdlimc1lem2  40147  stoweidlem11  40228  stoweidlem26  40243  stirlinglem8  40298  stirlinglem12  40302  fourierdlem4  40328  fourierdlem10  40334  fourierdlem42  40366  fourierdlem47  40370  fourierdlem72  40395  fourierdlem79  40402  fourierdlem93  40416  fourierdlem101  40424  fourierdlem103  40426  fourierdlem104  40427  fourierdlem111  40434  hoidmv1lelem2  40806  vonioolem2  40895  vonicclem2  40898  p1lep2  41314  fmtnodvds  41456  lighneallem4a  41525