Theorem peano2nnd 11037

Description: Peano postulate: a successor of a positive integer is a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnred.1	|- ( ph -> A e. NN )

Assertion

Ref	Expression
peano2nnd	|- ( ph -> ( A + 1 ) e. NN )

Proof of Theorem peano2nnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnred.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN )
2		peano2nn 11032	. 2 |- ( A e. NN -> ( A + 1 ) e. NN )
3	1, 2	syl 17	1 |- ( ph -> ( A + 1 ) e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1990  (class class class)co 6650   1c1 9937   + caddc 9939   NNcn 11020

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-nn 11021

This theorem is referenced by:  bcpasc  13108  relexpsucnnr  13765  o1fsum  14545  bpolydiflem  14785  eftlub  14839  eirrlem  14932  infpnlem1  15614  infpnlem2  15615  prmreclem4  15623  prmreclem5  15624  prmreclem6  15625  vdwlem6  15690  cayhamlem1  20671  ovolunlem1a  23264  ovolicc2lem3  23287  uniioombllem3  23353  uniioombllem4  23354  vieta1lem1  24065  vieta1lem2  24066  aaliou3lem2  24098  lgamgulmlem3  24757  lgamgulmlem4  24758  lgamgulmlem5  24759  lgamgulmlem6  24760  lgamgulm2  24762  lgamcvg2  24781  gamcvg  24782  gamcvg2lem  24785  regamcl  24787  relgamcl  24788  basellem1  24807  basellem2  24808  basellem3  24809  basellem4  24810  basellem5  24811  basellem6  24812  basellem7  24813  basellem8  24814  basellem9  24815  perfectlem1  24954  perfectlem2  24955  bclbnd  25005  lgsdilem2  25058  rplogsumlem2  25174  dchrisumlem2  25179  pntrsumbnd2  25256  pntrlog2bndlem2  25267  pntpbnd1a  25274  pntpbnd1  25275  pntpbnd2  25276  axlowdimlem16  25837  isarchi3  29741  ofldchr  29814  fzto1st  29853  psgnfzto1st  29855  smatrcl  29862  esumfzf  30131  esumpcvgval  30140  esumcvg  30148  dstfrvunirn  30536  dstfrvclim1  30539  subfacp1lem1  31161  subfacp1lem5  31166  subfaclim  31170  poimirlem7  33416  poimirlem15  33424  poimirlem17  33426  poimirlem19  33428  poimirlem28  33437  4rexfrabdioph  37362  6rexfrabdioph  37363  pellfundge  37446  pellfundgt1  37447  limsup10exlem  40004  wallispilem5  40286  wallispi2lem1  40288  wallispi2  40290  fourierdlem47  40370  nnfoctbdjlem  40672  hoidmvlelem2  40810  vonioolem2  40895  vonicclem2  40898  fmtnof1  41447  fmtnoprmfac1lem  41476  lighneallem4b  41526  proththdlem  41530  perfectALTVlem1  41630  perfectALTVlem2  41631  blennngt2o2  42386