Theorem nmcvcn 27550

Description: The norm of a normed complex vector space is a continuous function. (Contributed by NM, 16-May-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmcvcn.1	|- N = ( normCV ` U )
nmcvcn.2	|- C = ( IndMet ` U )
nmcvcn.j	|- J = ( MetOpen ` C )
nmcvcn.k	|- K = ( topGen ` ran (,) )

Assertion

Ref	Expression
nmcvcn	|- ( U e. NrmCVec -> N e. ( J Cn K ) )

Proof of Theorem nmcvcn

Dummy variables e d x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . 3 |- ( BaseSet ` U ) = ( BaseSet ` U )
2		nmcvcn.1	. . 3 |- N = ( normCV ` U )
3	1, 2	nvf 27515	. 2 |- ( U e. NrmCVec -> N : ( BaseSet ` U ) --> RR )
4		simprr 796	. . . 4 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( x e. ( BaseSet ` U ) /\ e e. RR+ ) ) -> e e. RR+ )
5	1, 2	nvcl 27516	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( N ` x ) e. RR )
6	5	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( U e. NrmCVec -> ( x e. ( BaseSet ` U ) -> ( N ` x ) e. RR ) )
7	1, 2	nvcl 27516	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( U e. NrmCVec /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( N ` y ) e. RR )
8	7	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( U e. NrmCVec -> ( y e. ( BaseSet ` U ) -> ( N ` y ) e. RR ) )
9	6, 8	anim12d 586	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U e. NrmCVec -> ( ( x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( ( N ` x ) e. RR /\ ( N ` y ) e. RR ) ) )
10		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) = ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) )
11	10	remet 22593	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) e. ( Met ` RR )
12		metcl 22137	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) e. ( Met ` RR ) /\ ( N ` x ) e. RR /\ ( N ` y ) e. RR ) -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) e. RR )
13	11, 12	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N ` x ) e. RR /\ ( N ` y ) e. RR ) -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) e. RR )
14	9, 13	syl6 35	. . . . . . . . . . 11 |- ( U e. NrmCVec -> ( ( x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) e. RR ) )
15	14	3impib 1262	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) e. RR )
16		nmcvcn.2	. . . . . . . . . . . 12 |- C = ( IndMet ` U )
17	1, 16	imsmet 27546	. . . . . . . . . . 11 |- ( U e. NrmCVec -> C e. ( Met ` ( BaseSet ` U ) ) )
18		metcl 22137	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ( Met ` ( BaseSet ` U ) ) /\ x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( x C y ) e. RR )
19	17, 18	syl3an1 1359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( x C y ) e. RR )
20		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( +v ` U ) = ( +v ` U )
21		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( .sOLD ` U ) = ( .sOLD ` U )
22	1, 20, 21, 2	nvabs 27527	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( abs ` ( ( N ` x ) - ( N ` y ) ) ) <_ ( N ` ( x ( +v ` U ) ( -u 1 ( .sOLD ` U ) y ) ) ) )
23	9	3impib 1262	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( ( N ` x ) e. RR /\ ( N ` y ) e. RR ) )
24	10	remetdval 22592	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N ` x ) e. RR /\ ( N ` y ) e. RR ) -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) = ( abs ` ( ( N ` x ) - ( N ` y ) ) ) )
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) = ( abs ` ( ( N ` x ) - ( N ` y ) ) ) )
26	1, 20, 21, 2, 16	imsdval2 27542	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( x C y ) = ( N ` ( x ( +v ` U ) ( -u 1 ( .sOLD ` U ) y ) ) ) )
27	22, 25, 26	3brtr4d 4685	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) <_ ( x C y ) )
28	15, 19, 27	jca31 557	. . . . . . . . 9 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( ( ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) e. RR /\ ( x C y ) e. RR ) /\ ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) <_ ( x C y ) ) )
29	28	3expa 1265	. . . . . . . 8 |- ( ( ( U e. NrmCVec /\ x e. ( BaseSet ` U ) ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( ( ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) e. RR /\ ( x C y ) e. RR ) /\ ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) <_ ( x C y ) ) )
30		rpre 11839	. . . . . . . 8 |- ( e e. RR+ -> e e. RR )
31		lelttr 10128	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) e. RR /\ ( x C y ) e. RR /\ e e. RR ) -> ( ( ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) <_ ( x C y ) /\ ( x C y ) < e ) -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) )
32	31	3expa 1265	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) e. RR /\ ( x C y ) e. RR ) /\ e e. RR ) -> ( ( ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) <_ ( x C y ) /\ ( x C y ) < e ) -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) )
33	32	expdimp 453	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) e. RR /\ ( x C y ) e. RR ) /\ e e. RR ) /\ ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) <_ ( x C y ) ) -> ( ( x C y ) < e -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) )
34	33	an32s 846	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) e. RR /\ ( x C y ) e. RR ) /\ ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) <_ ( x C y ) ) /\ e e. RR ) -> ( ( x C y ) < e -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) )
35	29, 30, 34	syl2an 494	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( U e. NrmCVec /\ x e. ( BaseSet ` U ) ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) /\ e e. RR+ ) -> ( ( x C y ) < e -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) )
36	35	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( ( U e. NrmCVec /\ x e. ( BaseSet ` U ) ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( e e. RR+ -> ( ( x C y ) < e -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) ) )
37	36	ralrimdva 2969	. . . . 5 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( e e. RR+ -> A. y e. ( BaseSet ` U ) ( ( x C y ) < e -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) ) )
38	37	impr 649	. . . 4 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( x e. ( BaseSet ` U ) /\ e e. RR+ ) ) -> A. y e. ( BaseSet ` U ) ( ( x C y ) < e -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) )
39		breq2 4657	. . . . . . 7 |- ( d = e -> ( ( x C y ) < d <-> ( x C y ) < e ) )
40	39	imbi1d 331	. . . . . 6 |- ( d = e -> ( ( ( x C y ) < d -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) <-> ( ( x C y ) < e -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) ) )
41	40	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( d = e -> ( A. y e. ( BaseSet ` U ) ( ( x C y ) < d -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) <-> A. y e. ( BaseSet ` U ) ( ( x C y ) < e -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) ) )
42	41	rspcev 3309	. . . 4 |- ( ( e e. RR+ /\ A. y e. ( BaseSet ` U ) ( ( x C y ) < e -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) ) -> E. d e. RR+ A. y e. ( BaseSet ` U ) ( ( x C y ) < d -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) )
43	4, 38, 42	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( x e. ( BaseSet ` U ) /\ e e. RR+ ) ) -> E. d e. RR+ A. y e. ( BaseSet ` U ) ( ( x C y ) < d -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) )
44	43	ralrimivva 2971	. 2 |- ( U e. NrmCVec -> A. x e. ( BaseSet ` U ) A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. y e. ( BaseSet ` U ) ( ( x C y ) < d -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) )
45	1, 16	imsxmet 27547	. . 3 |- ( U e. NrmCVec -> C e. ( *Met ` ( BaseSet ` U ) ) )
46	10	rexmet 22594	. . 3 |- ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) e. ( *Met ` RR )
47		nmcvcn.j	. . . 4 |- J = ( MetOpen ` C )
48		nmcvcn.k	. . . . 5 |- K = ( topGen ` ran (,) )
49		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) )
50	10, 49	tgioo 22599	. . . . 5 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) )
51	48, 50	eqtri 2644	. . . 4 |- K = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) )
52	47, 51	metcn 22348	. . 3 |- ( ( C e. ( *Met ` ( BaseSet ` U ) ) /\ ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) e. ( *Met ` RR ) ) -> ( N e. ( J Cn K ) <-> ( N : ( BaseSet ` U ) --> RR /\ A. x e. ( BaseSet ` U ) A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. y e. ( BaseSet ` U ) ( ( x C y ) < d -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) ) ) )
53	45, 46, 52	sylancl 694	. 2 |- ( U e. NrmCVec -> ( N e. ( J Cn K ) <-> ( N : ( BaseSet ` U ) --> RR /\ A. x e. ( BaseSet ` U ) A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. y e. ( BaseSet ` U ) ( ( x C y ) < d -> ( ( N ` x ) ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ( N ` y ) ) < e ) ) ) )
54	3, 44, 53	mpbir2and 957	1 |- ( U e. NrmCVec -> N e. ( J Cn K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   ran crn 5115   |` cres 5116   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   1c1 9937   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   abscabs 13974   topGenctg 16098   *Metcxmt 19731   Metcme 19732   MetOpencmopn 19736   Cn ccn 21028   NrmCVeccnv 27439   +vcpv 27440   BaseSetcba 27441   .sOLDcns 27442   norm_CVcnmcv 27445   IndMetcims 27446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ginv 27349  df-gdiv 27350  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-vs 27454  df-nmcv 27455  df-ims 27456

This theorem is referenced by:  nmcnc  27551