Theorem ubthlem3 27728

Description: Lemma for ubth 27729. Prove the reverse implication, using nmblolbi 27655. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ubth.1	|- X = ( BaseSet ` U )
ubth.2	|- N = ( normCV ` W )
ubthlem.3	|- D = ( IndMet ` U )
ubthlem.4	|- J = ( MetOpen ` D )
ubthlem.5	|- U e. CBan
ubthlem.6	|- W e. NrmCVec
ubthlem.7	|- ( ph -> T C_ ( U BLnOp W ) )

Assertion

Ref	Expression
ubthlem3	|- ( ph -> ( A. x e. X E. c e. RR A. t e. T ( N ` ( t ` x ) ) <_ c <-> E. d e. RR A. t e. T ( ( U normOpOLD W ) ` t ) <_ d ) )

Distinct variable groups:   x, c, t, D   t, J, x   t, d, x, c, N   ph, c, t, x   T, c, d, t, x   U, c, d, t, x   W, c, d, t, x   X, c, d, t, x   ph, d

Allowed substitution hints:   D( d)   J( c, d)

Proof of Theorem ubthlem3

Dummy variables k n r y z m u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6190	. . . . . . . . . 10 |- ( u = t -> ( u ` z ) = ( t ` z ) )
2	1	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( u = t -> ( N ` ( u ` z ) ) = ( N ` ( t ` z ) ) )
3	2	breq1d 4663	. . . . . . . 8 |- ( u = t -> ( ( N ` ( u ` z ) ) <_ d <-> ( N ` ( t ` z ) ) <_ d ) )
4	3	cbvralv 3171	. . . . . . 7 |- ( A. u e. T ( N ` ( u ` z ) ) <_ d <-> A. t e. T ( N ` ( t ` z ) ) <_ d )
5		breq2 4657	. . . . . . . 8 |- ( d = c -> ( ( N ` ( t ` z ) ) <_ d <-> ( N ` ( t ` z ) ) <_ c ) )
6	5	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( d = c -> ( A. t e. T ( N ` ( t ` z ) ) <_ d <-> A. t e. T ( N ` ( t ` z ) ) <_ c ) )
7	4, 6	syl5bb 272	. . . . . 6 |- ( d = c -> ( A. u e. T ( N ` ( u ` z ) ) <_ d <-> A. t e. T ( N ` ( t ` z ) ) <_ c ) )
8	7	cbvrexv 3172	. . . . 5 |- ( E. d e. RR A. u e. T ( N ` ( u ` z ) ) <_ d <-> E. c e. RR A. t e. T ( N ` ( t ` z ) ) <_ c )
9		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( z = x -> ( t ` z ) = ( t ` x ) )
10	9	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( z = x -> ( N ` ( t ` z ) ) = ( N ` ( t ` x ) ) )
11	10	breq1d 4663	. . . . . 6 |- ( z = x -> ( ( N ` ( t ` z ) ) <_ c <-> ( N ` ( t ` x ) ) <_ c ) )
12	11	rexralbidv 3058	. . . . 5 |- ( z = x -> ( E. c e. RR A. t e. T ( N ` ( t ` z ) ) <_ c <-> E. c e. RR A. t e. T ( N ` ( t ` x ) ) <_ c ) )
13	8, 12	syl5bb 272	. . . 4 |- ( z = x -> ( E. d e. RR A. u e. T ( N ` ( u ` z ) ) <_ d <-> E. c e. RR A. t e. T ( N ` ( t ` x ) ) <_ c ) )
14	13	cbvralv 3171	. . 3 |- ( A. z e. X E. d e. RR A. u e. T ( N ` ( u ` z ) ) <_ d <-> A. x e. X E. c e. RR A. t e. T ( N ` ( t ` x ) ) <_ c )
15		ubth.1	. . . . . 6 |- X = ( BaseSet ` U )
16		ubth.2	. . . . . 6 |- N = ( normCV ` W )
17		ubthlem.3	. . . . . 6 |- D = ( IndMet ` U )
18		ubthlem.4	. . . . . 6 |- J = ( MetOpen ` D )
19		ubthlem.5	. . . . . 6 |- U e. CBan
20		ubthlem.6	. . . . . 6 |- W e. NrmCVec
21		ubthlem.7	. . . . . . 7 |- ( ph -> T C_ ( U BLnOp W ) )
22	21	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. z e. X E. d e. RR A. u e. T ( N ` ( u ` z ) ) <_ d ) -> T C_ ( U BLnOp W ) )
23		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. z e. X E. d e. RR A. u e. T ( N ` ( u ` z ) ) <_ d ) -> A. z e. X E. d e. RR A. u e. T ( N ` ( u ` z ) ) <_ d )
24	23, 14	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. z e. X E. d e. RR A. u e. T ( N ` ( u ` z ) ) <_ d ) -> A. x e. X E. c e. RR A. t e. T ( N ` ( t ` x ) ) <_ c )
25		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = t -> ( u ` d ) = ( t ` d ) )
26	25	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = t -> ( N ` ( u ` d ) ) = ( N ` ( t ` d ) ) )
27	26	breq1d 4663	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = t -> ( ( N ` ( u ` d ) ) <_ m <-> ( N ` ( t ` d ) ) <_ m ) )
28	27	cbvralv 3171	. . . . . . . . . 10 |- ( A. u e. T ( N ` ( u ` d ) ) <_ m <-> A. t e. T ( N ` ( t ` d ) ) <_ m )
29		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( d = z -> ( t ` d ) = ( t ` z ) )
30	29	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( d = z -> ( N ` ( t ` d ) ) = ( N ` ( t ` z ) ) )
31	30	breq1d 4663	. . . . . . . . . . 11 |- ( d = z -> ( ( N ` ( t ` d ) ) <_ m <-> ( N ` ( t ` z ) ) <_ m ) )
32	31	ralbidv 2986	. . . . . . . . . 10 |- ( d = z -> ( A. t e. T ( N ` ( t ` d ) ) <_ m <-> A. t e. T ( N ` ( t ` z ) ) <_ m ) )
33	28, 32	syl5bb 272	. . . . . . . . 9 |- ( d = z -> ( A. u e. T ( N ` ( u ` d ) ) <_ m <-> A. t e. T ( N ` ( t ` z ) ) <_ m ) )
34	33	cbvrabv 3199	. . . . . . . 8 |- { d e. X | A. u e. T ( N ` ( u ` d ) ) <_ m } = { z e. X | A. t e. T ( N ` ( t ` z ) ) <_ m }
35		breq2 4657	. . . . . . . . . 10 |- ( m = k -> ( ( N ` ( t ` z ) ) <_ m <-> ( N ` ( t ` z ) ) <_ k ) )
36	35	ralbidv 2986	. . . . . . . . 9 |- ( m = k -> ( A. t e. T ( N ` ( t ` z ) ) <_ m <-> A. t e. T ( N ` ( t ` z ) ) <_ k ) )
37	36	rabbidv 3189	. . . . . . . 8 |- ( m = k -> { z e. X | A. t e. T ( N ` ( t ` z ) ) <_ m } = { z e. X | A. t e. T ( N ` ( t ` z ) ) <_ k } )
38	34, 37	syl5eq 2668	. . . . . . 7 |- ( m = k -> { d e. X | A. u e. T ( N ` ( u ` d ) ) <_ m } = { z e. X | A. t e. T ( N ` ( t ` z ) ) <_ k } )
39	38	cbvmptv 4750	. . . . . 6 |- ( m e. NN |-> { d e. X | A. u e. T ( N ` ( u ` d ) ) <_ m } ) = ( k e. NN |-> { z e. X | A. t e. T ( N ` ( t ` z ) ) <_ k } )
40	15, 16, 17, 18, 19, 20, 22, 24, 39	ubthlem1 27726	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A. z e. X E. d e. RR A. u e. T ( N ` ( u ` z ) ) <_ d ) -> E. n e. NN E. y e. X E. r e. RR+ { z e. X | ( y D z ) <_ r } C_ ( ( m e. NN |-> { d e. X | A. u e. T ( N ` ( u ` d ) ) <_ m } ) ` n ) )
41	21	ad3antrrr 766	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ A. z e. X E. d e. RR A. u e. T ( N ` ( u ` z ) ) <_ d ) /\ ( n e. NN /\ y e. X ) ) /\ ( r e. RR+ /\ { z e. X | ( y D z ) <_ r } C_ ( ( m e. NN |-> { d e. X | A. u e. T ( N ` ( u ` d ) ) <_ m } ) ` n ) ) ) -> T C_ ( U BLnOp W ) )
42	24	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ A. z e. X E. d e. RR A. u e. T ( N ` ( u ` z ) ) <_ d ) /\ ( n e. NN /\ y e. X ) ) /\ ( r e. RR+ /\ { z e. X | ( y D z ) <_ r } C_ ( ( m e. NN |-> { d e. X | A. u e. T ( N ` ( u ` d ) ) <_ m } ) ` n ) ) ) -> A. x e. X E. c e. RR A. t e. T ( N ` ( t ` x ) ) <_ c )
43		simplrl 800	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ A. z e. X E. d e. RR A. u e. T ( N ` ( u ` z ) ) <_ d ) /\ ( n e. NN /\ y e. X ) ) /\ ( r e. RR+ /\ { z e. X | ( y D z ) <_ r } C_ ( ( m e. NN |-> { d e. X | A. u e. T ( N ` ( u ` d ) ) <_ m } ) ` n ) ) ) -> n e. NN )
44		simplrr 801	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ A. z e. X E. d e. RR A. u e. T ( N ` ( u ` z ) ) <_ d ) /\ ( n e. NN /\ y e. X ) ) /\ ( r e. RR+ /\ { z e. X | ( y D z ) <_ r } C_ ( ( m e. NN |-> { d e. X | A. u e. T ( N ` ( u ` d ) ) <_ m } ) ` n ) ) ) -> y e. X )
45		simprl 794	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ A. z e. X E. d e. RR A. u e. T ( N ` ( u ` z ) ) <_ d ) /\ ( n e. NN /\ y e. X ) ) /\ ( r e. RR+ /\ { z e. X | ( y D z ) <_ r } C_ ( ( m e. NN |-> { d e. X | A. u e. T ( N ` ( u ` d ) ) <_ m } ) ` n ) ) ) -> r e. RR+ )
46		simprr 796	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ A. z e. X E. d e. RR A. u e. T ( N ` ( u ` z ) ) <_ d ) /\ ( n e. NN /\ y e. X ) ) /\ ( r e. RR+ /\ { z e. X | ( y D z ) <_ r } C_ ( ( m e. NN |-> { d e. X | A. u e. T ( N ` ( u ` d ) ) <_ m } ) ` n ) ) ) -> { z e. X | ( y D z ) <_ r } C_ ( ( m e. NN |-> { d e. X | A. u e. T ( N ` ( u ` d ) ) <_ m } ) ` n ) )
47	15, 16, 17, 18, 19, 20, 41, 42, 39, 43, 44, 45, 46	ubthlem2 27727	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ A. z e. X E. d e. RR A. u e. T ( N ` ( u ` z ) ) <_ d ) /\ ( n e. NN /\ y e. X ) ) /\ ( r e. RR+ /\ { z e. X | ( y D z ) <_ r } C_ ( ( m e. NN |-> { d e. X | A. u e. T ( N ` ( u ` d ) ) <_ m } ) ` n ) ) ) -> E. d e. RR A. t e. T ( ( U normOpOLD W ) ` t ) <_ d )
48	47	expr 643	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ A. z e. X E. d e. RR A. u e. T ( N ` ( u ` z ) ) <_ d ) /\ ( n e. NN /\ y e. X ) ) /\ r e. RR+ ) -> ( { z e. X | ( y D z ) <_ r } C_ ( ( m e. NN |-> { d e. X | A. u e. T ( N ` ( u ` d ) ) <_ m } ) ` n ) -> E. d e. RR A. t e. T ( ( U normOpOLD W ) ` t ) <_ d ) )
49	48	rexlimdva 3031	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. z e. X E. d e. RR A. u e. T ( N ` ( u ` z ) ) <_ d ) /\ ( n e. NN /\ y e. X ) ) -> ( E. r e. RR+ { z e. X | ( y D z ) <_ r } C_ ( ( m e. NN |-> { d e. X | A. u e. T ( N ` ( u ` d ) ) <_ m } ) ` n ) -> E. d e. RR A. t e. T ( ( U normOpOLD W ) ` t ) <_ d ) )
50	49	rexlimdvva 3038	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A. z e. X E. d e. RR A. u e. T ( N ` ( u ` z ) ) <_ d ) -> ( E. n e. NN E. y e. X E. r e. RR+ { z e. X | ( y D z ) <_ r } C_ ( ( m e. NN |-> { d e. X | A. u e. T ( N ` ( u ` d ) ) <_ m } ) ` n ) -> E. d e. RR A. t e. T ( ( U normOpOLD W ) ` t ) <_ d ) )
51	40, 50	mpd 15	. . . 4 |- ( ( ph /\ A. z e. X E. d e. RR A. u e. T ( N ` ( u ` z ) ) <_ d ) -> E. d e. RR A. t e. T ( ( U normOpOLD W ) ` t ) <_ d )
52	51	ex 450	. . 3 |- ( ph -> ( A. z e. X E. d e. RR A. u e. T ( N ` ( u ` z ) ) <_ d -> E. d e. RR A. t e. T ( ( U normOpOLD W ) ` t ) <_ d ) )
53	14, 52	syl5bir 233	. 2 |- ( ph -> ( A. x e. X E. c e. RR A. t e. T ( N ` ( t ` x ) ) <_ c -> E. d e. RR A. t e. T ( ( U normOpOLD W ) ` t ) <_ d ) )
54		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ d e. RR ) -> d e. RR )
55		bnnv 27722	. . . . . . . 8 |- ( U e. CBan -> U e. NrmCVec )
56	19, 55	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- U e. NrmCVec
57		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( normCV ` U ) = ( normCV ` U )
58	15, 57	nvcl 27516	. . . . . . 7 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. X ) -> ( ( normCV ` U ) ` x ) e. RR )
59	56, 58	mpan 706	. . . . . 6 |- ( x e. X -> ( ( normCV ` U ) ` x ) e. RR )
60		remulcl 10021	. . . . . 6 |- ( ( d e. RR /\ ( ( normCV ` U ) ` x ) e. RR ) -> ( d x. ( ( normCV ` U ) ` x ) ) e. RR )
61	54, 59, 60	syl2an 494	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ d e. RR ) /\ x e. X ) -> ( d x. ( ( normCV ` U ) ` x ) ) e. RR )
62	21	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> t e. ( U BLnOp W ) )
63	62	adantlr 751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ d e. RR ) /\ t e. T ) -> t e. ( U BLnOp W ) )
64	63	ad2ant2r 783	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ d e. RR ) /\ x e. X ) /\ ( t e. T /\ ( ( U normOpOLD W ) ` t ) <_ d ) ) -> t e. ( U BLnOp W ) )
65		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( BaseSet ` W ) = ( BaseSet ` W )
66		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( U BLnOp W ) = ( U BLnOp W )
67	15, 65, 66	blof 27640	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ t e. ( U BLnOp W ) ) -> t : X --> ( BaseSet ` W ) )
68	56, 20, 67	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . 11 |- ( t e. ( U BLnOp W ) -> t : X --> ( BaseSet ` W ) )
69	64, 68	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ d e. RR ) /\ x e. X ) /\ ( t e. T /\ ( ( U normOpOLD W ) ` t ) <_ d ) ) -> t : X --> ( BaseSet ` W ) )
70		simplr 792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ d e. RR ) /\ x e. X ) /\ ( t e. T /\ ( ( U normOpOLD W ) ` t ) <_ d ) ) -> x e. X )
71	69, 70	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ d e. RR ) /\ x e. X ) /\ ( t e. T /\ ( ( U normOpOLD W ) ` t ) <_ d ) ) -> ( t ` x ) e. ( BaseSet ` W ) )
72	65, 16	nvcl 27516	. . . . . . . . . 10 |- ( ( W e. NrmCVec /\ ( t ` x ) e. ( BaseSet ` W ) ) -> ( N ` ( t ` x ) ) e. RR )
73	20, 72	mpan 706	. . . . . . . . 9 |- ( ( t ` x ) e. ( BaseSet ` W ) -> ( N ` ( t ` x ) ) e. RR )
74	71, 73	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ d e. RR ) /\ x e. X ) /\ ( t e. T /\ ( ( U normOpOLD W ) ` t ) <_ d ) ) -> ( N ` ( t ` x ) ) e. RR )
75		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( U normOpOLD W ) = ( U normOpOLD W )
76	15, 65, 75	nmoxr 27621	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ t : X --> ( BaseSet ` W ) ) -> ( ( U normOpOLD W ) ` t ) e. RR* )
77	56, 20, 76	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . 11 |- ( t : X --> ( BaseSet ` W ) -> ( ( U normOpOLD W ) ` t ) e. RR* )
78	69, 77	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ d e. RR ) /\ x e. X ) /\ ( t e. T /\ ( ( U normOpOLD W ) ` t ) <_ d ) ) -> ( ( U normOpOLD W ) ` t ) e. RR* )
79		simpllr 799	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ d e. RR ) /\ x e. X ) /\ ( t e. T /\ ( ( U normOpOLD W ) ` t ) <_ d ) ) -> d e. RR )
80	15, 65, 75	nmogtmnf 27625	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ t : X --> ( BaseSet ` W ) ) -> -oo < ( ( U normOpOLD W ) ` t ) )
81	56, 20, 80	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . 11 |- ( t : X --> ( BaseSet ` W ) -> -oo < ( ( U normOpOLD W ) ` t ) )
82	69, 81	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ d e. RR ) /\ x e. X ) /\ ( t e. T /\ ( ( U normOpOLD W ) ` t ) <_ d ) ) -> -oo < ( ( U normOpOLD W ) ` t ) )
83		simprr 796	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ d e. RR ) /\ x e. X ) /\ ( t e. T /\ ( ( U normOpOLD W ) ` t ) <_ d ) ) -> ( ( U normOpOLD W ) ` t ) <_ d )
84		xrre 12000	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( U normOpOLD W ) ` t ) e. RR* /\ d e. RR ) /\ ( -oo < ( ( U normOpOLD W ) ` t ) /\ ( ( U normOpOLD W ) ` t ) <_ d ) ) -> ( ( U normOpOLD W ) ` t ) e. RR )
85	78, 79, 82, 83, 84	syl22anc 1327	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ d e. RR ) /\ x e. X ) /\ ( t e. T /\ ( ( U normOpOLD W ) ` t ) <_ d ) ) -> ( ( U normOpOLD W ) ` t ) e. RR )
86	59	ad2antlr 763	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ d e. RR ) /\ x e. X ) /\ ( t e. T /\ ( ( U normOpOLD W ) ` t ) <_ d ) ) -> ( ( normCV ` U ) ` x ) e. RR )
87		remulcl 10021	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( U normOpOLD W ) ` t ) e. RR /\ ( ( normCV ` U ) ` x ) e. RR ) -> ( ( ( U normOpOLD W ) ` t ) x. ( ( normCV ` U ) ` x ) ) e. RR )
88	85, 86, 87	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ d e. RR ) /\ x e. X ) /\ ( t e. T /\ ( ( U normOpOLD W ) ` t ) <_ d ) ) -> ( ( ( U normOpOLD W ) ` t ) x. ( ( normCV ` U ) ` x ) ) e. RR )
89	61	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ d e. RR ) /\ x e. X ) /\ ( t e. T /\ ( ( U normOpOLD W ) ` t ) <_ d ) ) -> ( d x. ( ( normCV ` U ) ` x ) ) e. RR )
90	15, 57, 16, 75, 66, 56, 20	nmblolbi 27655	. . . . . . . . 9 |- ( ( t e. ( U BLnOp W ) /\ x e. X ) -> ( N ` ( t ` x ) ) <_ ( ( ( U normOpOLD W ) ` t ) x. ( ( normCV ` U ) ` x ) ) )
91	64, 70, 90	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ d e. RR ) /\ x e. X ) /\ ( t e. T /\ ( ( U normOpOLD W ) ` t ) <_ d ) ) -> ( N ` ( t ` x ) ) <_ ( ( ( U normOpOLD W ) ` t ) x. ( ( normCV ` U ) ` x ) ) )
92	15, 57	nvge0 27528	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. X ) -> 0 <_ ( ( normCV ` U ) ` x ) )
93	56, 92	mpan 706	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. X -> 0 <_ ( ( normCV ` U ) ` x ) )
94	59, 93	jca 554	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. X -> ( ( ( normCV ` U ) ` x ) e. RR /\ 0 <_ ( ( normCV ` U ) ` x ) ) )
95	94	ad2antlr 763	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ d e. RR ) /\ x e. X ) /\ ( t e. T /\ ( ( U normOpOLD W ) ` t ) <_ d ) ) -> ( ( ( normCV ` U ) ` x ) e. RR /\ 0 <_ ( ( normCV ` U ) ` x ) ) )
96		lemul1a 10877	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( U normOpOLD W ) ` t ) e. RR /\ d e. RR /\ ( ( ( normCV ` U ) ` x ) e. RR /\ 0 <_ ( ( normCV ` U ) ` x ) ) ) /\ ( ( U normOpOLD W ) ` t ) <_ d ) -> ( ( ( U normOpOLD W ) ` t ) x. ( ( normCV ` U ) ` x ) ) <_ ( d x. ( ( normCV ` U ) ` x ) ) )
97	85, 79, 95, 83, 96	syl31anc 1329	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ d e. RR ) /\ x e. X ) /\ ( t e. T /\ ( ( U normOpOLD W ) ` t ) <_ d ) ) -> ( ( ( U normOpOLD W ) ` t ) x. ( ( normCV ` U ) ` x ) ) <_ ( d x. ( ( normCV ` U ) ` x ) ) )
98	74, 88, 89, 91, 97	letrd 10194	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ d e. RR ) /\ x e. X ) /\ ( t e. T /\ ( ( U normOpOLD W ) ` t ) <_ d ) ) -> ( N ` ( t ` x ) ) <_ ( d x. ( ( normCV ` U ) ` x ) ) )
99	98	expr 643	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ d e. RR ) /\ x e. X ) /\ t e. T ) -> ( ( ( U normOpOLD W ) ` t ) <_ d -> ( N ` ( t ` x ) ) <_ ( d x. ( ( normCV ` U ) ` x ) ) ) )
100	99	ralimdva 2962	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ d e. RR ) /\ x e. X ) -> ( A. t e. T ( ( U normOpOLD W ) ` t ) <_ d -> A. t e. T ( N ` ( t ` x ) ) <_ ( d x. ( ( normCV ` U ) ` x ) ) ) )
101		breq2 4657	. . . . . . 7 |- ( c = ( d x. ( ( normCV ` U ) ` x ) ) -> ( ( N ` ( t ` x ) ) <_ c <-> ( N ` ( t ` x ) ) <_ ( d x. ( ( normCV ` U ) ` x ) ) ) )
102	101	ralbidv 2986	. . . . . 6 |- ( c = ( d x. ( ( normCV ` U ) ` x ) ) -> ( A. t e. T ( N ` ( t ` x ) ) <_ c <-> A. t e. T ( N ` ( t ` x ) ) <_ ( d x. ( ( normCV ` U ) ` x ) ) ) )
103	102	rspcev 3309	. . . . 5 |- ( ( ( d x. ( ( normCV ` U ) ` x ) ) e. RR /\ A. t e. T ( N ` ( t ` x ) ) <_ ( d x. ( ( normCV ` U ) ` x ) ) ) -> E. c e. RR A. t e. T ( N ` ( t ` x ) ) <_ c )
104	61, 100, 103	syl6an 568	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ d e. RR ) /\ x e. X ) -> ( A. t e. T ( ( U normOpOLD W ) ` t ) <_ d -> E. c e. RR A. t e. T ( N ` ( t ` x ) ) <_ c ) )
105	104	ralrimdva 2969	. . 3 |- ( ( ph /\ d e. RR ) -> ( A. t e. T ( ( U normOpOLD W ) ` t ) <_ d -> A. x e. X E. c e. RR A. t e. T ( N ` ( t ` x ) ) <_ c ) )
106	105	rexlimdva 3031	. 2 |- ( ph -> ( E. d e. RR A. t e. T ( ( U normOpOLD W ) ` t ) <_ d -> A. x e. X E. c e. RR A. t e. T ( N ` ( t ` x ) ) <_ c ) )
107	53, 106	impbid 202	1 |- ( ph -> ( A. x e. X E. c e. RR A. t e. T ( N ` ( t ` x ) ) <_ c <-> E. d e. RR A. t e. T ( ( U normOpOLD W ) ` t ) <_ d ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   x. cmul 9941   -oocmnf 10072   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   NNcn 11020   RR+crp 11832   MetOpencmopn 19736   NrmCVeccnv 27439   BaseSetcba 27441   norm_CVcnmcv 27445   IndMetcims 27446   normOpOLDcnmoo 27596   BLnOp cblo 27597   CBanccbn 27718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-dc 9268  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ico 12181  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-lm 21033  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-cfil 23053  df-cau 23054  df-cmet 23055  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ginv 27349  df-gdiv 27350  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-vs 27454  df-nmcv 27455  df-ims 27456  df-lno 27599  df-nmoo 27600  df-blo 27601  df-0o 27602  df-cbn 27719

This theorem is referenced by:  ubth  27729