Theorem numclwlk2lem2f 27236

Description: R is a function mapping the "closed (n+2)-walks v(0) ... v(n-2) v(n-1) v(n) v(n+1) v(n+2) starting at X = v(0) = v(n+2) with v(n) =/= X" to the words representing the prefix v(0) ... v(n-2) v(n-1) v(n) of the walk. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2018.) (Revised by AV, 31-May-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
numclwwlk.v	|- V = (Vtx ` G )
numclwwlk.q	|- Q = ( v e. V , n e. NN |-> { w e. ( n WWalksN G ) | ( ( w ` 0 ) = v /\ ( lastS ` w ) =/= v ) } )
numclwwlk.f	|- F = ( v e. V , n e. NN |-> { w e. ( n ClWWalksN G ) | ( w ` 0 ) = v } )
numclwwlk.h	|- H = ( v e. V , n e. NN |-> { w e. ( n ClWWalksN G ) | ( ( w ` 0 ) = v /\ ( w ` ( n - 2 ) ) =/= ( w ` 0 ) ) } )
numclwwlk.r	|- R = ( x e. ( X H ( N + 2 ) ) |-> ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) )

Assertion

Ref	Expression
numclwlk2lem2f	|- ( ( G e. FriendGraph /\ X e. V /\ N e. NN ) -> R : ( X H ( N + 2 ) ) --> ( X Q N ) )

Distinct variable groups:   n, G, v, w   n, N, v, w   n, V, v   n, X, v, w   w, V   x, G, w   x, H   x, N   x, Q   x, V   x, X

Allowed substitution hints:   Q( w, v, n)   R( x, w, v, n)   F( x, w, v, n)   H( w, v, n)

Proof of Theorem numclwlk2lem2f

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> N e. NN )
2		2nn 11185	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. NN
3	2	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> 2 e. NN )
4	1, 3	nnaddcld 11067	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( N + 2 ) e. NN )
5	4	anim2i 593	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. V /\ N e. NN ) -> ( X e. V /\ ( N + 2 ) e. NN ) )
6	5	3adant1 1079	. . . . . . 7 |- ( ( G e. FriendGraph /\ X e. V /\ N e. NN ) -> ( X e. V /\ ( N + 2 ) e. NN ) )
7		numclwwlk.v	. . . . . . . . 9 |- V = (Vtx ` G )
8		numclwwlk.q	. . . . . . . . 9 |- Q = ( v e. V , n e. NN |-> { w e. ( n WWalksN G ) | ( ( w ` 0 ) = v /\ ( lastS ` w ) =/= v ) } )
9		numclwwlk.f	. . . . . . . . 9 |- F = ( v e. V , n e. NN |-> { w e. ( n ClWWalksN G ) | ( w ` 0 ) = v } )
10		numclwwlk.h	. . . . . . . . 9 |- H = ( v e. V , n e. NN |-> { w e. ( n ClWWalksN G ) | ( ( w ` 0 ) = v /\ ( w ` ( n - 2 ) ) =/= ( w ` 0 ) ) } )
11	7, 8, 9, 10	numclwwlkovh 27234	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. V /\ ( N + 2 ) e. NN ) -> ( X H ( N + 2 ) ) = { w e. ( ( N + 2 ) ClWWalksN G ) | ( ( w ` 0 ) = X /\ ( w ` ( ( N + 2 ) - 2 ) ) =/= ( w ` 0 ) ) } )
12	11	eleq2d 2687	. . . . . . 7 |- ( ( X e. V /\ ( N + 2 ) e. NN ) -> ( x e. ( X H ( N + 2 ) ) <-> x e. { w e. ( ( N + 2 ) ClWWalksN G ) | ( ( w ` 0 ) = X /\ ( w ` ( ( N + 2 ) - 2 ) ) =/= ( w ` 0 ) ) } ) )
13	6, 12	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( G e. FriendGraph /\ X e. V /\ N e. NN ) -> ( x e. ( X H ( N + 2 ) ) <-> x e. { w e. ( ( N + 2 ) ClWWalksN G ) | ( ( w ` 0 ) = X /\ ( w ` ( ( N + 2 ) - 2 ) ) =/= ( w ` 0 ) ) } ) )
14		fveq1 6190	. . . . . . . . 9 |- ( w = x -> ( w ` 0 ) = ( x ` 0 ) )
15	14	eqeq1d 2624	. . . . . . . 8 |- ( w = x -> ( ( w ` 0 ) = X <-> ( x ` 0 ) = X ) )
16		fveq1 6190	. . . . . . . . 9 |- ( w = x -> ( w ` ( ( N + 2 ) - 2 ) ) = ( x ` ( ( N + 2 ) - 2 ) ) )
17	16, 14	neeq12d 2855	. . . . . . . 8 |- ( w = x -> ( ( w ` ( ( N + 2 ) - 2 ) ) =/= ( w ` 0 ) <-> ( x ` ( ( N + 2 ) - 2 ) ) =/= ( x ` 0 ) ) )
18	15, 17	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( w = x -> ( ( ( w ` 0 ) = X /\ ( w ` ( ( N + 2 ) - 2 ) ) =/= ( w ` 0 ) ) <-> ( ( x ` 0 ) = X /\ ( x ` ( ( N + 2 ) - 2 ) ) =/= ( x ` 0 ) ) ) )
19	18	elrab 3363	. . . . . 6 |- ( x e. { w e. ( ( N + 2 ) ClWWalksN G ) | ( ( w ` 0 ) = X /\ ( w ` ( ( N + 2 ) - 2 ) ) =/= ( w ` 0 ) ) } <-> ( x e. ( ( N + 2 ) ClWWalksN G ) /\ ( ( x ` 0 ) = X /\ ( x ` ( ( N + 2 ) - 2 ) ) =/= ( x ` 0 ) ) ) )
20	13, 19	syl6bb 276	. . . . 5 |- ( ( G e. FriendGraph /\ X e. V /\ N e. NN ) -> ( x e. ( X H ( N + 2 ) ) <-> ( x e. ( ( N + 2 ) ClWWalksN G ) /\ ( ( x ` 0 ) = X /\ ( x ` ( ( N + 2 ) - 2 ) ) =/= ( x ` 0 ) ) ) ) )
21		peano2nn 11032	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> ( N + 1 ) e. NN )
22		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
23		2z 11409	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 e. ZZ
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. NN -> 2 e. ZZ )
25	22, 24	zaddcld 11486	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN -> ( N + 2 ) e. ZZ )
26		uzid 11702	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N + 2 ) e. ZZ -> ( N + 2 ) e. ( ZZ>= ` ( N + 2 ) ) )
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN -> ( N + 2 ) e. ( ZZ>= ` ( N + 2 ) ) )
28		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. NN -> N e. CC )
29		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. NN -> 1 e. CC )
30	28, 29, 29	addassd 10062	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. NN -> ( ( N + 1 ) + 1 ) = ( N + ( 1 + 1 ) ) )
31		1p1e2 11134	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1 + 1 ) = 2
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. NN -> ( 1 + 1 ) = 2 )
33	32	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. NN -> ( N + ( 1 + 1 ) ) = ( N + 2 ) )
34	30, 33	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN -> ( ( N + 1 ) + 1 ) = ( N + 2 ) )
35	34	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN -> ( ZZ>= ` ( ( N + 1 ) + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( N + 2 ) ) )
36	27, 35	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> ( N + 2 ) e. ( ZZ>= ` ( ( N + 1 ) + 1 ) ) )
37	21, 36	jca 554	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> ( ( N + 1 ) e. NN /\ ( N + 2 ) e. ( ZZ>= ` ( ( N + 1 ) + 1 ) ) ) )
38	37	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. FriendGraph /\ X e. V /\ N e. NN ) -> ( ( N + 1 ) e. NN /\ ( N + 2 ) e. ( ZZ>= ` ( ( N + 1 ) + 1 ) ) ) )
39	38	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. FriendGraph /\ X e. V /\ N e. NN ) /\ ( x e. ( ( N + 2 ) ClWWalksN G ) /\ ( ( x ` 0 ) = X /\ ( x ` ( ( N + 2 ) - 2 ) ) =/= ( x ` 0 ) ) ) ) -> ( ( N + 1 ) e. NN /\ ( N + 2 ) e. ( ZZ>= ` ( ( N + 1 ) + 1 ) ) ) )
40		simprl 794	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. FriendGraph /\ X e. V /\ N e. NN ) /\ ( x e. ( ( N + 2 ) ClWWalksN G ) /\ ( ( x ` 0 ) = X /\ ( x ` ( ( N + 2 ) - 2 ) ) =/= ( x ` 0 ) ) ) ) -> x e. ( ( N + 2 ) ClWWalksN G ) )
41		wwlksubclwwlks 26925	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N + 1 ) e. NN /\ ( N + 2 ) e. ( ZZ>= ` ( ( N + 1 ) + 1 ) ) ) -> ( x e. ( ( N + 2 ) ClWWalksN G ) -> ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) e. ( ( ( N + 1 ) - 1 ) WWalksN G ) ) )
42	39, 40, 41	sylc 65	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. FriendGraph /\ X e. V /\ N e. NN ) /\ ( x e. ( ( N + 2 ) ClWWalksN G ) /\ ( ( x ` 0 ) = X /\ ( x ` ( ( N + 2 ) - 2 ) ) =/= ( x ` 0 ) ) ) ) -> ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) e. ( ( ( N + 1 ) - 1 ) WWalksN G ) )
43		pncan1 10454	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. CC -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
44	43	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. CC -> N = ( ( N + 1 ) - 1 ) )
45	28, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> N = ( ( N + 1 ) - 1 ) )
46	45	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> ( N WWalksN G ) = ( ( ( N + 1 ) - 1 ) WWalksN G ) )
47	46	eleq2d 2687	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> ( ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) e. ( N WWalksN G ) <-> ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) e. ( ( ( N + 1 ) - 1 ) WWalksN G ) ) )
48	47	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. FriendGraph /\ X e. V /\ N e. NN ) -> ( ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) e. ( N WWalksN G ) <-> ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) e. ( ( ( N + 1 ) - 1 ) WWalksN G ) ) )
49	48	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. FriendGraph /\ X e. V /\ N e. NN ) /\ ( x e. ( ( N + 2 ) ClWWalksN G ) /\ ( ( x ` 0 ) = X /\ ( x ` ( ( N + 2 ) - 2 ) ) =/= ( x ` 0 ) ) ) ) -> ( ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) e. ( N WWalksN G ) <-> ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) e. ( ( ( N + 1 ) - 1 ) WWalksN G ) ) )
50	42, 49	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. FriendGraph /\ X e. V /\ N e. NN ) /\ ( x e. ( ( N + 2 ) ClWWalksN G ) /\ ( ( x ` 0 ) = X /\ ( x ` ( ( N + 2 ) - 2 ) ) =/= ( x ` 0 ) ) ) ) -> ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) e. ( N WWalksN G ) )
51	7	clwwlknbp0 26884	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( ( N + 2 ) ClWWalksN G ) -> ( ( G e. _V /\ ( N + 2 ) e. NN ) /\ ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 2 ) ) ) )
52		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( # ` x ) = ( N + 2 ) /\ x e. Word V ) /\ ( X e. V /\ N e. NN ) ) /\ ( ( x ` 0 ) = X /\ ( x ` ( ( N + 2 ) - 2 ) ) =/= ( x ` 0 ) ) ) -> ( x ` 0 ) = X )
53		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( N e. NN /\ ( ( # ` x ) = ( N + 2 ) /\ x e. Word V ) ) -> x e. Word V )
54		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
55		peano2nn0 11333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )
56	54, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( N e. NN -> ( N + 1 ) e. NN0 )
57		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( N e. NN -> N e. RR )
58	57	lep1d 10955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( N e. NN -> N <_ ( N + 1 ) )
59		elfz2nn0 12431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( N e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) <-> ( N e. NN0 /\ ( N + 1 ) e. NN0 /\ N <_ ( N + 1 ) ) )
60	54, 56, 58, 59	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( N e. NN -> N e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) )
61		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( N e. NN -> 2 e. CC )
62		addsubass 10291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( N e. CC /\ 2 e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N + 2 ) - 1 ) = ( N + ( 2 - 1 ) ) )
63		2m1e1 11135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( 2 - 1 ) = 1
64	63	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( N + ( 2 - 1 ) ) = ( N + 1 )
65	62, 64	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( N e. CC /\ 2 e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N + 2 ) - 1 ) = ( N + 1 ) )
66	28, 61, 29, 65	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( N e. NN -> ( ( N + 2 ) - 1 ) = ( N + 1 ) )
67	66	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( N e. NN -> ( 0 ... ( ( N + 2 ) - 1 ) ) = ( 0 ... ( N + 1 ) ) )
68	60, 67	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( N e. NN -> N e. ( 0 ... ( ( N + 2 ) - 1 ) ) )
69		elfzp1b 12417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N + 2 ) e. ZZ ) -> ( N e. ( 0 ... ( ( N + 2 ) - 1 ) ) <-> ( N + 1 ) e. ( 1 ... ( N + 2 ) ) ) )
70	22, 25, 69	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( N e. NN -> ( N e. ( 0 ... ( ( N + 2 ) - 1 ) ) <-> ( N + 1 ) e. ( 1 ... ( N + 2 ) ) ) )
71	68, 70	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( N e. NN -> ( N + 1 ) e. ( 1 ... ( N + 2 ) ) )
72	71	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( N e. NN /\ ( ( # ` x ) = ( N + 2 ) /\ x e. Word V ) ) -> ( N + 1 ) e. ( 1 ... ( N + 2 ) ) )
73		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( # ` x ) = ( N + 2 ) -> ( 1 ... ( # ` x ) ) = ( 1 ... ( N + 2 ) ) )
74	73	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( # ` x ) = ( N + 2 ) -> ( ( N + 1 ) e. ( 1 ... ( # ` x ) ) <-> ( N + 1 ) e. ( 1 ... ( N + 2 ) ) ) )
75	74	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( N e. NN /\ ( ( # ` x ) = ( N + 2 ) /\ x e. Word V ) ) -> ( ( N + 1 ) e. ( 1 ... ( # ` x ) ) <-> ( N + 1 ) e. ( 1 ... ( N + 2 ) ) ) )
76	72, 75	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( N e. NN /\ ( ( # ` x ) = ( N + 2 ) /\ x e. Word V ) ) -> ( N + 1 ) e. ( 1 ... ( # ` x ) ) )
77		swrd0fv0 13440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( x e. Word V /\ ( N + 1 ) e. ( 1 ... ( # ` x ) ) ) -> ( ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ` 0 ) = ( x ` 0 ) )
78	53, 76, 77	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( N e. NN /\ ( ( # ` x ) = ( N + 2 ) /\ x e. Word V ) ) -> ( ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ` 0 ) = ( x ` 0 ) )
79	78	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( N e. NN -> ( ( ( # ` x ) = ( N + 2 ) /\ x e. Word V ) -> ( ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ` 0 ) = ( x ` 0 ) ) )
80	79	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( X e. V /\ N e. NN ) -> ( ( ( # ` x ) = ( N + 2 ) /\ x e. Word V ) -> ( ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ` 0 ) = ( x ` 0 ) ) )
81	80	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( # ` x ) = ( N + 2 ) /\ x e. Word V ) /\ ( X e. V /\ N e. NN ) ) -> ( ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ` 0 ) = ( x ` 0 ) )
82	81	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x ` 0 ) = X /\ ( ( ( ( # ` x ) = ( N + 2 ) /\ x e. Word V ) /\ ( X e. V /\ N e. NN ) ) /\ ( ( x ` 0 ) = X /\ ( x ` ( ( N + 2 ) - 2 ) ) =/= ( x ` 0 ) ) ) ) -> ( ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ` 0 ) = ( x ` 0 ) )
83		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x ` 0 ) = X /\ ( ( ( ( # ` x ) = ( N + 2 ) /\ x e. Word V ) /\ ( X e. V /\ N e. NN ) ) /\ ( ( x ` 0 ) = X /\ ( x ` ( ( N + 2 ) - 2 ) ) =/= ( x ` 0 ) ) ) ) -> ( x ` 0 ) = X )
84	82, 83	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x ` 0 ) = X /\ ( ( ( ( # ` x ) = ( N + 2 ) /\ x e. Word V ) /\ ( X e. V /\ N e. NN ) ) /\ ( ( x ` 0 ) = X /\ ( x ` ( ( N + 2 ) - 2 ) ) =/= ( x ` 0 ) ) ) ) -> ( ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ` 0 ) = X )
85		swrd0fvlsw 13443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( x e. Word V /\ ( N + 1 ) e. ( 1 ... ( # ` x ) ) ) -> ( lastS ` ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) = ( x ` ( ( N + 1 ) - 1 ) ) )
86	53, 76, 85	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( N e. NN /\ ( ( # ` x ) = ( N + 2 ) /\ x e. Word V ) ) -> ( lastS ` ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) = ( x ` ( ( N + 1 ) - 1 ) ) )
87	28, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( N e. NN -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
88	28, 61	pncand 10393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( N e. NN -> ( ( N + 2 ) - 2 ) = N )
89	87, 88	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( N e. NN -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = ( ( N + 2 ) - 2 ) )
90	89	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( N e. NN -> ( x ` ( ( N + 1 ) - 1 ) ) = ( x ` ( ( N + 2 ) - 2 ) ) )
91	90	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( N e. NN /\ ( ( # ` x ) = ( N + 2 ) /\ x e. Word V ) ) -> ( x ` ( ( N + 1 ) - 1 ) ) = ( x ` ( ( N + 2 ) - 2 ) ) )
92	86, 91	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( N e. NN /\ ( ( # ` x ) = ( N + 2 ) /\ x e. Word V ) ) -> ( x ` ( ( N + 2 ) - 2 ) ) = ( lastS ` ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) )
93	92	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( N e. NN -> ( ( ( # ` x ) = ( N + 2 ) /\ x e. Word V ) -> ( x ` ( ( N + 2 ) - 2 ) ) = ( lastS ` ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) ) )
94	93	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( X e. V /\ N e. NN ) -> ( ( ( # ` x ) = ( N + 2 ) /\ x e. Word V ) -> ( x ` ( ( N + 2 ) - 2 ) ) = ( lastS ` ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) ) )
95	94	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( # ` x ) = ( N + 2 ) /\ x e. Word V ) /\ ( X e. V /\ N e. NN ) ) -> ( x ` ( ( N + 2 ) - 2 ) ) = ( lastS ` ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) )
96	95	neeq1d 2853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( # ` x ) = ( N + 2 ) /\ x e. Word V ) /\ ( X e. V /\ N e. NN ) ) -> ( ( x ` ( ( N + 2 ) - 2 ) ) =/= ( x ` 0 ) <-> ( lastS ` ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) =/= ( x ` 0 ) ) )
97	96	biimpcd 239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x ` ( ( N + 2 ) - 2 ) ) =/= ( x ` 0 ) -> ( ( ( ( # ` x ) = ( N + 2 ) /\ x e. Word V ) /\ ( X e. V /\ N e. NN ) ) -> ( lastS ` ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) =/= ( x ` 0 ) ) )
98	97	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( x ` 0 ) = X /\ ( x ` ( ( N + 2 ) - 2 ) ) =/= ( x ` 0 ) ) -> ( ( ( ( # ` x ) = ( N + 2 ) /\ x e. Word V ) /\ ( X e. V /\ N e. NN ) ) -> ( lastS ` ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) =/= ( x ` 0 ) ) )
99	98	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( # ` x ) = ( N + 2 ) /\ x e. Word V ) /\ ( X e. V /\ N e. NN ) ) /\ ( ( x ` 0 ) = X /\ ( x ` ( ( N + 2 ) - 2 ) ) =/= ( x ` 0 ) ) ) -> ( lastS ` ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) =/= ( x ` 0 ) )
100	99	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x ` 0 ) = X /\ ( ( ( ( # ` x ) = ( N + 2 ) /\ x e. Word V ) /\ ( X e. V /\ N e. NN ) ) /\ ( ( x ` 0 ) = X /\ ( x ` ( ( N + 2 ) - 2 ) ) =/= ( x ` 0 ) ) ) ) -> ( lastS ` ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) =/= ( x ` 0 ) )
101		neeq2 2857	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( X = ( x ` 0 ) -> ( ( lastS ` ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) =/= X <-> ( lastS ` ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) =/= ( x ` 0 ) ) )
102	101	eqcoms 2630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x ` 0 ) = X -> ( ( lastS ` ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) =/= X <-> ( lastS ` ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) =/= ( x ` 0 ) ) )
103	102	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x ` 0 ) = X /\ ( ( ( ( # ` x ) = ( N + 2 ) /\ x e. Word V ) /\ ( X e. V /\ N e. NN ) ) /\ ( ( x ` 0 ) = X /\ ( x ` ( ( N + 2 ) - 2 ) ) =/= ( x ` 0 ) ) ) ) -> ( ( lastS ` ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) =/= X <-> ( lastS ` ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) =/= ( x ` 0 ) ) )
104	100, 103	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x ` 0 ) = X /\ ( ( ( ( # ` x ) = ( N + 2 ) /\ x e. Word V ) /\ ( X e. V /\ N e. NN ) ) /\ ( ( x ` 0 ) = X /\ ( x ` ( ( N + 2 ) - 2 ) ) =/= ( x ` 0 ) ) ) ) -> ( lastS ` ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) =/= X )
105	84, 104	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x ` 0 ) = X /\ ( ( ( ( # ` x ) = ( N + 2 ) /\ x e. Word V ) /\ ( X e. V /\ N e. NN ) ) /\ ( ( x ` 0 ) = X /\ ( x ` ( ( N + 2 ) - 2 ) ) =/= ( x ` 0 ) ) ) ) -> ( ( ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ` 0 ) = X /\ ( lastS ` ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) =/= X ) )
106	52, 105	mpancom 703	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( # ` x ) = ( N + 2 ) /\ x e. Word V ) /\ ( X e. V /\ N e. NN ) ) /\ ( ( x ` 0 ) = X /\ ( x ` ( ( N + 2 ) - 2 ) ) =/= ( x ` 0 ) ) ) -> ( ( ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ` 0 ) = X /\ ( lastS ` ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) =/= X ) )
107	106	exp31 630	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( # ` x ) = ( N + 2 ) /\ x e. Word V ) -> ( ( X e. V /\ N e. NN ) -> ( ( ( x ` 0 ) = X /\ ( x ` ( ( N + 2 ) - 2 ) ) =/= ( x ` 0 ) ) -> ( ( ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ` 0 ) = X /\ ( lastS ` ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) =/= X ) ) ) )
108	107	com23 86	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( # ` x ) = ( N + 2 ) /\ x e. Word V ) -> ( ( ( x ` 0 ) = X /\ ( x ` ( ( N + 2 ) - 2 ) ) =/= ( x ` 0 ) ) -> ( ( X e. V /\ N e. NN ) -> ( ( ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ` 0 ) = X /\ ( lastS ` ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) =/= X ) ) ) )
109	108	ancoms 469	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 2 ) ) -> ( ( ( x ` 0 ) = X /\ ( x ` ( ( N + 2 ) - 2 ) ) =/= ( x ` 0 ) ) -> ( ( X e. V /\ N e. NN ) -> ( ( ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ` 0 ) = X /\ ( lastS ` ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) =/= X ) ) ) )
110	51, 109	simpl2im 658	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( ( N + 2 ) ClWWalksN G ) -> ( ( ( x ` 0 ) = X /\ ( x ` ( ( N + 2 ) - 2 ) ) =/= ( x ` 0 ) ) -> ( ( X e. V /\ N e. NN ) -> ( ( ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ` 0 ) = X /\ ( lastS ` ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) =/= X ) ) ) )
111	110	imp 445	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( ( N + 2 ) ClWWalksN G ) /\ ( ( x ` 0 ) = X /\ ( x ` ( ( N + 2 ) - 2 ) ) =/= ( x ` 0 ) ) ) -> ( ( X e. V /\ N e. NN ) -> ( ( ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ` 0 ) = X /\ ( lastS ` ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) =/= X ) ) )
112	111	com12 32	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. V /\ N e. NN ) -> ( ( x e. ( ( N + 2 ) ClWWalksN G ) /\ ( ( x ` 0 ) = X /\ ( x ` ( ( N + 2 ) - 2 ) ) =/= ( x ` 0 ) ) ) -> ( ( ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ` 0 ) = X /\ ( lastS ` ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) =/= X ) ) )
113	112	3adant1 1079	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. FriendGraph /\ X e. V /\ N e. NN ) -> ( ( x e. ( ( N + 2 ) ClWWalksN G ) /\ ( ( x ` 0 ) = X /\ ( x ` ( ( N + 2 ) - 2 ) ) =/= ( x ` 0 ) ) ) -> ( ( ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ` 0 ) = X /\ ( lastS ` ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) =/= X ) ) )
114	113	imp 445	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. FriendGraph /\ X e. V /\ N e. NN ) /\ ( x e. ( ( N + 2 ) ClWWalksN G ) /\ ( ( x ` 0 ) = X /\ ( x ` ( ( N + 2 ) - 2 ) ) =/= ( x ` 0 ) ) ) ) -> ( ( ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ` 0 ) = X /\ ( lastS ` ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) =/= X ) )
115	50, 114	jca 554	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. FriendGraph /\ X e. V /\ N e. NN ) /\ ( x e. ( ( N + 2 ) ClWWalksN G ) /\ ( ( x ` 0 ) = X /\ ( x ` ( ( N + 2 ) - 2 ) ) =/= ( x ` 0 ) ) ) ) -> ( ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) e. ( N WWalksN G ) /\ ( ( ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ` 0 ) = X /\ ( lastS ` ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) =/= X ) ) )
116	115	ex 450	. . . . 5 |- ( ( G e. FriendGraph /\ X e. V /\ N e. NN ) -> ( ( x e. ( ( N + 2 ) ClWWalksN G ) /\ ( ( x ` 0 ) = X /\ ( x ` ( ( N + 2 ) - 2 ) ) =/= ( x ` 0 ) ) ) -> ( ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) e. ( N WWalksN G ) /\ ( ( ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ` 0 ) = X /\ ( lastS ` ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) =/= X ) ) ) )
117	20, 116	sylbid 230	. . . 4 |- ( ( G e. FriendGraph /\ X e. V /\ N e. NN ) -> ( x e. ( X H ( N + 2 ) ) -> ( ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) e. ( N WWalksN G ) /\ ( ( ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ` 0 ) = X /\ ( lastS ` ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) =/= X ) ) ) )
118	117	imp 445	. . 3 |- ( ( ( G e. FriendGraph /\ X e. V /\ N e. NN ) /\ x e. ( X H ( N + 2 ) ) ) -> ( ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) e. ( N WWalksN G ) /\ ( ( ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ` 0 ) = X /\ ( lastS ` ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) =/= X ) ) )
119		3simpc 1060	. . . . . . 7 |- ( ( G e. FriendGraph /\ X e. V /\ N e. NN ) -> ( X e. V /\ N e. NN ) )
120	119	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. FriendGraph /\ X e. V /\ N e. NN ) /\ x e. ( X H ( N + 2 ) ) ) -> ( X e. V /\ N e. NN ) )
121	7, 8	numclwwlkovq 27232	. . . . . 6 |- ( ( X e. V /\ N e. NN ) -> ( X Q N ) = { w e. ( N WWalksN G ) | ( ( w ` 0 ) = X /\ ( lastS ` w ) =/= X ) } )
122	120, 121	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( G e. FriendGraph /\ X e. V /\ N e. NN ) /\ x e. ( X H ( N + 2 ) ) ) -> ( X Q N ) = { w e. ( N WWalksN G ) | ( ( w ` 0 ) = X /\ ( lastS ` w ) =/= X ) } )
123	122	eleq2d 2687	. . . 4 |- ( ( ( G e. FriendGraph /\ X e. V /\ N e. NN ) /\ x e. ( X H ( N + 2 ) ) ) -> ( ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) e. ( X Q N ) <-> ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) e. { w e. ( N WWalksN G ) | ( ( w ` 0 ) = X /\ ( lastS ` w ) =/= X ) } ) )
124		fveq1 6190	. . . . . . 7 |- ( w = ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) -> ( w ` 0 ) = ( ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ` 0 ) )
125	124	eqeq1d 2624	. . . . . 6 |- ( w = ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) -> ( ( w ` 0 ) = X <-> ( ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ` 0 ) = X ) )
126		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( w = ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) -> ( lastS ` w ) = ( lastS ` ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) )
127	126	neeq1d 2853	. . . . . 6 |- ( w = ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) -> ( ( lastS ` w ) =/= X <-> ( lastS ` ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) =/= X ) )
128	125, 127	anbi12d 747	. . . . 5 |- ( w = ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) -> ( ( ( w ` 0 ) = X /\ ( lastS ` w ) =/= X ) <-> ( ( ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ` 0 ) = X /\ ( lastS ` ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) =/= X ) ) )
129	128	elrab 3363	. . . 4 |- ( ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) e. { w e. ( N WWalksN G ) | ( ( w ` 0 ) = X /\ ( lastS ` w ) =/= X ) } <-> ( ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) e. ( N WWalksN G ) /\ ( ( ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ` 0 ) = X /\ ( lastS ` ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) =/= X ) ) )
130	123, 129	syl6bb 276	. . 3 |- ( ( ( G e. FriendGraph /\ X e. V /\ N e. NN ) /\ x e. ( X H ( N + 2 ) ) ) -> ( ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) e. ( X Q N ) <-> ( ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) e. ( N WWalksN G ) /\ ( ( ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ` 0 ) = X /\ ( lastS ` ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) ) =/= X ) ) ) )
131	118, 130	mpbird 247	. 2 |- ( ( ( G e. FriendGraph /\ X e. V /\ N e. NN ) /\ x e. ( X H ( N + 2 ) ) ) -> ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) e. ( X Q N ) )
132		numclwwlk.r	. 2 |- R = ( x e. ( X H ( N + 2 ) ) |-> ( x substr <. 0 , ( N + 1 ) >. ) )
133	131, 132	fmptd 6385	1 |- ( ( G e. FriendGraph /\ X e. V /\ N e. NN ) -> R : ( X H ( N + 2 ) ) --> ( X Q N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   {crab 2916   _Vcvv 3200   <.cop 4183   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   #chash 13117  Word cword 13291   lastS clsw 13292   substr csubstr 13295  Vtxcvtx 25874   WWalksN cwwlksn 26718   ClWWalksN cclwwlksn 26876   FriendGraph cfrgr 27120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-lsw 13300  df-substr 13303  df-wwlks 26722  df-wwlksn 26723  df-clwwlks 26877  df-clwwlksn 26878

This theorem is referenced by:  numclwlk2lem2f1o  27238