Theorem bitsf1 15168

Description: The bits function is an injection from ZZ to ~P NN0. It is obviously not a bijection (by Cantor's theorem canth2 8113), and in fact its range is the set of finite and cofinite subsets of NN0. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsf1	|- bits : ZZ -1-1-> ~P NN0

Proof of Theorem bitsf1

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bitsf 15149	. 2 |- bits : ZZ --> ~P NN0
2		simpl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> x e. ZZ )
3	2	zcnd 11483	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> x e. CC )
4	3	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( -u x e. NN /\ (bits ` x ) = (bits ` y ) ) ) -> x e. CC )
5		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> y e. ZZ )
6	5	zcnd 11483	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> y e. CC )
7	6	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( -u x e. NN /\ (bits ` x ) = (bits ` y ) ) ) -> y e. CC )
8	4	negcld 10379	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( -u x e. NN /\ (bits ` x ) = (bits ` y ) ) ) -> -u x e. CC )
9	7	negcld 10379	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( -u x e. NN /\ (bits ` x ) = (bits ` y ) ) ) -> -u y e. CC )
10		1cnd 10056	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( -u x e. NN /\ (bits ` x ) = (bits ` y ) ) ) -> 1 e. CC )
11		simprr 796	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( -u x e. NN /\ (bits ` x ) = (bits ` y ) ) ) -> (bits ` x ) = (bits ` y ) )
12	11	difeq2d 3728	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( -u x e. NN /\ (bits ` x ) = (bits ` y ) ) ) -> ( NN0 \ (bits ` x ) ) = ( NN0 \ (bits ` y ) ) )
13		bitscmp 15160	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ZZ -> ( NN0 \ (bits ` x ) ) = (bits ` ( -u x - 1 ) ) )
14	13	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( -u x e. NN /\ (bits ` x ) = (bits ` y ) ) ) -> ( NN0 \ (bits ` x ) ) = (bits ` ( -u x - 1 ) ) )
15		bitscmp 15160	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ZZ -> ( NN0 \ (bits ` y ) ) = (bits ` ( -u y - 1 ) ) )
16	15	ad2antlr 763	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( -u x e. NN /\ (bits ` x ) = (bits ` y ) ) ) -> ( NN0 \ (bits ` y ) ) = (bits ` ( -u y - 1 ) ) )
17	12, 14, 16	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( -u x e. NN /\ (bits ` x ) = (bits ` y ) ) ) -> (bits ` ( -u x - 1 ) ) = (bits ` ( -u y - 1 ) ) )
18		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . . . 11 |- ( -u x e. NN -> ( -u x - 1 ) e. NN0 )
19	18	ad2antrl 764	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( -u x e. NN /\ (bits ` x ) = (bits ` y ) ) ) -> ( -u x - 1 ) e. NN0 )
20		fvres 6207	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u x - 1 ) e. NN0 -> ( (bits |` NN0 ) ` ( -u x - 1 ) ) = (bits ` ( -u x - 1 ) ) )
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( -u x e. NN /\ (bits ` x ) = (bits ` y ) ) ) -> ( (bits |` NN0 ) ` ( -u x - 1 ) ) = (bits ` ( -u x - 1 ) ) )
22		ominf 8172	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- -. om e. Fin
23		nn0ennn 12778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- NN0 ~~ NN
24		nnenom 12779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- NN ~~ om
25	23, 24	entr2i 8011	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- om ~~ NN0
26		enfii 8177	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( NN0 e. Fin /\ om ~~ NN0 ) -> om e. Fin )
27	25, 26	mpan2 707	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( NN0 e. Fin -> om e. Fin )
28	22, 27	mto 188	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- -. NN0 e. Fin
29		difinf 8230	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( -. NN0 e. Fin /\ (bits ` x ) e. Fin ) -> -. ( NN0 \ (bits ` x ) ) e. Fin )
30	28, 29	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( (bits ` x ) e. Fin -> -. ( NN0 \ (bits ` x ) ) e. Fin )
31		bitsfi 15159	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( -u x - 1 ) e. NN0 -> (bits ` ( -u x - 1 ) ) e. Fin )
32	19, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( -u x e. NN /\ (bits ` x ) = (bits ` y ) ) ) -> (bits ` ( -u x - 1 ) ) e. Fin )
33	14, 32	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( -u x e. NN /\ (bits ` x ) = (bits ` y ) ) ) -> ( NN0 \ (bits ` x ) ) e. Fin )
34	30, 33	nsyl3 133	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( -u x e. NN /\ (bits ` x ) = (bits ` y ) ) ) -> -. (bits ` x ) e. Fin )
35	11, 34	eqneltrrd 2721	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( -u x e. NN /\ (bits ` x ) = (bits ` y ) ) ) -> -. (bits ` y ) e. Fin )
36		bitsfi 15159	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. NN0 -> (bits ` y ) e. Fin )
37	35, 36	nsyl 135	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( -u x e. NN /\ (bits ` x ) = (bits ` y ) ) ) -> -. y e. NN0 )
38	5	znegcld 11484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> -u y e. ZZ )
39		elznn 11393	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -u y e. ZZ <-> ( -u y e. RR /\ ( -u y e. NN \/ -u -u y e. NN0 ) ) )
40	39	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -u y e. ZZ -> ( -u y e. NN \/ -u -u y e. NN0 ) )
41	38, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( -u y e. NN \/ -u -u y e. NN0 ) )
42	6	negnegd 10383	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> -u -u y = y )
43	42	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( -u -u y e. NN0 <-> y e. NN0 ) )
44	43	orbi2d 738	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( -u y e. NN \/ -u -u y e. NN0 ) <-> ( -u y e. NN \/ y e. NN0 ) ) )
45	41, 44	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( -u y e. NN \/ y e. NN0 ) )
46	45	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( -u x e. NN /\ (bits ` x ) = (bits ` y ) ) ) -> ( -u y e. NN \/ y e. NN0 ) )
47	46	ord 392	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( -u x e. NN /\ (bits ` x ) = (bits ` y ) ) ) -> ( -. -u y e. NN -> y e. NN0 ) )
48	37, 47	mt3d 140	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( -u x e. NN /\ (bits ` x ) = (bits ` y ) ) ) -> -u y e. NN )
49		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . . . 11 |- ( -u y e. NN -> ( -u y - 1 ) e. NN0 )
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( -u x e. NN /\ (bits ` x ) = (bits ` y ) ) ) -> ( -u y - 1 ) e. NN0 )
51		fvres 6207	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u y - 1 ) e. NN0 -> ( (bits |` NN0 ) ` ( -u y - 1 ) ) = (bits ` ( -u y - 1 ) ) )
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( -u x e. NN /\ (bits ` x ) = (bits ` y ) ) ) -> ( (bits |` NN0 ) ` ( -u y - 1 ) ) = (bits ` ( -u y - 1 ) ) )
53	17, 21, 52	3eqtr4d 2666	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( -u x e. NN /\ (bits ` x ) = (bits ` y ) ) ) -> ( (bits |` NN0 ) ` ( -u x - 1 ) ) = ( (bits |` NN0 ) ` ( -u y - 1 ) ) )
54		bitsf1o 15167	. . . . . . . . . . 11 |- (bits |` NN0 ) : NN0 -1-1-onto-> ( ~P NN0 i^i Fin )
55		f1of1 6136	. . . . . . . . . . 11 |- ( (bits |` NN0 ) : NN0 -1-1-onto-> ( ~P NN0 i^i Fin ) -> (bits |` NN0 ) : NN0 -1-1-> ( ~P NN0 i^i Fin ) )
56	54, 55	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- (bits |` NN0 ) : NN0 -1-1-> ( ~P NN0 i^i Fin )
57		f1fveq 6519	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (bits |` NN0 ) : NN0 -1-1-> ( ~P NN0 i^i Fin ) /\ ( ( -u x - 1 ) e. NN0 /\ ( -u y - 1 ) e. NN0 ) ) -> ( ( (bits |` NN0 ) ` ( -u x - 1 ) ) = ( (bits |` NN0 ) ` ( -u y - 1 ) ) <-> ( -u x - 1 ) = ( -u y - 1 ) ) )
58	56, 57	mpan 706	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( -u x - 1 ) e. NN0 /\ ( -u y - 1 ) e. NN0 ) -> ( ( (bits |` NN0 ) ` ( -u x - 1 ) ) = ( (bits |` NN0 ) ` ( -u y - 1 ) ) <-> ( -u x - 1 ) = ( -u y - 1 ) ) )
59	19, 50, 58	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( -u x e. NN /\ (bits ` x ) = (bits ` y ) ) ) -> ( ( (bits |` NN0 ) ` ( -u x - 1 ) ) = ( (bits |` NN0 ) ` ( -u y - 1 ) ) <-> ( -u x - 1 ) = ( -u y - 1 ) ) )
60	53, 59	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( -u x e. NN /\ (bits ` x ) = (bits ` y ) ) ) -> ( -u x - 1 ) = ( -u y - 1 ) )
61	8, 9, 10, 60	subcan2d 10434	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( -u x e. NN /\ (bits ` x ) = (bits ` y ) ) ) -> -u x = -u y )
62	4, 7, 61	neg11d 10404	. . . . 5 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( -u x e. NN /\ (bits ` x ) = (bits ` y ) ) ) -> x = y )
63	62	expr 643	. . . 4 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ -u x e. NN ) -> ( (bits ` x ) = (bits ` y ) -> x = y ) )
64	3	negnegd 10383	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> -u -u x = x )
65	64	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( -u -u x e. NN0 <-> x e. NN0 ) )
66	65	biimpa 501	. . . . 5 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ -u -u x e. NN0 ) -> x e. NN0 )
67		simprr 796	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x e. NN0 /\ (bits ` x ) = (bits ` y ) ) ) -> (bits ` x ) = (bits ` y ) )
68		fvres 6207	. . . . . . . . 9 |- ( x e. NN0 -> ( (bits |` NN0 ) ` x ) = (bits ` x ) )
69	68	ad2antrl 764	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x e. NN0 /\ (bits ` x ) = (bits ` y ) ) ) -> ( (bits |` NN0 ) ` x ) = (bits ` x ) )
70	15	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x e. NN0 /\ (bits ` x ) = (bits ` y ) ) ) -> ( NN0 \ (bits ` y ) ) = (bits ` ( -u y - 1 ) ) )
71		bitsfi 15159	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. NN0 -> (bits ` x ) e. Fin )
72	71	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x e. NN0 /\ (bits ` x ) = (bits ` y ) ) ) -> (bits ` x ) e. Fin )
73	67, 72	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x e. NN0 /\ (bits ` x ) = (bits ` y ) ) ) -> (bits ` y ) e. Fin )
74		difinf 8230	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -. NN0 e. Fin /\ (bits ` y ) e. Fin ) -> -. ( NN0 \ (bits ` y ) ) e. Fin )
75	28, 73, 74	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x e. NN0 /\ (bits ` x ) = (bits ` y ) ) ) -> -. ( NN0 \ (bits ` y ) ) e. Fin )
76	70, 75	eqneltrrd 2721	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x e. NN0 /\ (bits ` x ) = (bits ` y ) ) ) -> -. (bits ` ( -u y - 1 ) ) e. Fin )
77		bitsfi 15159	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -u y - 1 ) e. NN0 -> (bits ` ( -u y - 1 ) ) e. Fin )
78	76, 77	nsyl 135	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x e. NN0 /\ (bits ` x ) = (bits ` y ) ) ) -> -. ( -u y - 1 ) e. NN0 )
79	78, 49	nsyl 135	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x e. NN0 /\ (bits ` x ) = (bits ` y ) ) ) -> -. -u y e. NN )
80	45	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x e. NN0 /\ (bits ` x ) = (bits ` y ) ) ) -> ( -u y e. NN \/ y e. NN0 ) )
81	80	ord 392	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x e. NN0 /\ (bits ` x ) = (bits ` y ) ) ) -> ( -. -u y e. NN -> y e. NN0 ) )
82	79, 81	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x e. NN0 /\ (bits ` x ) = (bits ` y ) ) ) -> y e. NN0 )
83		fvres 6207	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN0 -> ( (bits |` NN0 ) ` y ) = (bits ` y ) )
84	82, 83	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x e. NN0 /\ (bits ` x ) = (bits ` y ) ) ) -> ( (bits |` NN0 ) ` y ) = (bits ` y ) )
85	67, 69, 84	3eqtr4d 2666	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x e. NN0 /\ (bits ` x ) = (bits ` y ) ) ) -> ( (bits |` NN0 ) ` x ) = ( (bits |` NN0 ) ` y ) )
86		simprl 794	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x e. NN0 /\ (bits ` x ) = (bits ` y ) ) ) -> x e. NN0 )
87		f1fveq 6519	. . . . . . . . 9 |- ( ( (bits |` NN0 ) : NN0 -1-1-> ( ~P NN0 i^i Fin ) /\ ( x e. NN0 /\ y e. NN0 ) ) -> ( ( (bits |` NN0 ) ` x ) = ( (bits |` NN0 ) ` y ) <-> x = y ) )
88	56, 87	mpan 706	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. NN0 /\ y e. NN0 ) -> ( ( (bits |` NN0 ) ` x ) = ( (bits |` NN0 ) ` y ) <-> x = y ) )
89	86, 82, 88	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x e. NN0 /\ (bits ` x ) = (bits ` y ) ) ) -> ( ( (bits |` NN0 ) ` x ) = ( (bits |` NN0 ) ` y ) <-> x = y ) )
90	85, 89	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x e. NN0 /\ (bits ` x ) = (bits ` y ) ) ) -> x = y )
91	90	expr 643	. . . . 5 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ x e. NN0 ) -> ( (bits ` x ) = (bits ` y ) -> x = y ) )
92	66, 91	syldan 487	. . . 4 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ -u -u x e. NN0 ) -> ( (bits ` x ) = (bits ` y ) -> x = y ) )
93	2	znegcld 11484	. . . . 5 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> -u x e. ZZ )
94		elznn 11393	. . . . . 6 |- ( -u x e. ZZ <-> ( -u x e. RR /\ ( -u x e. NN \/ -u -u x e. NN0 ) ) )
95	94	simprbi 480	. . . . 5 |- ( -u x e. ZZ -> ( -u x e. NN \/ -u -u x e. NN0 ) )
96	93, 95	syl 17	. . . 4 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( -u x e. NN \/ -u -u x e. NN0 ) )
97	63, 92, 96	mpjaodan 827	. . 3 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( (bits ` x ) = (bits ` y ) -> x = y ) )
98	97	rgen2a 2977	. 2 |- A. x e. ZZ A. y e. ZZ ( (bits ` x ) = (bits ` y ) -> x = y )
99		dff13 6512	. 2 |- (bits : ZZ -1-1-> ~P NN0 <-> (bits : ZZ --> ~P NN0 /\ A. x e. ZZ A. y e. ZZ ( (bits ` x ) = (bits ` y ) -> x = y ) ) )
100	1, 98, 99	mpbir2an 955	1 |- bits : ZZ -1-1-> ~P NN0

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   \ cdif 3571   i^i cin 3573   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   |` cres 5116   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   omcom 7065   ~~ cen 7952   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   1c1 9937   - cmin 10266   -ucneg 10267   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377  bitscbits 15141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-dvds 14984  df-bits 15144

This theorem is referenced by:  bitsuz  15196  eulerpartlemmf  30437