Theorem oien 8443

Description: The order type of a well-ordered set is equinumerous to the set. (Contributed by Mario Carneiro, 23-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
oicl.1	|- F = OrdIso ( R , A )

Assertion

Ref	Expression
oien	|- ( ( A e. V /\ R We A ) -> dom F ~~ A )

Proof of Theorem oien

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oicl.1	. . . 4 |- F = OrdIso ( R , A )
2	1	oiexg 8440	. . 3 |- ( A e. V -> F e. _V )
3	2	adantr 481	. 2 |- ( ( A e. V /\ R We A ) -> F e. _V )
4	1	oiiso 8442	. . 3 |- ( ( A e. V /\ R We A ) -> F Isom _E , R ( dom F , A ) )
5		isof1o 6573	. . 3 |- ( F Isom _E , R ( dom F , A ) -> F : dom F -1-1-onto-> A )
6	4, 5	syl 17	. 2 |- ( ( A e. V /\ R We A ) -> F : dom F -1-1-onto-> A )
7		f1oen3g 7971	. 2 |- ( ( F e. _V /\ F : dom F -1-1-onto-> A ) -> dom F ~~ A )
8	3, 6, 7	syl2anc 693	1 |- ( ( A e. V /\ R We A ) -> dom F ~~ A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   _E cep 5028   We wwe 5072   dom cdm 5114   -1-1-onto->wf1o 5887   Isom wiso 5889   ~~ cen 7952  OrdIsocoi 8414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-en 7956  df-oi 8415

This theorem is referenced by:  hartogslem1  8447  wofib  8450  cantnfcl  8564  cantnff  8571  cantnf0  8572  cantnfp1lem2  8576  cantnflem1  8586  cantnf  8590  cnfcom2lem  8598  finnisoeu  8936  dfac12lem2  8966  pwfseqlem5  9485  fz1isolem  13245