Theorem fz1isolem 13245

Description: Lemma for fz1iso 13246. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fz1iso.1	|- G = ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 1 ) |` om )
fz1iso.2	|- B = ( NN i^i ( `' < " { ( ( # ` A ) + 1 ) } ) )
fz1iso.3	|- C = ( om i^i ( `' G ` ( ( # ` A ) + 1 ) ) )
fz1iso.4	|- O = OrdIso ( R , A )

Assertion

Ref	Expression
fz1isolem	|- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> E. f f Isom < , R ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , A ) )

Distinct variable groups:   f, n, A   B, f   f, G   f, O   R, f

Allowed substitution hints:   B( n)   C( f, n)   R( n)   G( n)   O( n)

Proof of Theorem fz1isolem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashcl 13147	. . . . . . . . 9 |- ( A e. Fin -> ( # ` A ) e. NN0 )
2	1	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( # ` A ) e. NN0 )
3		nnuz 11723	. . . . . . . . . . 11 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
4		1z 11407	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. ZZ
5		fz1iso.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- G = ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 1 ) |` om )
6	4, 5	om2uzisoi 12753	. . . . . . . . . . . 12 |- G Isom _E , < ( om , ( ZZ>= ` 1 ) )
7		isoeq5 6571	. . . . . . . . . . . 12 |- ( NN = ( ZZ>= ` 1 ) -> ( G Isom _E , < ( om , NN ) <-> G Isom _E , < ( om , ( ZZ>= ` 1 ) ) ) )
8	6, 7	mpbiri 248	. . . . . . . . . . 11 |- ( NN = ( ZZ>= ` 1 ) -> G Isom _E , < ( om , NN ) )
9	3, 8	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- G Isom _E , < ( om , NN )
10		isocnv 6580	. . . . . . . . . 10 |- ( G Isom _E , < ( om , NN ) -> `' G Isom < , _E ( NN , om ) )
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- `' G Isom < , _E ( NN , om )
12		nn0p1nn 11332	. . . . . . . . 9 |- ( ( # ` A ) e. NN0 -> ( ( # ` A ) + 1 ) e. NN )
13		fz1iso.2	. . . . . . . . . 10 |- B = ( NN i^i ( `' < " { ( ( # ` A ) + 1 ) } ) )
14		fz1iso.3	. . . . . . . . . . 11 |- C = ( om i^i ( `' G ` ( ( # ` A ) + 1 ) ) )
15		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( `' G ` ( ( # ` A ) + 1 ) ) e. _V
16	15	epini 5495	. . . . . . . . . . . 12 |- ( `' _E " { ( `' G ` ( ( # ` A ) + 1 ) ) } ) = ( `' G ` ( ( # ` A ) + 1 ) )
17	16	ineq2i 3811	. . . . . . . . . . 11 |- ( om i^i ( `' _E " { ( `' G ` ( ( # ` A ) + 1 ) ) } ) ) = ( om i^i ( `' G ` ( ( # ` A ) + 1 ) ) )
18	14, 17	eqtr4i 2647	. . . . . . . . . 10 |- C = ( om i^i ( `' _E " { ( `' G ` ( ( # ` A ) + 1 ) ) } ) )
19	13, 18	isoini2 6589	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' G Isom < , _E ( NN , om ) /\ ( ( # ` A ) + 1 ) e. NN ) -> ( `' G |` B ) Isom < , _E ( B , C ) )
20	11, 12, 19	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( ( # ` A ) e. NN0 -> ( `' G |` B ) Isom < , _E ( B , C ) )
21	2, 20	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( `' G |` B ) Isom < , _E ( B , C ) )
22		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f e. NN -> f e. ZZ )
23	2	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( # ` A ) e. ZZ )
24		eluz 11701	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f e. ZZ /\ ( # ` A ) e. ZZ ) -> ( ( # ` A ) e. ( ZZ>= ` f ) <-> f <_ ( # ` A ) ) )
25	22, 23, 24	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R Or A /\ A e. Fin ) /\ f e. NN ) -> ( ( # ` A ) e. ( ZZ>= ` f ) <-> f <_ ( # ` A ) ) )
26		zleltp1 11428	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f e. ZZ /\ ( # ` A ) e. ZZ ) -> ( f <_ ( # ` A ) <-> f < ( ( # ` A ) + 1 ) ) )
27	22, 23, 26	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R Or A /\ A e. Fin ) /\ f e. NN ) -> ( f <_ ( # ` A ) <-> f < ( ( # ` A ) + 1 ) ) )
28		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( # ` A ) + 1 ) e. _V
29		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- f e. _V
30	29	eliniseg 5494	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( # ` A ) + 1 ) e. _V -> ( f e. ( `' < " { ( ( # ` A ) + 1 ) } ) <-> f < ( ( # ` A ) + 1 ) ) )
31	28, 30	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f e. ( `' < " { ( ( # ` A ) + 1 ) } ) <-> f < ( ( # ` A ) + 1 ) )
32	27, 31	syl6bbr 278	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R Or A /\ A e. Fin ) /\ f e. NN ) -> ( f <_ ( # ` A ) <-> f e. ( `' < " { ( ( # ` A ) + 1 ) } ) ) )
33	25, 32	bitr2d 269	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R Or A /\ A e. Fin ) /\ f e. NN ) -> ( f e. ( `' < " { ( ( # ` A ) + 1 ) } ) <-> ( # ` A ) e. ( ZZ>= ` f ) ) )
34	33	pm5.32da 673	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( ( f e. NN /\ f e. ( `' < " { ( ( # ` A ) + 1 ) } ) ) <-> ( f e. NN /\ ( # ` A ) e. ( ZZ>= ` f ) ) ) )
35	13	elin2 3801	. . . . . . . . . 10 |- ( f e. B <-> ( f e. NN /\ f e. ( `' < " { ( ( # ` A ) + 1 ) } ) ) )
36		elfzuzb 12336	. . . . . . . . . . 11 |- ( f e. ( 1 ... ( # ` A ) ) <-> ( f e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ ( # ` A ) e. ( ZZ>= ` f ) ) )
37		elnnuz 11724	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f e. NN <-> f e. ( ZZ>= ` 1 ) )
38	37	anbi1i 731	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f e. NN /\ ( # ` A ) e. ( ZZ>= ` f ) ) <-> ( f e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ ( # ` A ) e. ( ZZ>= ` f ) ) )
39	36, 38	bitr4i 267	. . . . . . . . . 10 |- ( f e. ( 1 ... ( # ` A ) ) <-> ( f e. NN /\ ( # ` A ) e. ( ZZ>= ` f ) ) )
40	34, 35, 39	3bitr4g 303	. . . . . . . . 9 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( f e. B <-> f e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) )
41	40	eqrdv 2620	. . . . . . . 8 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> B = ( 1 ... ( # ` A ) ) )
42		isoeq4 6570	. . . . . . . 8 |- ( B = ( 1 ... ( # ` A ) ) -> ( ( `' G |` B ) Isom < , _E ( B , C ) <-> ( `' G |` B ) Isom < , _E ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , C ) ) )
43	41, 42	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( ( `' G |` B ) Isom < , _E ( B , C ) <-> ( `' G |` B ) Isom < , _E ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , C ) ) )
44	21, 43	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( `' G |` B ) Isom < , _E ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , C ) )
45		fz1iso.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- O = OrdIso ( R , A )
46	45	oion 8441	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. Fin -> dom O e. On )
47	46	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> dom O e. On )
48		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> A e. Fin )
49		wofi 8209	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> R We A )
50	45	oien 8443	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. Fin /\ R We A ) -> dom O ~~ A )
51	48, 49, 50	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> dom O ~~ A )
52		enfii 8177	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. Fin /\ dom O ~~ A ) -> dom O e. Fin )
53	48, 51, 52	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> dom O e. Fin )
54	47, 53	elind 3798	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> dom O e. ( On i^i Fin ) )
55		onfin2 8152	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- om = ( On i^i Fin )
56	54, 55	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> dom O e. om )
57		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 0 ) |` om ) = ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 0 ) |` om )
58		0z 11388	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. ZZ
59	5, 57, 4, 58	uzrdgxfr 12766	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( dom O e. om -> ( G ` dom O ) = ( ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` dom O ) + ( 1 - 0 ) ) )
60		1m0e1 11131	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 - 0 ) = 1
61	60	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` dom O ) + ( 1 - 0 ) ) = ( ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` dom O ) + 1 )
62	59, 61	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( dom O e. om -> ( G ` dom O ) = ( ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` dom O ) + 1 ) )
63	56, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( G ` dom O ) = ( ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` dom O ) + 1 ) )
64	51	ensymd 8007	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> A ~~ dom O )
65		cardennn 8809	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A ~~ dom O /\ dom O e. om ) -> ( card ` A ) = dom O )
66	64, 56, 65	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( card ` A ) = dom O )
67	66	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` ( card ` A ) ) = ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` dom O ) )
68	57	hashgval 13120	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. Fin -> ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` ( card ` A ) ) = ( # ` A ) )
69	68	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` ( card ` A ) ) = ( # ` A ) )
70	67, 69	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` dom O ) = ( # ` A ) )
71	70	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( ( ( rec ( ( n e. _V |-> ( n + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` dom O ) + 1 ) = ( ( # ` A ) + 1 ) )
72	63, 71	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( G ` dom O ) = ( ( # ` A ) + 1 ) )
73	72	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( `' G ` ( G ` dom O ) ) = ( `' G ` ( ( # ` A ) + 1 ) ) )
74		isof1o 6573	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G Isom _E , < ( om , NN ) -> G : om -1-1-onto-> NN )
75	9, 74	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- G : om -1-1-onto-> NN
76		f1ocnvfv1 6532	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G : om -1-1-onto-> NN /\ dom O e. om ) -> ( `' G ` ( G ` dom O ) ) = dom O )
77	75, 56, 76	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( `' G ` ( G ` dom O ) ) = dom O )
78	73, 77	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( `' G ` ( ( # ` A ) + 1 ) ) = dom O )
79	78	ineq2d 3814	. . . . . . . . 9 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( om i^i ( `' G ` ( ( # ` A ) + 1 ) ) ) = ( om i^i dom O ) )
80		ordom 7074	. . . . . . . . . . 11 |- Ord om
81		ordelss 5739	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Ord om /\ dom O e. om ) -> dom O C_ om )
82	80, 56, 81	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> dom O C_ om )
83		sseqin2 3817	. . . . . . . . . 10 |- ( dom O C_ om <-> ( om i^i dom O ) = dom O )
84	82, 83	sylib 208	. . . . . . . . 9 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( om i^i dom O ) = dom O )
85	79, 84	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( om i^i ( `' G ` ( ( # ` A ) + 1 ) ) ) = dom O )
86	14, 85	syl5eq 2668	. . . . . . 7 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> C = dom O )
87		isoeq5 6571	. . . . . . 7 |- ( C = dom O -> ( ( `' G |` B ) Isom < , _E ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , C ) <-> ( `' G |` B ) Isom < , _E ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , dom O ) ) )
88	86, 87	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( ( `' G |` B ) Isom < , _E ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , C ) <-> ( `' G |` B ) Isom < , _E ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , dom O ) ) )
89	44, 88	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( `' G |` B ) Isom < , _E ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , dom O ) )
90	45	oiiso 8442	. . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ R We A ) -> O Isom _E , R ( dom O , A ) )
91	48, 49, 90	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> O Isom _E , R ( dom O , A ) )
92		isotr 6586	. . . . 5 |- ( ( ( `' G |` B ) Isom < , _E ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , dom O ) /\ O Isom _E , R ( dom O , A ) ) -> ( O o. ( `' G |` B ) ) Isom < , R ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , A ) )
93	89, 91, 92	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( O o. ( `' G |` B ) ) Isom < , R ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , A ) )
94		isof1o 6573	. . . 4 |- ( ( O o. ( `' G |` B ) ) Isom < , R ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , A ) -> ( O o. ( `' G |` B ) ) : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A )
95		f1of 6137	. . . 4 |- ( ( O o. ( `' G |` B ) ) : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A -> ( O o. ( `' G |` B ) ) : ( 1 ... ( # ` A ) ) --> A )
96	93, 94, 95	3syl 18	. . 3 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( O o. ( `' G |` B ) ) : ( 1 ... ( # ` A ) ) --> A )
97		fzfid 12772	. . 3 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( 1 ... ( # ` A ) ) e. Fin )
98		fex 6490	. . 3 |- ( ( ( O o. ( `' G |` B ) ) : ( 1 ... ( # ` A ) ) --> A /\ ( 1 ... ( # ` A ) ) e. Fin ) -> ( O o. ( `' G |` B ) ) e. _V )
99	96, 97, 98	syl2anc 693	. 2 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> ( O o. ( `' G |` B ) ) e. _V )
100		isoeq1 6567	. . 3 |- ( f = ( O o. ( `' G |` B ) ) -> ( f Isom < , R ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , A ) <-> ( O o. ( `' G |` B ) ) Isom < , R ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , A ) ) )
101	100	spcegv 3294	. 2 |- ( ( O o. ( `' G |` B ) ) e. _V -> ( ( O o. ( `' G |` B ) ) Isom < , R ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , A ) -> E. f f Isom < , R ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , A ) ) )
102	99, 93, 101	sylc 65	1 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin ) -> E. f f Isom < , R ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   _E cep 5028   Or wor 5034   We wwe 5072   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   |` cres 5116   "cima 5117   o. ccom 5118   Ord word 5722   Oncon0 5723   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888   Isom wiso 5889  (class class class)co 6650   omcom 7065   reccrdg 7505   ~~ cen 7952   Fincfn 7955  OrdIsocoi 8414   cardccrd 8761   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   #chash 13117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118

This theorem is referenced by:  fz1iso  13246