Theorem numclwlk2lem2f1o 27238

Description: R is a 1-1 onto function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Oct-2018.) (Revised by AV, 21-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
numclwwlk.v	|- V = (Vtx ` G )
numclwwlk.q	|- Q = ( v e. V , n e. NN |-> { w e. ( n WWalksN G ) | ( ( w ` 0 ) = v /\ ( lastS ` w ) =/= v ) } )
numclwwlk.f	|- F = ( v e. V , n e. NN |-> { w e. ( n ClWWalksN G ) | ( w ` 0 ) = v } )
numclwwlk.h	|- H = ( v e. V , n e. NN |-> { w e. ( n ClWWalksN G ) | ( ( w ` 0 ) = v /\ ( w ` ( n - 2 ) ) =/= ( w ` 0 ) ) } )
numclwwlk.r	|- R = ( x e. ( X H ( N + 2 ) ) |-> ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) )

Assertion

Ref	Expression
numclwlk2lem2f1o	|- ( ( G e. FriendGraph /\ X e. V /\ N e. NN ) -> R : ( X H ( N + 2 ) ) -1-1-onto-> ( X Q N ) )

Distinct variable groups:   n, G, v, w   n, N, v, w   n, V, v   n, X, v, w   w, V   x, G, w   x, H   x, N   x, Q   x, V   x, X, v

Allowed substitution hints:   Q( w, v, n)   R( x, w, v, n)   F( x, w, v, n)   H( w, v, n)

Proof of Theorem numclwlk2lem2f1o

Dummy variables y u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1w 2684	. . . . . . . . 9 |- ( y = x -> ( y e. ( X H ( N + 2 ) ) <-> x e. ( X H ( N + 2 ) ) ) )
2		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( y = x -> ( R ` y ) = ( R ` x ) )
3		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( y = x -> ( y substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) )
4	2, 3	eqeq12d 2637	. . . . . . . . 9 |- ( y = x -> ( ( R ` y ) = ( y substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) <-> ( R ` x ) = ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) )
5	1, 4	imbi12d 334	. . . . . . . 8 |- ( y = x -> ( ( y e. ( X H ( N + 2 ) ) -> ( R ` y ) = ( y substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) <-> ( x e. ( X H ( N + 2 ) ) -> ( R ` x ) = ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) ) )
6	5	imbi2d 330	. . . . . . 7 |- ( y = x -> ( ( ( X e. V /\ N e. NN ) -> ( y e. ( X H ( N + 2 ) ) -> ( R ` y ) = ( y substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) ) <-> ( ( X e. V /\ N e. NN ) -> ( x e. ( X H ( N + 2 ) ) -> ( R ` x ) = ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) ) ) )
7		numclwwlk.v	. . . . . . . 8 |- V = (Vtx ` G )
8		numclwwlk.q	. . . . . . . 8 |- Q = ( v e. V , n e. NN |-> { w e. ( n WWalksN G ) | ( ( w ` 0 ) = v /\ ( lastS ` w ) =/= v ) } )
9		numclwwlk.f	. . . . . . . 8 |- F = ( v e. V , n e. NN |-> { w e. ( n ClWWalksN G ) | ( w ` 0 ) = v } )
10		numclwwlk.h	. . . . . . . 8 |- H = ( v e. V , n e. NN |-> { w e. ( n ClWWalksN G ) | ( ( w ` 0 ) = v /\ ( w ` ( n - 2 ) ) =/= ( w ` 0 ) ) } )
11		numclwwlk.r	. . . . . . . 8 |- R = ( x e. ( X H ( N + 2 ) ) |-> ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) )
12	7, 8, 9, 10, 11	numclwlk2lem2fv 27237	. . . . . . 7 |- ( ( X e. V /\ N e. NN ) -> ( y e. ( X H ( N + 2 ) ) -> ( R ` y ) = ( y substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) )
13	6, 12	chvarv 2263	. . . . . 6 |- ( ( X e. V /\ N e. NN ) -> ( x e. ( X H ( N + 2 ) ) -> ( R ` x ) = ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) )
14	13	3adant1 1079	. . . . 5 |- ( ( G e. FriendGraph /\ X e. V /\ N e. NN ) -> ( x e. ( X H ( N + 2 ) ) -> ( R ` x ) = ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) )
15	14	imp 445	. . . 4 |- ( ( ( G e. FriendGraph /\ X e. V /\ N e. NN ) /\ x e. ( X H ( N + 2 ) ) ) -> ( R ` x ) = ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) )
16	7, 8, 9, 10, 11	numclwlk2lem2f 27236	. . . . 5 |- ( ( G e. FriendGraph /\ X e. V /\ N e. NN ) -> R : ( X H ( N + 2 ) ) --> ( X Q N ) )
17	16	ffvelrnda 6359	. . . 4 |- ( ( ( G e. FriendGraph /\ X e. V /\ N e. NN ) /\ x e. ( X H ( N + 2 ) ) ) -> ( R ` x ) e. ( X Q N ) )
18	15, 17	eqeltrrd 2702	. . 3 |- ( ( ( G e. FriendGraph /\ X e. V /\ N e. NN ) /\ x e. ( X H ( N + 2 ) ) ) -> ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) e. ( X Q N ) )
19	18	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ( G e. FriendGraph /\ X e. V /\ N e. NN ) -> A. x e. ( X H ( N + 2 ) ) ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) e. ( X Q N ) )
20	7, 8, 9, 10	numclwwlk2lem1 27235	. . . . 5 |- ( ( G e. FriendGraph /\ X e. V /\ N e. NN ) -> ( u e. ( X Q N ) -> E! v e. V ( u ++ <" v "> ) e. ( X H ( N + 2 ) ) ) )
21	20	imp 445	. . . 4 |- ( ( ( G e. FriendGraph /\ X e. V /\ N e. NN ) /\ u e. ( X Q N ) ) -> E! v e. V ( u ++ <" v "> ) e. ( X H ( N + 2 ) ) )
22	7, 8	numclwwlkovq 27232	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. V /\ N e. NN ) -> ( X Q N ) = { w e. ( N WWalksN G ) | ( ( w ` 0 ) = X /\ ( lastS ` w ) =/= X ) } )
23	22	eleq2d 2687	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. V /\ N e. NN ) -> ( u e. ( X Q N ) <-> u e. { w e. ( N WWalksN G ) | ( ( w ` 0 ) = X /\ ( lastS ` w ) =/= X ) } ) )
24	23	3adant1 1079	. . . . . . 7 |- ( ( G e. FriendGraph /\ X e. V /\ N e. NN ) -> ( u e. ( X Q N ) <-> u e. { w e. ( N WWalksN G ) | ( ( w ` 0 ) = X /\ ( lastS ` w ) =/= X ) } ) )
25		fveq1 6190	. . . . . . . . . 10 |- ( w = u -> ( w ` 0 ) = ( u ` 0 ) )
26	25	eqeq1d 2624	. . . . . . . . 9 |- ( w = u -> ( ( w ` 0 ) = X <-> ( u ` 0 ) = X ) )
27		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( w = u -> ( lastS ` w ) = ( lastS ` u ) )
28	27	neeq1d 2853	. . . . . . . . 9 |- ( w = u -> ( ( lastS ` w ) =/= X <-> ( lastS ` u ) =/= X ) )
29	26, 28	anbi12d 747	. . . . . . . 8 |- ( w = u -> ( ( ( w ` 0 ) = X /\ ( lastS ` w ) =/= X ) <-> ( ( u ` 0 ) = X /\ ( lastS ` u ) =/= X ) ) )
30	29	elrab 3363	. . . . . . 7 |- ( u e. { w e. ( N WWalksN G ) | ( ( w ` 0 ) = X /\ ( lastS ` w ) =/= X ) } <-> ( u e. ( N WWalksN G ) /\ ( ( u ` 0 ) = X /\ ( lastS ` u ) =/= X ) ) )
31	24, 30	syl6bb 276	. . . . . 6 |- ( ( G e. FriendGraph /\ X e. V /\ N e. NN ) -> ( u e. ( X Q N ) <-> ( u e. ( N WWalksN G ) /\ ( ( u ` 0 ) = X /\ ( lastS ` u ) =/= X ) ) ) )
32		wwlknbp2 26752	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u e. ( N WWalksN G ) -> ( u e. Word (Vtx ` G ) /\ ( # ` u ) = ( N + 1 ) ) )
33	7	wrdeqi 13328	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- Word V = Word (Vtx ` G )
34	33	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. Word V <-> u e. Word (Vtx ` G ) )
35	34	anbi1i 731	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u e. Word V /\ ( # ` u ) = ( N + 1 ) ) <-> ( u e. Word (Vtx ` G ) /\ ( # ` u ) = ( N + 1 ) ) )
36	32, 35	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u e. ( N WWalksN G ) -> ( u e. Word V /\ ( # ` u ) = ( N + 1 ) ) )
37		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( u e. Word V /\ ( # ` u ) = ( N + 1 ) ) /\ ( G e. FriendGraph /\ X e. V /\ N e. NN ) ) -> u e. Word V )
38		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( N e. NN -> N e. NN )
39		2nn 11185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- 2 e. NN
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( N e. NN -> 2 e. NN )
41	38, 40	nnaddcld 11067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( N e. NN -> ( N + 2 ) e. NN )
42	7, 8, 9, 10	numclwwlkovh 27234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( X e. V /\ ( N + 2 ) e. NN ) -> ( X H ( N + 2 ) ) = { w e. ( ( N + 2 ) ClWWalksN G ) | ( ( w ` 0 ) = X /\ ( w ` ( ( N + 2 ) - 2 ) ) =/= ( w ` 0 ) ) } )
43	41, 42	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( X e. V /\ N e. NN ) -> ( X H ( N + 2 ) ) = { w e. ( ( N + 2 ) ClWWalksN G ) | ( ( w ` 0 ) = X /\ ( w ` ( ( N + 2 ) - 2 ) ) =/= ( w ` 0 ) ) } )
44	43	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( X e. V /\ N e. NN ) -> ( x e. ( X H ( N + 2 ) ) <-> x e. { w e. ( ( N + 2 ) ClWWalksN G ) | ( ( w ` 0 ) = X /\ ( w ` ( ( N + 2 ) - 2 ) ) =/= ( w ` 0 ) ) } ) )
45		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( w = x -> ( w ` 0 ) = ( x ` 0 ) )
46	45	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( w = x -> ( ( w ` 0 ) = X <-> ( x ` 0 ) = X ) )
47		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( w = x -> ( w ` ( ( N + 2 ) - 2 ) ) = ( x ` ( ( N + 2 ) - 2 ) ) )
48	47, 45	neeq12d 2855	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( w = x -> ( ( w ` ( ( N + 2 ) - 2 ) ) =/= ( w ` 0 ) <-> ( x ` ( ( N + 2 ) - 2 ) ) =/= ( x ` 0 ) ) )
49	46, 48	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( w = x -> ( ( ( w ` 0 ) = X /\ ( w ` ( ( N + 2 ) - 2 ) ) =/= ( w ` 0 ) ) <-> ( ( x ` 0 ) = X /\ ( x ` ( ( N + 2 ) - 2 ) ) =/= ( x ` 0 ) ) ) )
50	49	elrab 3363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. { w e. ( ( N + 2 ) ClWWalksN G ) | ( ( w ` 0 ) = X /\ ( w ` ( ( N + 2 ) - 2 ) ) =/= ( w ` 0 ) ) } <-> ( x e. ( ( N + 2 ) ClWWalksN G ) /\ ( ( x ` 0 ) = X /\ ( x ` ( ( N + 2 ) - 2 ) ) =/= ( x ` 0 ) ) ) )
51	44, 50	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( X e. V /\ N e. NN ) -> ( x e. ( X H ( N + 2 ) ) <-> ( x e. ( ( N + 2 ) ClWWalksN G ) /\ ( ( x ` 0 ) = X /\ ( x ` ( ( N + 2 ) - 2 ) ) =/= ( x ` 0 ) ) ) ) )
52	51	3adant1 1079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( G e. FriendGraph /\ X e. V /\ N e. NN ) -> ( x e. ( X H ( N + 2 ) ) <-> ( x e. ( ( N + 2 ) ClWWalksN G ) /\ ( ( x ` 0 ) = X /\ ( x ` ( ( N + 2 ) - 2 ) ) =/= ( x ` 0 ) ) ) ) )
53	52	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( u e. Word V /\ ( # ` u ) = ( N + 1 ) ) /\ ( G e. FriendGraph /\ X e. V /\ N e. NN ) ) -> ( x e. ( X H ( N + 2 ) ) <-> ( x e. ( ( N + 2 ) ClWWalksN G ) /\ ( ( x ` 0 ) = X /\ ( x ` ( ( N + 2 ) - 2 ) ) =/= ( x ` 0 ) ) ) ) )
54	7	clwwlknbp 26885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. ( ( N + 2 ) ClWWalksN G ) -> ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 2 ) ) )
55		lencl 13324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( u e. Word V -> ( # ` u ) e. NN0 )
56		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ( # ` u ) e. NN0 /\ ( # ` u ) = ( N + 1 ) ) /\ N e. NN ) /\ ( ( # ` x ) = ( N + 2 ) /\ x e. Word V ) ) -> x e. Word V )
57		df-2 11079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- 2 = ( 1 + 1 )
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( N e. NN -> 2 = ( 1 + 1 ) )
59	58	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( N e. NN -> ( N + 2 ) = ( N + ( 1 + 1 ) ) )
60		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( N e. NN -> N e. CC )
61		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( N e. NN -> 1 e. CC )
62	60, 61, 61	addassd 10062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( N e. NN -> ( ( N + 1 ) + 1 ) = ( N + ( 1 + 1 ) ) )
63	59, 62	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( N e. NN -> ( N + 2 ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) )
64	63	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ( # ` u ) e. NN0 /\ ( # ` u ) = ( N + 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( N + 2 ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) )
65	64	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ( # ` u ) e. NN0 /\ ( # ` u ) = ( N + 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( ( # ` x ) = ( N + 2 ) <-> ( # ` x ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) )
66	65	biimpcd 239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( # ` x ) = ( N + 2 ) -> ( ( ( ( # ` u ) e. NN0 /\ ( # ` u ) = ( N + 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( # ` x ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) )
67	66	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( # ` x ) = ( N + 2 ) /\ x e. Word V ) -> ( ( ( ( # ` u ) e. NN0 /\ ( # ` u ) = ( N + 1 ) ) /\ N e. NN ) -> ( # ` x ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) ) )
68	67	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ( # ` u ) e. NN0 /\ ( # ` u ) = ( N + 1 ) ) /\ N e. NN ) /\ ( ( # ` x ) = ( N + 2 ) /\ x e. Word V ) ) -> ( # ` x ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) )
69		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( # ` u ) = ( N + 1 ) -> ( ( # ` u ) + 1 ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) )
70	69	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ( # ` u ) e. NN0 /\ ( # ` u ) = ( N + 1 ) ) /\ N e. NN ) /\ ( ( # ` x ) = ( N + 2 ) /\ x e. Word V ) ) -> ( ( # ` u ) + 1 ) = ( ( N + 1 ) + 1 ) )
71	68, 70	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ( # ` u ) e. NN0 /\ ( # ` u ) = ( N + 1 ) ) /\ N e. NN ) /\ ( ( # ` x ) = ( N + 2 ) /\ x e. Word V ) ) -> ( # ` x ) = ( ( # ` u ) + 1 ) )
72	56, 71	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ( # ` u ) e. NN0 /\ ( # ` u ) = ( N + 1 ) ) /\ N e. NN ) /\ ( ( # ` x ) = ( N + 2 ) /\ x e. Word V ) ) -> ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( ( # ` u ) + 1 ) ) )
73	72	exp31 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( # ` u ) e. NN0 /\ ( # ` u ) = ( N + 1 ) ) -> ( N e. NN -> ( ( ( # ` x ) = ( N + 2 ) /\ x e. Word V ) -> ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( ( # ` u ) + 1 ) ) ) ) )
74	55, 73	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( u e. Word V /\ ( # ` u ) = ( N + 1 ) ) -> ( N e. NN -> ( ( ( # ` x ) = ( N + 2 ) /\ x e. Word V ) -> ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( ( # ` u ) + 1 ) ) ) ) )
75	74	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( N e. NN -> ( ( u e. Word V /\ ( # ` u ) = ( N + 1 ) ) -> ( ( ( # ` x ) = ( N + 2 ) /\ x e. Word V ) -> ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( ( # ` u ) + 1 ) ) ) ) )
76	75	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( G e. FriendGraph /\ X e. V /\ N e. NN ) -> ( ( u e. Word V /\ ( # ` u ) = ( N + 1 ) ) -> ( ( ( # ` x ) = ( N + 2 ) /\ x e. Word V ) -> ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( ( # ` u ) + 1 ) ) ) ) )
77	76	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( u e. Word V /\ ( # ` u ) = ( N + 1 ) ) /\ ( G e. FriendGraph /\ X e. V /\ N e. NN ) ) -> ( ( ( # ` x ) = ( N + 2 ) /\ x e. Word V ) -> ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( ( # ` u ) + 1 ) ) ) )
78	77	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( # ` x ) = ( N + 2 ) /\ x e. Word V ) -> ( ( ( u e. Word V /\ ( # ` u ) = ( N + 1 ) ) /\ ( G e. FriendGraph /\ X e. V /\ N e. NN ) ) -> ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( ( # ` u ) + 1 ) ) ) )
79	78	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 2 ) ) -> ( ( ( u e. Word V /\ ( # ` u ) = ( N + 1 ) ) /\ ( G e. FriendGraph /\ X e. V /\ N e. NN ) ) -> ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( ( # ` u ) + 1 ) ) ) )
80	54, 79	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. ( ( N + 2 ) ClWWalksN G ) -> ( ( ( u e. Word V /\ ( # ` u ) = ( N + 1 ) ) /\ ( G e. FriendGraph /\ X e. V /\ N e. NN ) ) -> ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( ( # ` u ) + 1 ) ) ) )
81	80	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. ( ( N + 2 ) ClWWalksN G ) /\ ( ( x ` 0 ) = X /\ ( x ` ( ( N + 2 ) - 2 ) ) =/= ( x ` 0 ) ) ) -> ( ( ( u e. Word V /\ ( # ` u ) = ( N + 1 ) ) /\ ( G e. FriendGraph /\ X e. V /\ N e. NN ) ) -> ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( ( # ` u ) + 1 ) ) ) )
82	81	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( u e. Word V /\ ( # ` u ) = ( N + 1 ) ) /\ ( G e. FriendGraph /\ X e. V /\ N e. NN ) ) -> ( ( x e. ( ( N + 2 ) ClWWalksN G ) /\ ( ( x ` 0 ) = X /\ ( x ` ( ( N + 2 ) - 2 ) ) =/= ( x ` 0 ) ) ) -> ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( ( # ` u ) + 1 ) ) ) )
83	53, 82	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( u e. Word V /\ ( # ` u ) = ( N + 1 ) ) /\ ( G e. FriendGraph /\ X e. V /\ N e. NN ) ) -> ( x e. ( X H ( N + 2 ) ) -> ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( ( # ` u ) + 1 ) ) ) )
84	83	ralrimiv 2965	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( u e. Word V /\ ( # ` u ) = ( N + 1 ) ) /\ ( G e. FriendGraph /\ X e. V /\ N e. NN ) ) -> A. x e. ( X H ( N + 2 ) ) ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( ( # ` u ) + 1 ) ) )
85	37, 84	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( u e. Word V /\ ( # ` u ) = ( N + 1 ) ) /\ ( G e. FriendGraph /\ X e. V /\ N e. NN ) ) -> ( u e. Word V /\ A. x e. ( X H ( N + 2 ) ) ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( ( # ` u ) + 1 ) ) ) )
86	85	ex 450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u e. Word V /\ ( # ` u ) = ( N + 1 ) ) -> ( ( G e. FriendGraph /\ X e. V /\ N e. NN ) -> ( u e. Word V /\ A. x e. ( X H ( N + 2 ) ) ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( ( # ` u ) + 1 ) ) ) ) )
87	36, 86	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. ( N WWalksN G ) -> ( ( G e. FriendGraph /\ X e. V /\ N e. NN ) -> ( u e. Word V /\ A. x e. ( X H ( N + 2 ) ) ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( ( # ` u ) + 1 ) ) ) ) )
88	87	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u e. ( N WWalksN G ) /\ ( ( u ` 0 ) = X /\ ( lastS ` u ) =/= X ) ) -> ( ( G e. FriendGraph /\ X e. V /\ N e. NN ) -> ( u e. Word V /\ A. x e. ( X H ( N + 2 ) ) ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( ( # ` u ) + 1 ) ) ) ) )
89	88	imp 445	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( u e. ( N WWalksN G ) /\ ( ( u ` 0 ) = X /\ ( lastS ` u ) =/= X ) ) /\ ( G e. FriendGraph /\ X e. V /\ N e. NN ) ) -> ( u e. Word V /\ A. x e. ( X H ( N + 2 ) ) ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( ( # ` u ) + 1 ) ) ) )
90		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ v X
91		nfmpt21 6722	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ v ( v e. V , n e. NN |-> { w e. ( n ClWWalksN G ) | ( ( w ` 0 ) = v /\ ( w ` ( n - 2 ) ) =/= ( w ` 0 ) ) } )
92	10, 91	nfcxfr 2762	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ v H
93		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ v ( N + 2 )
94	90, 92, 93	nfov 6676	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ v ( X H ( N + 2 ) )
95	94	reuccats1 13480	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u e. Word V /\ A. x e. ( X H ( N + 2 ) ) ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( ( # ` u ) + 1 ) ) ) -> ( E! v e. V ( u ++ <" v "> ) e. ( X H ( N + 2 ) ) -> E! x e. ( X H ( N + 2 ) ) u = ( x substr <. 0 , ( # ` u ) >. ) ) )
96	89, 95	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( u e. ( N WWalksN G ) /\ ( ( u ` 0 ) = X /\ ( lastS ` u ) =/= X ) ) /\ ( G e. FriendGraph /\ X e. V /\ N e. NN ) ) -> ( E! v e. V ( u ++ <" v "> ) e. ( X H ( N + 2 ) ) -> E! x e. ( X H ( N + 2 ) ) u = ( x substr <. 0 , ( # ` u ) >. ) ) )
97	96	imp 445	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( u e. ( N WWalksN G ) /\ ( ( u ` 0 ) = X /\ ( lastS ` u ) =/= X ) ) /\ ( G e. FriendGraph /\ X e. V /\ N e. NN ) ) /\ E! v e. V ( u ++ <" v "> ) e. ( X H ( N + 2 ) ) ) -> E! x e. ( X H ( N + 2 ) ) u = ( x substr <. 0 , ( # ` u ) >. ) )
98		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( u e. Word V /\ ( # ` u ) = ( N + 1 ) ) -> ( # ` u ) = ( N + 1 ) )
99	98	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u e. Word V /\ ( # ` u ) = ( N + 1 ) ) -> ( N + 1 ) = ( # ` u ) )
100	36, 99	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u e. ( N WWalksN G ) -> ( N + 1 ) = ( # ` u ) )
101	100	ad4antr 768	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( u e. ( N WWalksN G ) /\ ( ( u ` 0 ) = X /\ ( lastS ` u ) =/= X ) ) /\ ( G e. FriendGraph /\ X e. V /\ N e. NN ) ) /\ E! v e. V ( u ++ <" v "> ) e. ( X H ( N + 2 ) ) ) /\ x e. ( X H ( N + 2 ) ) ) -> ( N + 1 ) = ( # ` u ) )
102	101	opeq2d 4409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( u e. ( N WWalksN G ) /\ ( ( u ` 0 ) = X /\ ( lastS ` u ) =/= X ) ) /\ ( G e. FriendGraph /\ X e. V /\ N e. NN ) ) /\ E! v e. V ( u ++ <" v "> ) e. ( X H ( N + 2 ) ) ) /\ x e. ( X H ( N + 2 ) ) ) -> <. 0 , ( N + 1 ) >. = <. 0 , ( # ` u ) >. )
103	102	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( u e. ( N WWalksN G ) /\ ( ( u ` 0 ) = X /\ ( lastS ` u ) =/= X ) ) /\ ( G e. FriendGraph /\ X e. V /\ N e. NN ) ) /\ E! v e. V ( u ++ <" v "> ) e. ( X H ( N + 2 ) ) ) /\ x e. ( X H ( N + 2 ) ) ) -> ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) = ( x substr <. 0 , ( # ` u ) >. ) )
104	103	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( u e. ( N WWalksN G ) /\ ( ( u ` 0 ) = X /\ ( lastS ` u ) =/= X ) ) /\ ( G e. FriendGraph /\ X e. V /\ N e. NN ) ) /\ E! v e. V ( u ++ <" v "> ) e. ( X H ( N + 2 ) ) ) /\ x e. ( X H ( N + 2 ) ) ) -> ( u = ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) <-> u = ( x substr <. 0 , ( # ` u ) >. ) ) )
105	104	reubidva 3125	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( u e. ( N WWalksN G ) /\ ( ( u ` 0 ) = X /\ ( lastS ` u ) =/= X ) ) /\ ( G e. FriendGraph /\ X e. V /\ N e. NN ) ) /\ E! v e. V ( u ++ <" v "> ) e. ( X H ( N + 2 ) ) ) -> ( E! x e. ( X H ( N + 2 ) ) u = ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) <-> E! x e. ( X H ( N + 2 ) ) u = ( x substr <. 0 , ( # ` u ) >. ) ) )
106	97, 105	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( u e. ( N WWalksN G ) /\ ( ( u ` 0 ) = X /\ ( lastS ` u ) =/= X ) ) /\ ( G e. FriendGraph /\ X e. V /\ N e. NN ) ) /\ E! v e. V ( u ++ <" v "> ) e. ( X H ( N + 2 ) ) ) -> E! x e. ( X H ( N + 2 ) ) u = ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) )
107	106	exp31 630	. . . . . . 7 |- ( ( u e. ( N WWalksN G ) /\ ( ( u ` 0 ) = X /\ ( lastS ` u ) =/= X ) ) -> ( ( G e. FriendGraph /\ X e. V /\ N e. NN ) -> ( E! v e. V ( u ++ <" v "> ) e. ( X H ( N + 2 ) ) -> E! x e. ( X H ( N + 2 ) ) u = ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) ) )
108	107	com12 32	. . . . . 6 |- ( ( G e. FriendGraph /\ X e. V /\ N e. NN ) -> ( ( u e. ( N WWalksN G ) /\ ( ( u ` 0 ) = X /\ ( lastS ` u ) =/= X ) ) -> ( E! v e. V ( u ++ <" v "> ) e. ( X H ( N + 2 ) ) -> E! x e. ( X H ( N + 2 ) ) u = ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) ) )
109	31, 108	sylbid 230	. . . . 5 |- ( ( G e. FriendGraph /\ X e. V /\ N e. NN ) -> ( u e. ( X Q N ) -> ( E! v e. V ( u ++ <" v "> ) e. ( X H ( N + 2 ) ) -> E! x e. ( X H ( N + 2 ) ) u = ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) ) )
110	109	imp 445	. . . 4 |- ( ( ( G e. FriendGraph /\ X e. V /\ N e. NN ) /\ u e. ( X Q N ) ) -> ( E! v e. V ( u ++ <" v "> ) e. ( X H ( N + 2 ) ) -> E! x e. ( X H ( N + 2 ) ) u = ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) )
111	21, 110	mpd 15	. . 3 |- ( ( ( G e. FriendGraph /\ X e. V /\ N e. NN ) /\ u e. ( X Q N ) ) -> E! x e. ( X H ( N + 2 ) ) u = ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) )
112	111	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ( G e. FriendGraph /\ X e. V /\ N e. NN ) -> A. u e. ( X Q N ) E! x e. ( X H ( N + 2 ) ) u = ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) )
113	11	f1ompt 6382	. 2 |- ( R : ( X H ( N + 2 ) ) -1-1-onto-> ( X Q N ) <-> ( A. x e. ( X H ( N + 2 ) ) ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) e. ( X Q N ) /\ A. u e. ( X Q N ) E! x e. ( X H ( N + 2 ) ) u = ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) )
114	19, 112, 113	sylanbrc 698	1 |- ( ( G e. FriendGraph /\ X e. V /\ N e. NN ) -> R : ( X H ( N + 2 ) ) -1-1-onto-> ( X Q N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E!wreu 2914   {crab 2916   <.cop 4183   |-> cmpt 4729   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   - cmin 10266   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   #chash 13117  Word cword 13291   lastS clsw 13292   ++ cconcat 13293   <"cs1 13294   substr csubstr 13295  Vtxcvtx 25874   WWalksN cwwlksn 26718   ClWWalksN cclwwlksn 26876   FriendGraph cfrgr 27120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-lsw 13300  df-concat 13301  df-s1 13302  df-substr 13303  df-wwlks 26722  df-wwlksn 26723  df-clwwlks 26877  df-clwwlksn 26878  df-frgr 27121

This theorem is referenced by:  numclwwlk2lem3  27239