ovolicc2lem3 - Metamath Proof Explorer

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Theorem ovolicc2lem3 23287

Description: Lemma for ovolicc2 23290. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
ovolicc.1
ovolicc.2
ovolicc.3
ovolicc2.4
ovolicc2.5
ovolicc2.6
ovolicc2.7
ovolicc2.8
ovolicc2.9	$/\$
ovolicc2.10
ovolicc2.11
ovolicc2.12	$/\$
ovolicc2.13
ovolicc2.14
ovolicc2.15
ovolicc2.16

**Assertion**
Ref	Expression
ovolicc2lem3	$/\$ $/\$

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Proof of Theorem ovolicc2lem3 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6191	. . . . 5
2	1	fveq2d 6195	. . . 4
3	2	fveq2d 6195	. . 3
4	3	fveq2d 6195	. 2
5		fveq2 6191	. . . . 5
6	5	fveq2d 6195	. . . 4
7	6	fveq2d 6195	. . 3
8	7	fveq2d 6195	. 2
9		fveq2 6191	. . . . 5
10	9	fveq2d 6195	. . . 4
11	10	fveq2d 6195	. . 3
12	11	fveq2d 6195	. 2
13		ssrab2 3687	. . 3
14		nnssre 11024	. . 3
15	13, 14	sstri 3612	. 2
16	13	sseli 3599	. . 3
17		ovolicc2.5	. . . . . . 7
18		inss2 3834	. . . . . . 7
19		fss 6056	. . . . . . 7 $/\$
20	17, 18, 19	sylancl 694	. . . . . 6
21	20	adantr 481	. . . . 5 $/\$
22		ovolicc2.8	. . . . . . 7
23	22	adantr 481	. . . . . 6 $/\$
24		nnuz 11723	. . . . . . . . . 10
25		ovolicc2.15	. . . . . . . . . 10
26		1zzd 11408	. . . . . . . . . 10
27		ovolicc2.14	. . . . . . . . . 10
28		ovolicc2.11	. . . . . . . . . 10
29	24, 25, 26, 27, 28	algrf 15286	. . . . . . . . 9
30	29	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$
31		ovolicc2.10	. . . . . . . . 9
32		ssrab2 3687	. . . . . . . . 9
33	31, 32	eqsstri 3635	. . . . . . . 8
34		fss 6056	. . . . . . . 8 $/\$
35	30, 33, 34	sylancl 694	. . . . . . 7 $/\$
36		ffvelrn 6357	. . . . . . 7 $/\$
37	35, 36	sylancom 701	. . . . . 6 $/\$
38	23, 37	ffvelrnd 6360	. . . . 5 $/\$
39	21, 38	ffvelrnd 6360	. . . 4 $/\$
40		xp2nd 7199	. . . 4
41	39, 40	syl 17	. . 3 $/\$
42	16, 41	sylan2 491	. 2 $/\$
43	13	sseli 3599	. . . 4
44	43	ad2antll 765	. . 3 $/\$ $/\$
45	16	anim2i 593	. . . 4 $/\$ $/\$
46	45	adantrr 753	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
47		breq1 4656	. . . . . . 7
48	47	ralbidv 2986	. . . . . 6
49	48	elrab 3363	. . . . 5 $/\$
50	49	simprbi 480	. . . 4
51	50	ad2antll 765	. . 3 $/\$ $/\$
52		breq1 4656	. . . . . . 7
53	52	ralbidv 2986	. . . . . 6
54		breq2 4657	. . . . . . 7
55		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11
56	55	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10
57	56	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9
58	57	fveq2d 6195	. . . . . . . 8
59	58	breq2d 4665	. . . . . . 7
60	54, 59	imbi12d 334	. . . . . 6
61	53, 60	imbi12d 334	. . . . 5
62	61	imbi2d 330	. . . 4 $/\$ $/\$
63		breq1 4656	. . . . . . 7
64	63	ralbidv 2986	. . . . . 6
65		breq2 4657	. . . . . . 7
66		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11
67	66	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10
68	67	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9
69	68	fveq2d 6195	. . . . . . . 8
70	69	breq2d 4665	. . . . . . 7
71	65, 70	imbi12d 334	. . . . . 6
72	64, 71	imbi12d 334	. . . . 5
73	72	imbi2d 330	. . . 4 $/\$ $/\$
74		breq1 4656	. . . . . . 7
75	74	ralbidv 2986	. . . . . 6
76		breq2 4657	. . . . . . 7
77		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11
78	77	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10
79	78	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9
80	79	fveq2d 6195	. . . . . . . 8
81	80	breq2d 4665	. . . . . . 7
82	76, 81	imbi12d 334	. . . . . 6
83	75, 82	imbi12d 334	. . . . 5
84	83	imbi2d 330	. . . 4 $/\$ $/\$
85		nnnlt1 11050	. . . . . . 7
86	85	adantl 482	. . . . . 6 $/\$
87	86	pm2.21d 118	. . . . 5 $/\$
88	87	a1d 25	. . . 4 $/\$
89		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . 13
90	89	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
91	90	lep1d 10955	. . . . . . . . . . 11 $/\$
92		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . . 13
93	90, 92	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
94		ovolicc2.16	. . . . . . . . . . . . . . . 16
95		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . . . . . 16
96	94, 95	eqsstri 3635	. . . . . . . . . . . . . . 15
97	96, 14	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . . 14
98	97	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . 13
99	98	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
100		letr 10131	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
101	90, 93, 99, 100	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
102	91, 101	mpand 711	. . . . . . . . . 10 $/\$
103	102	ralimdva 2962	. . . . . . . . 9
104	103	imim1d 82	. . . . . . . 8
105	104	adantl 482	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
106		simplr 792	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
107		simprl 794	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
108		nnleltp1 11432	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
109	106, 107, 108	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
110	106	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
111	107	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
112	110, 111	leloed 10180	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
113	109, 112	bitr3d 270	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
114		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
115		ltp1 10861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
116		ltnle 10117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
117	92, 116	mpdan 702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
118	115, 117	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
119	111, 118	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
120		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
121	120	rspccv 3306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
122	121	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
123	119, 122	mtod 189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
124		ovolicc.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
125		ovolicc.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
126		ovolicc.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
127		ovolicc2.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
128		ovolicc2.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
129		ovolicc2.7	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
130		ovolicc2.9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
131		ovolicc2.12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
132		ovolicc2.13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
133	124, 125, 126, 127, 17, 128, 129, 22, 130, 31, 28, 131, 132, 27, 25, 94	ovolicc2lem2 23286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
134	114, 107, 123, 133	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
135	134	iftrued 4094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
136	29	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
137	136, 107	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
138	131	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
139	138	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
140		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
141	140	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
142	141	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
143	142	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
144	143, 142	ifbieq1d 4109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
145		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
146	144, 145	eleq12d 2695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
147	146	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
148	137, 139, 147	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
149	135, 148	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
150	24, 25, 26, 27, 28	algrp1 15287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
151	150	ad2ant2r 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
152	149, 151	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
153	136, 33, 34	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
154	107	peano2nnd 11037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
155	153, 154	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
156	124, 125, 126, 127, 17, 128, 129, 22, 130	ovolicc2lem1 23285	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
157	114, 155, 156	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
158	152, 157	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
159	158	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
160	41	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
161	20	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
162	22	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
163	153, 107	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
164	162, 163	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
165	161, 164	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
166		xp2nd 7199	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
167	165, 166	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
168	162, 155	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
169	161, 168	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
170		xp2nd 7199	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
171	169, 170	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
172		lttr 10114	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
173	160, 167, 171, 172	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
174	159, 173	mpan2d 710	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
175	174	imim2d 57	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
176	175	com23 86	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
177	4	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . 14
178	159, 177	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
179	178	a1dd 50	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
180	176, 179	jaod 395	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
181	113, 180	sylbid 230	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
182	181	com23 86	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
183	182	expr 643	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
184	183	a2d 29	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
185	105, 184	syld 47	. . . . . 6 $/\$ $/\$
186	185	expcom 451	. . . . 5 $/\$
187	186	a2d 29	. . . 4 $/\$ $/\$
188	62, 73, 84, 73, 88, 187	nnind 11038	. . 3 $/\$
189	44, 46, 51, 188	syl3c 66	. 2 $/\$ $/\$
190	4, 8, 12, 15, 42, 189	eqord1 10556	1 $/\$ $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wral 2912

crab 2916

cin 3573

wss 3574

c0 3915

cif 4086

cpw 4158

csn 4177

cuni 4436 class class class wbr 4653

cxp 5112

crn 5115

ccom 5118

wf 5884

cfv 5888 (class class class)co 6650

c1st 7166

c2nd 7167

cfn 7955

cr 9935

c1 9937

caddc 9939

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cn 11020

cioo 12175

cicc 12178

cseq 12801

cabs 13974

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-nn 11021 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-ioo 12179 df-icc 12182 df-fz 12327 df-seq 12802

This theorem is referenced by: ovolicc2lem4 23288

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