diophren - Mathbox for Stefan O'Rear

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Theorem diophren 37377

Description: Change variables in a Diophantine set, using class notation. This allows already proved Diophantine sets to be reused in contexts with more variables. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-Jun-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
diophren	Dioph $/\$ $/\$ Dioph

Distinct variable groups:

Proof of Theorem diophren Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zex 11386	. . . . . 6
2		difexg 4808	. . . . . 6 $\$
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 $\$
4		ominf 8172	. . . . . 6
5		nnuz 11723	. . . . . . . . . 10
6		0p1e1 11132	. . . . . . . . . . 11
7	6	fveq2i 6194	. . . . . . . . . 10
8	5, 7	eqtr4i 2647	. . . . . . . . 9
9	8	difeq2i 3725	. . . . . . . 8 $\$ $\$
10		0z 11388	. . . . . . . . 9
11		lzenom 37333	. . . . . . . . 9 $\$
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . . 8 $\$
13	9, 12	eqbrtri 4674	. . . . . . 7 $\$
14		enfi 8176	. . . . . . 7 $\$ $\$
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . 6 $\$
16	4, 15	mtbir 313	. . . . 5 $\$
17		incom 3805	. . . . . 6 $\$ $\$
18		disjdif 4040	. . . . . 6 $\$
19	17, 18	eqtri 2644	. . . . 5 $\$
20	3, 16, 19	eldioph4b 37375	. . . 4 Dioph $/\$ mzPoly $\$ $\$
21		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $\$ $/\$
22		simp-4r 807	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $\$ $/\$
23		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . 13
24	23	mapco2 37278	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
25	21, 22, 24	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $\$ $/\$
26		uneq1 3760	. . . . . . . . . . . . . . 15
27	26	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14
28	27	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . 13
29	28	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . 12 $\$ $\$
30	29	elrab3 3364	. . . . . . . . . . 11 $\$ $\$
31	25, 30	syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $\$ $/\$ $\$ $\$
32		simp-5r 809	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $\$ $/\$ $/\$ $\$
33		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $\$ $/\$ $/\$ $\$
34		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
35		coundi 5636	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\$ $\$
36		coundir 5637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
37		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $\$ $\$
38	37	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $\$ $\$
39		simp1 1061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $\$
40		incom 3805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $\$ $\$
41		fz1ssnn 12372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
42		ssdisj 4026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $\$ $\$
43	41, 18, 42	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $\$
44	40, 43	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $\$
45	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $\$ $\$
46		coeq0i 37316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $\$ $/\$ $/\$ $\$
47	38, 39, 45, 46	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $\$
48	47	uneq2d 3767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $\$
49	36, 48	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $\$
50		un0 3967	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
51	49, 50	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $\$
52		coundir 5637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\$ $\$ $\$
53		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
54	53	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $\$
55		f1oi 6174	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $\$ $\$ $\$
56		f1of 6137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$
57	55, 56	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $\$ $\$ $\$
58		coeq0i 37316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $\$ $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$
59	57, 43, 58	mp3an23 1416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $\$
60	54, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $\$ $\$
61		coires1 5653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $\$ $\$
62		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $\$ $\$
63		fnresdm 6000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $\$ $\$
64	37, 62, 63	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $\$ $\$
65	61, 64	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $\$ $\$
66	65	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $\$ $\$
67	60, 66	uneq12d 3768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
68	52, 67	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $\$ $\$
69		uncom 3757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
70		un0 3967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
71	69, 70	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
72	68, 71	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $\$ $\$
73	51, 72	uneq12d 3768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\$ $\$
74	35, 73	syl5req 2669	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\$ $\$
75	32, 33, 34, 74	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
76	75	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
77		nn0ssz 11398	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
78		mapss 7900	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $\$ $\$
79	1, 77, 78	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\$ $\$
80	43	reseq2i 5393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\$
81		res0 5400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
82	80, 81	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\$
83	43	reseq2i 5393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\$
84		res0 5400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
85	83, 84	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\$
86	82, 85	eqtr4i 2647	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\$ $\$
87		elmapresaun 37334	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
88		uncom 3757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\$ $\$
89	88	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\$ $\$
90	87, 89	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
91	86, 90	mp3an3 1413	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $\$ $\$
92	79, 91	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $\$ $\$
93	92	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
94		coeq1 5279	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\$ $\$
95	94	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$ $\$
96		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$ $\$ $\$ $\$
97		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$
98	95, 96, 97	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . 14 $\$ $\$ $\$ $\$
99	93, 98	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$
100	76, 99	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
101	100	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
102	101	rexbidva 3049	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$
103	31, 102	bitrd 268	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$
104	103	rabbidva 3188	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $\$ $\$ $\$ $\$ $\$
105		simplll 798	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $\$
106		ovex 6678	. . . . . . . . . . . 12
107	3, 106	unex 6956	. . . . . . . . . . 11 $\$
108	107	a1i 11	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $\$ $\$
109		simpr 477	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $\$ mzPoly $\$
110	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 $\$ $\$ $\$
111		id 22	. . . . . . . . . . . . 13
112		incom 3805	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$ $\$
113		fz1ssnn 12372	. . . . . . . . . . . . . . . 16
114		ssdisj 4026	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $\$ $\$
115	113, 18, 114	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$
116	112, 115	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . 14 $\$
117	116	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 $\$
118		fun 6066	. . . . . . . . . . . . 13 $\$ $\$ $\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$
119	110, 111, 117, 118	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . 12 $\$ $\$ $\$
120		uncom 3757	. . . . . . . . . . . . 13 $\$ $\$
121	120	feq1i 6036	. . . . . . . . . . . 12 $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$
122	119, 121	sylib 208	. . . . . . . . . . 11 $\$ $\$ $\$
123	122	ad3antlr 767	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $\$ $\$ $\$ $\$
124		mzprename 37312	. . . . . . . . . 10 $\$ $/\$ mzPoly $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ mzPoly $\$
125	108, 109, 123, 124	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $\$ $\$ $\$ mzPoly $\$
126	3, 16, 19	eldioph4i 37376	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $\$ mzPoly $\$ $\$ $\$ $\$ Dioph
127	105, 125, 126	syl2anc 693	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $\$ $\$ $\$ $\$ Dioph
128	104, 127	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $\$ $\$ Dioph
129		eleq2 2690	. . . . . . . . 9 $\$ $\$
130	129	rabbidv 3189	. . . . . . . 8 $\$ $\$
131	130	eleq1d 2686	. . . . . . 7 $\$ Dioph $\$ Dioph
132	128, 131	syl5ibrcom 237	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ mzPoly $\$ $\$ Dioph
133	132	rexlimdva 3031	. . . . 5 $/\$ $/\$ mzPoly $\$ $\$ Dioph
134	133	expimpd 629	. . . 4 $/\$ $/\$ mzPoly $\$ $\$ Dioph
135	20, 134	syl5bi 232	. . 3 $/\$ Dioph Dioph
136	135	impcom 446	. 2 Dioph $/\$ $/\$ Dioph
137	136	3impb 1260	1 Dioph $/\$ $/\$ Dioph

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wrex 2913

crab 2916

cvv 3200 $\$ cdif 3571

cun 3572

cin 3573

wss 3574

c0 3915 class class class wbr 4653

cmpt 4729

cid 5023

cres 5116

ccom 5118

wfn 5883

wf 5884

wf1o 5887

cfv 5888 (class class class)co 6650

com 7065

cmap 7857

cen 7952

cfn 7955

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cn 11020

cn0 11292

cz 11377

cuz 11687

cfz 12326 mzPolycmzp 37285 Diophcdioph 37318

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-nn 11021 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-fz 12327 df-hash 13118 df-mzpcl 37286 df-mzp 37287 df-dioph 37319

This theorem is referenced by: rabrenfdioph 37378

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